Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

1. Матрицы. Терминология и обозначения. Матрицей размера (mxn) называется набор m(n чисел – элементов м-цы Ai,j, записанных в виде прямоугольной таблицы: [pic] Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj – jтым столбцом. М-ца размером 1хп – называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 – столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1, ап1 – побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой. Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.
2. Действия с матрицами
1) Сложение Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле: Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n) C=A+B (размер всех м-ц: mxn)
2) умножение м-цы на число Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица: B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле: Вij=С(Aij (I=1…m, j = 1…n) В=С(А вычитание: С=А+(-)В = А-В
3) умножение м-ц А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле: Сij = Ai1(B1j+… Ain(BnJ С=АВ. Можно записать так: [pic] Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА Св-ва умножения м-цы: (АВ)С=А(ВС) А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС
Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.
3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами: 1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы: [pic] 2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы: [pic] отсюда вытекает, что [pic] порядок суммирования в двойной сумме можно менять.
Матрица [pic] называется транспонированной по отношению к м-це А= [pic] Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm Св-ва операции транспонирования. 1 (АТ)Т=А 2 (А+В)Т=АТ+ВТ 3 (СА)Т=САТ (С-число) 4 (АВ)Т=АТ(ВТ
4. Элементарные преобразования матрицы. 1 Переставление двух строк 2 Умножение строки на не равное 0 число В 3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С. Также производят элементарные преобразования столбцов.
5. Матрицы элементарных преобразований. С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы элементарных преобразований. Они бывают следующих типов: 1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк например м-ца: получена перестановкой 2 и 4 строки 2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не нулевое число:
отличается от единичной элементом В во второй строке
3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом: Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на матрицу элементарных преобразований
Элементарные преобразования строк м-цы А 1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j 2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j строки м-цы А на число В 3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева
Элементарные преобразования столбцов м-цы А 1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами I,j 2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j столбца м-цы А на число В. 3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.
6. Определители С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем. Определителем м-цы второго порядка:
[pic] наз число: а11(а22-а12(а21 Определитель м-цы третьего порядка: [pic]= =[pic] также можно восп правилами треугольника:
Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен, определитель м-цы порядка n будет равен: D= a11(M11-a21(M21+…+(-1)n+1(an1(Mn1 где Мi1 – определитель м-цы порядка n-1, это число называется дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания 1 столбца и j строки. Это называется разложением определителя по 1 ому столбцу. [pic] число: Аij=(-1)I+1(Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в определителе [А] с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя можно записать так: [pic] Определитель – сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца на их алгебраический дополнитель.
7. Свойства определителя 1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [AT]=[А] отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств определителя. 2 Линейность Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:
[pic] тогда D=fD’+lD’’ где: [pic] [pic] отличаются от D только I-тыми строками. 3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой строк, то В* = -В 4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0 5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого определителя на это число 6 определитель с 0 строкой = 0 7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число не равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4) 8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному. 9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение соответствующих элементов другой строки опр = 0
8. Обратная матрица Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0. М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу: В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы Aji, эл-та аji в м-це А. М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и обладает следующими св- вами: АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица) Матрица А-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает равенство: АА-1=I, А-1А=I М-цу А-1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I, ХА=I, где [pic]- неизвестная матрица. Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями строк можно привести к единичной матрице 1 Привести к треугольному виду 2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам 3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п-1 строке последнюю умноженную на –а1п, -а2п…-ап-1п, приводится к матрице у которой все эл-ты п-ного столбца, кроме последнего равны 0 и т. д. 2 метод построения обратной м-цы путем составления расширенной матрицы (метод Жордана) 1 составляется расширенная матрица, приписывая к матрице А единичную матрицу I того же порядка т. е. получаем м-цу (А|I) элементарными преобр строк м-ца А приводится к треугольному виду, а потом к единичному, полученаая на месте I м-цы м-цы С – является обратной исходной матрице А
