Общий исторический обзор
Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена.
Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и
животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не
только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее
богатства. В процессе практической деятельности он накапливал
геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей
изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить
глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч
раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами
и т. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии.
Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях.
Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса
выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических
зависимостей и соотношений.
Начало геометрии было положено в древности при решении чисто
практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество
геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения
зависимости одних элементов от других, установления логических связей и
доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI -
V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития,
что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая
и культурная жизнь в греческих государствах. Произведения, содержащие
систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н.э., но
они были вытеснены “Началами” Евклида.
Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней
школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно,
изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым.
Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков
предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ,
Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных
геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической
деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 - 4 столетий
привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая
заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил
результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему
основные геометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетий
геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в
“Началах” Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем мире
представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книги
Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших
ученых.
В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение
свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала
развиваться аналитическая геометрия. В XVII - XVIII вв. зарождается и
разрабатывается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с
помощью методов математического анализа. В XVIII- XIX вв. развитие военного
дела и архитектуры привело к разработке методов точного изображения
пространственных фигур на плоском чертеже, в связи с чем появляются
начертательная геометрия, научные основы которой заложил французский
математик Г. Монж, и проективная геометрия, основы которой были созданы в
трудах французских математиков Д. Дезарга и Б. Паскаля (XVII в.). В ее
создании важнейшую роль сыграл другой французский математик - Ж. В. Понселе
(XIX в.).
Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в.
великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал
новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.
Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии
геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана
и др.
В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими
разделами математики. Одним из источников развития и образования новых
понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются
современные задачи естествознания, физики и техники.
Первоначальное понятие о многогранниках.
Многогранники и их элементы.
Проблемы нам создают не те вещи, которых мы не знаем, а те, о которых мы ошибочно полагаем, что знаем.
В. Роджерс
|Определение. Многогранником называется тело,| |
|поверхность которого является объединением | |
|конечного числа многоугольников. | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|В соответствии с общим определением | |
|выпуклого множества, многогранник является | |
|выпуклым[1], если вместе с любыми двумя | |
|своими точками он содержит соединяющий их | |
|отрезок. На рисунке показаны выпуклый и, | |
|соответственно, невыпуклый многогранники. | |
| | |
| | |
|Многоугольник, принадлежащий поверхности | |
|многогранника, называется его гранью, если | |
|он не содержится ни в каком другом | |
|многоугольнике, также принадлежащем | |
|поверхности многогранника. | |
|Стороны граней называются рёбрами | |
|многогранника, а вершины – вершинами | |
|многогранника. | |
|Отрезки, соединяющие вершины многогранника, | |
|не принадлежащие одной грани, называются | |
|диагоналями этого многогранника. | |
|Определение. Многогранник называется | |
|правильным, если все его грани – равные | |
|правильные многоугольники и из каждой его | |
|вершины выходит одинаковое число рёбер. | |
| |Грани|Вершины |Рёбра | |
|Тетраэдр |4 |4 |6 | |
|Куб |6 |8 |12 | |
|Октаэдр |8 |6 |12 | |
|Додекаэдр |12 |20 |30 | |
|Икосаэдр |20 |12 |30 | |
|Призма n-угольная |2n |3n |n+2 | |
|Пирамида n-угольная|n+1 |2n |n+1 | |
|Теорема Эйлера. |Для числа граней Г, числа |
| |вершин В и числа рёбер Р |
| |любого выпуклого многогранника|
| |справедливо соотношение: |
| |Г+В – Р=2 |
|Принцип Кавальери: |Если два тела могут быть |
| |расположены так, что любая |
| |плоскость, параллельная |
| |какой-нибудь данной плоскости |
| |и пересекающая оба тела, даёт |
| |в сечении с ними равновеликие |
| |фигуры, то объёмы таких тел |
| |равны. |
Призма.
