Мнимые числа
“Помимо и
даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова
появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается
польза от их употребления, они получают более и более широкое
распространение” Ф. Клейн.
Автор: Соловьев Алексей 12а.
Древнегреческие
математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно
складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного
как . Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа,
составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби
применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне.
Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде
натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий
философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами
всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом. Сильнейший удар по
этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он
доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что
натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину
диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого
открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование
несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению,
было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о
числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими
математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик
Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые,
которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно
было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из
положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из
отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым
извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения
кубических уравнений вида кубические и
квадратные корни: .
Эта формула безотказно действует в случае,
когда уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет
три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное
число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию
извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были
решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения
уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить
алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что
никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить
алгебраически. Тем не менее всякое
уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и
равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных
случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была
доказана Гауссом.
Итальянский
алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал,
что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет
решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями
по правилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и
даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не
употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат
измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в
1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были
установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть
до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637
году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из
крупнейших математиков XVIII века - Л.
Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы).
Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово
комплекс (от латинского complexus)
означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.
Образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы
мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций над
мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория
корней n-ых степеней сначала из отрицательных,
а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле
английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы
для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную
формулу : , которая связывала
воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера
можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы
таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог
сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью
мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в
сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял
комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены
многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,
гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования
теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что
результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение,
приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми
доказательствами.
“Никто ведь не сомневается в точности
результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они
представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л.
Карно.
В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование
комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс
независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной
плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком
истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же
операции над векторами. Вектор можно задавать не
только его координатами a и b, но так же длиной r и углом j,
который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного
числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с
точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма
комплексного числа).
Геометрическое истолкование комплексных чисел
позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного
переменного, расширило область их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во
многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории
упругости.
После создания теории комплексных чисел
возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими
“мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон,
который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами
напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством
коммутативности (переместительности):
например, , а . Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата,
поэтому я лишь упоминаю об их существовании.
Большой вклад в развитие теории функций
комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили
занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро-
и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой
теории поля.
Список литературы
“Энциклопедический
словарь юного математика”
“Школьный
словарь иностранных слов”
“Справочник
по элементарной математике” М. Я Выгодский
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/