Реферат по предмету "Математика"


Поверхности 2-го порядка

Министерство высшего образования Российской Федерации
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
РЕФЕРАТ
На тему:
“ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА”
Факультет: ФТиКМ Группа: РТС-99 Студент: Коцурба А.В. Преподаватель: Лебедева Г.А.
Иркутск
1999
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. 1. Эллипсоид.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением: [pic]
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
[pic] (2) Исследуем уравнения (2) при различных значениях h. 1) Если [pic]> c (c>0), то [pic] и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует. 2) Если [pic], то [pic] и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0;
0; - c) (плоскости [pic] касаются эллипсоида). 3) Если [pic], то уравнения (2) можно представить в виде [pic] откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic]. При уменьшении [pic] значения [pic]и [pic]увеличиваются и достигают своих наибольших значений при [pic], т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями [pic] и [pic]. Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.
2. Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
[pic] (3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
[pic] и [pic]
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
[pic] или [pic] (4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic], достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании [pic] величины a* и b* возрастают бесконечно. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy. Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
3. Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
[pic] (5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
[pic] и [pic] из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
[pic] или [pic] (6) из которых следует, что при [pic]>c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic]. При увеличении [pic] величины a* и b* тоже увеличиваются. При [pic] уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости [pic] касаются данной поверхности). При [pic] уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует. Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4. Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
[pic] (7) где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
[pic] и [pic] из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат. Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
[pic] или [pic] (8) из которых следует, что при [pic] плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic]. При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
[pic] (10) из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.
[pic] рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0). Получаем уравнение
[pic] из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
[pic] из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10). Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения
[pic] или [pic] из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h0 и h


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Основные параметры технологических процессов
Реферат Принципы технологии протоколы сети интернет
Реферат Творчество Ф.Л. Райта. Основные работы и творческие концепции
Реферат Залежність соціально-психологічної адаптації вихованців ВТК від акцентуації характеру
Реферат King Authur
Реферат Как избежать самых частых ошибок по налогу на прибыль. Советы практиков
Реферат Социальная политика Красноярского края в области пенсионного обеспечения, медицинского обслужива
Реферат Сравнительная характеристика современных методик преподавания английского языка
Реферат Історія національного олімпійського комітету України та участь українських спортсменів в Олімпій
Реферат Зовнішнє економічне оточення України
Реферат Индивидуальный метод организации производства на примере ЗАО "Оверо"
Реферат I. Информационная деятельность -проведение оценки программ дополнительного образования детей, реализуемых в удод в 2011-2012 учебном году
Реферат Науково-методичні засади соціально-економічної географії
Реферат Социально-экономические и экологические интересы населения
Реферат Бронхоэктаз и бронхоэктатическая болезнь