|Определение. Призма – многогранник, | |
|составленный из двух равных многоугольников | |
|A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в | |
|параллельных плоскостях, и n | |
|параллелограммов. | |
|Два равных многоугольника, лежащие в | |
|параллельных плоскостях, называются | |
|основаниями призмы (A1A2…An и B1B2…Bn). | |
|Остальные грани призмы, являющиеся | |
|параллелограммами, называются её боковыми | |
|гранями (AnA1B1Bn) | |
|Рёбра, не лежащие в основании призмы, | |
|называются боковыми рёбрами (A1B1; A2B2 … | |
|AnBn) | |
|Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь | |
|точки одного основания к плоскости другого | |
|основания, называется высотой призмы (h). | |
|Диагональная плоскость – плоскость, | |
|проходящая через диагональ основания и | |
|боковое ребро призмы. | |
|Диагональное сечение – фигура, полученная | |
|при пересечении диагональной плоскости с | |
|поверхностью призмы. | |
|Перпендикулярное сечение – сечение призмы | |
|плоскостью, перпендикулярной её боковым | |
|рёбрам. | |
|В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное |
|сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте |
|призмы. |
|Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к | |
|основаниям, то есть если основания служат | |
|нормальными сечениями боковой поверхности, | |
|то призма называется прямой, в противном | |
|случае – наклонной. Высота прямой призмы | |
|равна её боковому ребру. Плоские углы | |
|основания являются плоскими углами | |
|двугранных углов между боковыми гранями. | |
| | |
|Прямая призма называется правильной, если её| |
|основания – правильные многоугольники. У | |
|такой призмы все боковые грани – равные | |
|многоугольники. | |
|В правильную призму можно вписать сферу | |
|тогда и только тогда, когда её высота равна | |
|диметру окружности, вписанной в основание. | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|Площадь боковой поверхности призмы – это |Sбок=Рп*/g/, где Рп – периметр|
|сумма площадей всех её боковых граней. |перпендикулярного сечения, /g/|
| |- длина бокового ребра |
|Площадь полной поверхности призмы – сумма |Sполн=Sбок+2Sосн |
|площадей всех её граней | |
|Объём призмы. Объёмом геометрического тела |V=Sосн*h |
|называется величина части пространства, | |
|занимаемого этим телом. | |
|Доп. справка: в геометрии принято: | |
|За единицу объёма принимают объём куба с | |
|ребром единичной длины. | |
|Равные тела имеют равные объёмы | |
|Объём объединения нескольких | |
|неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих | |
|внутренних точек) тел равен сумме их объёмов| |
| | |
|Если одно тело содержит другое, то объём | |
|первого тела не меньше объёма второго | |
|Теорема. Площадь боковой поверхности прямой |Sбок=Pосн*h |
|призмы равна произведению периметра | |
|основания на высоту призмы. | |
|Частным случаем призмы является | |
|параллелепипед – призма, основанием которой | |
|служат параллелограммы. | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|Основные свойства параллелепипеда: |Противоположные грани |
| |параллелепипеда попарно равны |
| |и параллельны. |
| |Все четыре диагонали |
| |параллелепипеда пересекаются в|
| |одной точке и делятся ею |
| |пополам. |
| |сумма квадратов всех |
| |диагоналей параллелепипеда |
| |равна сумме квадратов всех его|
| |рёбер. |
| |квадрат диагонали |
| |прямоугольного параллелепипеда|
| |равен сумме квадратов трёх его|
| |измерений. |
|Если все грани параллелепипеда являются | |
|прямоугольниками, то параллелепипед | |
|называется прямоугольным. В нём все | |
|диагонали равны между собой. | |
|Если боковые рёбра параллелепипеда | |
|перпендикулярны основанию, то параллелепипед| |
|является прямым. | |
|Куб также является частным случаем призмы. | |
|Куб есть прямоугольный параллелепипед с | |
|равными рёбрами. | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|Объём параллелепипеда |V=S*h |
|Объём прямоугольного параллелепипеда |V=abc |
|Объём куба |V =a3 |
|Диагональ прямоугольного параллелепипеда |d2=a2+b2+c2, где d – |
| |диагональ, a,b,c – рёбра |
Пирамида.
