Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении
Расчетная работа
Выполнил Шеломанов Р.Б.
Кафедра математической статистики и эконометрики
Московский
государственный университет экономики, статистики и информатики
Москва 1999
ЗАДАНИЕ № 23
Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:
750
750
756
769
757
767
760
743
745
759
750
750
739
751
746
758
750
758
753
747
751
762
748
750
752
763
739
744
764
755
751
750
733
752
750
763
749
754
745
747
762
751
738
766
757
769
739
746
750
753
738
735
760
738
747
752
747
750
746
748
742
742
758
751
752
762
740
753
758
754
737
743
748
747
754
754
750
753
754
760
740
756
741
752
747
749
745
757
755
764
756
764
751
759
754
745
752
755
765
762
По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30,
требуется:
1* Построить интервальный вариационный ряд
распределения;
Построение интервального
вариационного ряда распределения
Max: 769
Min: 733
R=769-733=36
H= R / 1+3,32 lg
n=36/(1+3,32lg100)=4,712
A1= x min -
h/2=730,644
B1=A1+h; B2=A2+h
2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному
ряду:
среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек),
медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);
Вычисление выборочных
характеристик распределения
Di=(xi- xср)
xср =å xi mi/å mi
xср = 751,7539
Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов
Выборочный центральный момент К-го порядка
равен
M k = ( xi - x)^k mi/ mi
В нашем примере:
Центр момент 1
0,00
Центр момент 2
63,94
Центр момент 3
-2,85
Центр момент 4
12123,03
Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка:
В нашем примере:
S^2= 63,94
Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:
В нашем примере:
S= 7,996
Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам
Ac = m3/ S^3;
В нашем примере:
Ас =-0,00557
Ek = m4/ S^4 -3;
В нашем примере:
Ek = -0,03442
Медиана Ме - значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда
наблюдений ( n = 2l -1). При
четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме
является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине
ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2
Если исходить из интервального ряда, то медиану
следует вычислять по ормуле
Me= a me +h * ( n/2
- mh( me-1) / m me
где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1)
- интервала, редшествующего медианому.
В нашем примере:
Me=751,646
Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака ,
которому соответствует наибольшая частота.
Для одномодального интервального ряда вычисление моды
можно производить по формуле
Mo= a mo + h * ( m
mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1)
где мо означает номер модального интервала (
интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному
и следующего за ним интервалов.
В нашем примере:
Mo =
751,49476
Так как Хср,
Mo Me почти не отличаются друг от
друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент вариации Vs = S/ x *
100 %= 3.06%
В нашем примере:
Vs=
1,06%
3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.
Графическое изображение
вариационных рядов
Для визуального подбора теоретического распределения,
а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные
ряды изображают графически.
Полигон и кумулята применяются для изображения как
дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только
интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды
распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)
Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив
таблицу 1.4.
Интервалы
xi Wi
Whi Wi/h
Ai-bi
1 2
3 4 5
4,97-5,08 5,03 0,02 0.02
0,18
5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27
5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09
5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73
5,41-5,52 5,47
0,29 0,65 2,64
5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64
5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18
5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36
- 1,00
-
Для построения гистограммы относительных частот
(частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых
строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высота элементарного
прямоугольника должна быть равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме
всех носительных частот, т.е. единице.
Из гистограммы можно получить полигон того же
распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить
отрезками прямой.
4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду
гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.
Анализ
графиков и выводы
Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой
плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной
совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе
распределения.
Для построения кумуляты дискретного ряда по оси
абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат – накопленные относительные частоты
Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают
интервалы .
С кумулятой сопоставляется график интегральной функции
распределения F(x).
В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не
намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным
(Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного
распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о
том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной,
имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую
нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть
гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек
является нормальным.
Примечание:
Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.
5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического
нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и
кумуляты соответственно.
Расчет теоретической
нормальной кривой распределения
Приведем один из способов расчета теоретического
нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического
ряда.
При расчете теоретических частот m^тi за оценку
математического ожидания (мю) и
среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают
значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.=
751,7539; G=S=7,99.
Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi,
где n – объем; Pi –
величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.
Вероятность Pi определяется по формуле
Pi=P(ai