Математика
(шпаргалка для экзамена)
Случайные
события и их виды, понятие вероятности.
Случайным
естественно называть такое событие, которое при заданном комплексе условий
может, как произойти так и не произойти. Мера возможности осуществления такого
события и есть его вероятность. Достоверное и невозможное события могут
рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий. Достоверным
называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении
определенного комплекса условий. Так, например, вода при нормальных атмосферных
условиях и 0 замерзает. Невозможным является событие, которое при заданном
комплексе условий никогда не произойдет. Таким образом, вероятность – это шансы
осуществления любого составного события, состоящего из нескольких элементарных.
Классическая
формула подсчета вероятностей. Комбинаторика.
В общем случае,
когда имеется n
равновозможных элементарных событий w1,…,wn, вероятность любого составного события А, состоящего из m элементарных событий wi1,…,wim, определяется как отношение числа
элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных
событий, т.е. P(A)=m/n.
Понятие
геометрической и статистической вероятностей.
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если
предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не
зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: P=Длина l/Длина L.
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить,
что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее
расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством: P=площадь g/площадь G. Аналогично определяется вероятность
попадания точки в пространственную фигуру v, которая составляет часть фигуры V: P=Объем v/Объем V.
Пространство
элементарных событий, операции над событиями.
При общем
определении вероятности используется пространство элементарных событий, при
этом элементарные события являются неопределяемым понятием, но относительно них
предполагается, что в результате испытаний обязательно происходит одно из этих
элементарных событий. Элементарные события попарно не совместны и образуют
группу событий. События, не являющиеся элементарными, отождествляются с теми
элементарными событиями, которые благоприятствуют ему, следовательно, случайные
события можно рассматривать как подмножество в пространстве элементарных
событий, поэтому операции над случайными событиями: объединение (сложение),
пересечение (умножение), эквивалентность, отрицание – полностью совпадают с
соответствующими операциями над множествами. Операции объединения и пересечения
множеств симметричны, т.е.
AB = BA
AB = BA
Аксиоматическое
определение вероятности.
Вероятностью называется
числовая функция, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами:
Аксиома 1. Для любого события A прин. S
Р(А)>=0. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице Р
(омега)=1. Аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий: А прин. S, В прин. S, А*В=0, Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: Событие
А является подмножеством омега, так как А={wi1,…,wim},то, согласно конечной схеме, Р(А)=сумме
по l от 1 до m рil, 00. 2) Событие А не зависит от события В, если
Р(А/B)=P(A). Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не
зависит от В, то событие В не зависит от А. В самом деле при Р(А)>0 имеем Р(B/A)=P(A*B)/P(A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=P(A)*P(B)/P(A)=P(B).
Вытекает следующая формула умножения вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/A). Для независимых событий вероятность
произведения событий равна произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3)
События А1,А2,…,Аn
образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют
достоверное событие, т.е. Аi*Aj=0,
i не=j, U по i от 1 до n Аi=омега.
Вероятность
совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них
на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое
событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). В частности для независимых событий
Р(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимых
событий равна произведению вероятностей этих событий.
Формула полной
вероятности.
Вероятность
события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных
событий (гипотез) В1,В2,…,Вn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей
каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А)=Р(В1)*Рb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+…+P(Bn)=1. Если события А1,…,Аn, P(Ai)>0 образуют полную группу событий, то вероятность
события В может быть представлена как сумма произведений безусловных
вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В:
Р(В)=сумма по i от
1 до n P(Ai)*P(B/Ai).
Формула Байеса.
Из формулы
полной вероятности легко получить формулу Байеса: для события В с Р(В)>0 и
для системы попарно несовместных событий Аi, P(Ai)>0, B прин. U по
i от 1 до n Аi . Р(Аk/B)=P(Ak)*P(B/Ak)/сумма по i от 1 до n P(Ai)*P(B/Ai).
Определение
дискретной случайной величины. Ряд распределения.
Случайной
величиной называется функция Х=Х(w), определенная на множестве элементарных событий омега, w прин. омега. С.В. дискретна, если она
принимает значения только из
некоторого дискретного множества, или,
точнее, С.В. дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел
х1, х2, х3,… таких, что P{X=xn}=pn>=0, n=1,2,3… и р1+р2+р3+…=1. Закон
распределения Д.С.В. Х определен, если известны все хn и вероятности рn=P{X=xn}
такие, что р1+р2+р3+…=1. Если составить таблицу, в верхней строке которой
поместить значения Д.С.В. , а в нижней – соответствующие вер-ти, то получим ряд
распределения С.В.
Функция
распределения С.В. и ее свойства.
Функция
распределения Fx(x) C.В. Х определяется формулой Fx(x)=P{w:X(w)=0.
Воспользовавшись формулой M|X|=интеграл
от –бесконечности до бесконечности |x| p(x) dx, в результате преобразований получаем
неравенство Маркова.
Центральная предельная
теорема, следствия (теорема Муавра-Лапласа).
Локальная
теорема Лапласа. Вероятность того, что
в n независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0