Слово «пирамида» в геометрию ввели греки,
которые, как полагают, заимствовали его
у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит этот термин из греческого слова
«пирос»
(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.
|Определение. Пирамида – это многогранник, | |
|одна из граней которого – произвольный n – | |
|угольник A1A2…An, а остальные грани – | |
|треугольники с общей вершиной. | |
|Этот n – угольник A1A2…An называется | |
|основанием пирамиды. | |
|Остальные (треугольные) грани называются | |
|боковыми гранями (A2PA3, …, AnPA1) | |
|Общая вершина всех боковых граней называется| |
|вершиной пирамиды (P). | |
|Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, | |
|называются её боковыми рёбрами (PA1, PA2, …,| |
|PAn) | |
|Объединение боковых граней пирамиды | |
|называется её боковой поверхностью. | |
|Перпендикуляр, проведённый из вершины | |
|пирамиды к плоскости основания, называется | |
|высотой пирамиды (РН). | |
|Пирамида называется правильной, если её | |
|основание – правильный многоугольник, а | |
|отрезок, соединяющий вершину пирамиды с | |
|центром основания, является её высотой. | |
| | |
| | |
|Высота боковой грани правильной пирамиды, | |
|проведённая из её вершины, называется | |
|апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы | |
|равны друг другу. | |
| | |
| | |
|Если в основании пирамиды лежит n-угольник, | |
|то пирамида называется n-угольной. | |
|Треугольная пирамида называется тетраэдром. | |
|Тетраэдр называется правильным, если все его| |
|рёбра равны (т.о. все грани правильного | |
|тетраэдра – равные правильные треугольники).| |
| | |
| | |
| | |
|Некоторые свойства правильной пирамиды: |
|Все боковые рёбра равны между собой |
|Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники |
|Все двугранные углы при основании равны |
|Все плоские углы при вершине равны |
|Все плоские при основании равны |
|Апофемы боковых граней одинаковы по длине |
|В любую правильную пирамиду можно вписать сферу |
|Площадью полной поверхности пирамиды |Sполн=Sбок+Sосн |
|называется сумма площадей всех её граней. | |
|Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма| |
|площадей её боковых граней. | |
|Площадь боковой грани |Sбок.гр.=1/2*m*/g/, где m – |
| |апофема, /g/ - основание грани|
|Теорема. Площадь боковой поверхности |Sбок=1/2 * (Pосн* m), где m – |
|правильной пирамиды равна половине |апофема, Р – периметр |
|произведения периметра основания на апофему.|многоугольника основания. |
|Объём пирамиды. |V=(1/3)*Sосн*h |
Усечённая пирамида.
