Основные
определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e "xÎE $u:
║x-u║1-e
Определение: Полное нормированное пространство- любая
фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства.
Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным
в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное
пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства
существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном
подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║0 $ конечная e-сеть
Теорема: Арцела.
MÌC[a,b] компактно ó все элементы множества равномерно
ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор –
замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) ó A*Îs(X*,Y*)
Линейные нормированные
пространства
Пространства
векторов
сферическая норма
кубическая норма
ромбическая норма
p>1
Пространства
последовательностей
p>1
или пространство
ограниченных последовательностей
пространство
последовательностей, сходящихся к нулю
пространство сходящихся
последовательностей
Пространства
функций
пространство непрерывных на функций
пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций
£p[a,b] пространство функций,
интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
- пополнение £p[a,b] (Гильбертово)
Неравенство
Гёльдера p,q>0
Неравенство
Минковского
Список
литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/