|Определение. Усечённая пирамида – | |
|многогранник, гранями которого являются | |
|n-угольники A1A2…An и B1B2…Bn (нижнее и | |
|верхнее основания), расположенные в | |
|параллельных плоскостях, и n | |
|четырёхугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, | |
|AnA1B1Bn. | |
|Усечённая пирамида является частным случаем | |
|пирамиды. | |
|Основания усечённой пирамиды – основание | |
|исходной пирамиды и многоугольник, | |
|полученный при пересечении её плоскостью | |
|(A1A2…An и B1B2…Bn). | |
|Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются | |
|боковыми рёбрами усечённой пирамиды. | |
|Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь | |
|точки одного основания к плоскости другого | |
|основания, называется высотой усечённой | |
|пирамиды (СН). | |
|Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.| |
|Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и | |
|B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn. | |
|Усечённая пирамида называется правильной, | |
|если она получена сечением правильной | |
|пирамиды плоскостью, параллельной основанию.| |
|Основания правильной усечённой пирамиды – | |
|правильные многоугольники, а боковые грани –| |
|равнобедренные трапеции. | |
| | |
| | |
|Высоты этих трапеций называются апофемами | |
|(КК1) | |
|Свойства усечённой пирамиды: |Боковые рёбра и высота |
| |пирамиды разделятся секущей |
| |плоскостью на пропорциональные|
| |отрезки |
| |В сечении получится |
| |многоугольник, подобный |
| |многоугольнику, ежащеему в |
| |основании |
| |Площади сечения и основания |
| |будут относится между собой, |
| |как квадраты их расстояний от |
| |вершины пирамиды |
|Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, |
|параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади |
|сечений будут пропорциональны площади оснований. |
|Площадь поверхности усечённой пирамиды |S=(1/2)*m*(P+P1), где m – |
| |апофема |
|Теорема. Площадь боковой поверхности |Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m – |
|правильной усечённой пирамиды равна |апофема, Рв, Рн – периметр |
|произведению полусуммы периметров оснований |верхнего и нижнего оснований |
|на апофему. | |
|Объём усечённой пирамиды: |V=(1/3)*h*(S1+?S1S2+S2), где |
| |S1, S2 – площади оснований. |
|Площадь боковой грани |Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), где m –|
| |апофема, g, g1 – основания |
| |боковой грани |
Тетраэдр.
|Определение. Тетраэдр – поверхность, | |
|составленная из четырёх | |
|треугольников. Любая грань может быть| |
|принята за основание пирамиды. | |
|Тетраэдр является частным случаем | |
|пирамиды. | |
|Тетраэдр состоящий из треугольников | |
|ABC, DAB, DBC, DCA обозначается так: | |
|DABC | |
|Треугольники, из которых состоит | |
|тетраэдр, называются гранями. | |
|Стороны треугольников, из которых | |
|состоит тетраэдр, называются рёбрами.| |
|Вершины треугольников, из которых | |
|состоит тетраэдр, называются | |
|вершинами тетраэдра. | |
|Два ребра тетраэдра, не имеющие общих| |
|вершин, называются противоположными. | |
|Иногда выделяют одну грань тетраэдра | |
|и называют её основанием, а три | |
|другие – боковыми гранями. | |
|Медианы тетраэдра – отрезки, | |
|соединяющие его вершины с центроидами| |
|противоположных граней. | |
|Тетраэдр, все грани которого равны, | |
|называется равногранным. | |
|Свойства равногранного тетраэдра: |описанный параллелепипед |
| |равногранного тетраэдра – |
| |прямоугольный |
| |развёртка тетраэдра, полученная при |
| |разрезании его по трём сходящимся в |
| |одной вершине рёбрам, - треугольник |
| |у него имеются три оси симметрии |
| |все трёхгранные углы равны |
| |все медианы (тетраэдра) равны |
| |все высоты (тетраэдра) равны |
| |центры вписанной и описанной сфер и |
| |центроид совпадают |
| |радиусы описанных окружностей граней |
| |равны |
| |периметры граней равны |
| |площади граней равны |
|Тетраэдр, в вершине которого сходятся|Для него выполняется своего рода |
|три взаимно перпендикулярных ребра, |«теорема Пифагора»: |
|называется прямоугольным |S2=S21+S22+S23 |
|Тетраэдр, составленный из четырёх | |
|равносторонних треугольников, | |
|называется правильным. | |
|Объём правильного тетраэдра. |V=(a3*?2)/12 |
|Радиус описанной сферы в правильном |R=(a*?6)/4 |
|тетраэдре | |
|Высота правильного тетраэдра |H=(a*?6)/3 |
|Площадь поверхности правильного |S=a2*?3 |
|тетраэдра | |
|Радиус вписанной окружности |r = (a*?6)/12 |
|правильного тетраэдра | |
Список используемой литературы
1. Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996
2. Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994
3. Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995
4. Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996
-----------------------
[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.