15. Понятия связанного и свободного векторов. Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно перемещать в двух направлениях: если считать А началом, а т. В – концем, то получим направленный отрезок АВ, а если т. В- начало, а т. А – конец, то направленный отрезок ВА. Направленный отрезок часто наз. связанными или закрепленными векторами. В случае, когда начальная и конечная точка совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым.. Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД и ВС совпадают обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда т. А,В,С,Д не лежат на одной прямой это равносильно тому, что четырехугольник АВСД – параллелограмм. Поэтому равные связанные в-ры имеют равные длины. Св-ва связанных в-ров: 1 Каждый связанный в-р равен самому себе АВ=АВ 2 Если АВ=СД, то и СД = АВ 3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF От каждой точки можно отложить связанный в-р равный исходному. Свободные в-ры – те, начальную точку которых можно выбирать произвольно. или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Свободный в-р однозначно определяется заданием связанного в-ра АВ. Обоз свободные в-ры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху. Нуль- вектор обоз 0 со стрелкой. Если задан в-р а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция построения связанного в-ра АВ, для которой выполнено это равенство называется откладывание свободного в-ра а от т. А. Связанные в-ры, полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0, Если а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!. 16. Линейные операции над в-рами 1 сложение в-ров Пусть даны в-ры: а и в от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в- ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило треугольник и правило параллелограмма. Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во: (а+в)+с=а+(в+с), 2 Умножение в-ра на число Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в- ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково направленными, во втором – противоположно направленными. если в-ры имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что 1 длина его |b|=|C|(|a| 2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C0 (случайц внутреннего деления) 2 М=А, ( = 0 3 М лежит вне Ав, ( 0 , если по одну сторону – то (0 L2:=А2х+В2у+С2=0, А22+В22>0 ((угол между ними)= углу между их нормальными в-рами n1 ={A1,B1} и n2={A2,B2} оттуда вытекает, что
L1|| L2 ( n1 || n2( n1 = (n2 A1=(A2, B1=(B2
L1 ( L2 ( n1 ( n2( n1(n2 =0 ( ( A1(A2+B1(B2=0 б) прямые заданы каноническим уравнением
угол между ними равен углу между их направляющими векторами: S1={m1,n1} S2{m2,n2} поэтому: L1|| L2 ( S1 || S2
L1 ( L2 ( S1 ( S2 ( S1(S2=0 ( m1(m2+n1(n2=0 в) прямые заданы ур-ем с угловым коэффициентом L1:= у=к1х+в1 L2:= у=к2х+в2 за угол между прямыми принимаемся наименьший угол на который нужно повернуть прямую L1 против часовой стрелки до совмещения с прямой L2 вокруг т. пересечения прямых. Через (1 и (2 обоз углы наклона прямых L1 и L2 к оси ОХ Угол между прямыми (= (2- (1 [pic] tg(1=k1, tg(2=k2 [pic] L1|| L2 ( (1 = (2 ((=0) ( k1=k2 L1 ( L2 ( (=П/2 k2= -1/k1 33. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Зафиксировав неку т. О в пространстве положение плоскости П будет определено, если задать следующие величины: расстояние до нее от начальной т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра, опущенного из т. О на плоскость П и единичный в-р n0, |n0|=1, перпендикулярный плоскости П и направленный из начальной т. О к этой плоскости. Когда текущая т. М движется по плоскости ее радиус в-р r меняется так, что prn0 OM=p (1) это соотношение вып для каждой т. принадлежащей плоскости, а для не принадлежащей – нарушается. (1) являет уравнением этой Плоскости П prn0 OM=r(n0 или r(n0-p=0 (2) ур-е (2) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Радиус-вектор r произвольной т. плоскости наз. ее текущим радиус вектором. Введем в пространстве прямоугольную Декартову систему координат, поместив ее начало в т. О, тогда в-ры r и n0 можно записать так: n0={cos(, cos(, cos(); r={x,y,z} Ур-е (2) примет вид: x( cos( +y(cos(+z(cos(-p=0 (3) – нормальное уравнение плоскости в координатной форме Особенности ур-я (3) 1 Сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах = 1: cos2(+cos2(+cos2(=1 2 свободный член (-р) (0 Относительно переменных x,y,z – ур-е (3) явл. ур-ем 1 степени. Всякое ур-е 1 степени определяет плоскость Ур-е: Ax+By+Cz+D=0 (4) – уравнение плоскости общего вида. Всякий ненулевой, перпендикулярный плоскости вектор наз. нормальным вектором этой плоскости. В-р n={A,B,C} нормальный в-р плоскости, заданной ур-ем (4), таким образом коэффициенты при координатах в ур-е (4) являются координатами нормального в-ра этой плоскости. Все другие нормальные вектора получают из в-ра n умножая его на любое ( 0 число. 34. Ур-е плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению Уравнение плоскости, проходящей через т. М0, заданной r0={x0,y0,x0}, перпендикулярной в-ру n={A,B,C}строится так: Проведем радиус в-р r={x,y,z} в произвольную т. М этой плоскости. В-р М0М=r- r0 лежит в плоскости П и значит перпендикулярен в-ру n., поэтому их скалярное пр-е = 0 (r-r0)(n=0 (1) Рав-во (1) справедливо для всех т. М плоскости П и нарушается если М не принадлежит этой плоскости, тем самым – (1) – векторное уравнение искомой плоскости, в координатной форме это выражается так: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0 35. Исследование ур-я плоскости. неполное ур-е плоскости По виду общего ур-я можно судить о том как лежит плоскость относительно системы координат OXYZ. Если хотя бы один из коэффициентов общего ур-я = 0, то оно наз. неполным. Возможны случаи: 1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат 2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 - нормальный в-р n={0,B,C} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОХ 3 В = 0 П: Aх + Cz +D=0 - нормальный в-р n={А,0,С} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОУ 4 С=0 П: Ax+By+D=0, n={А,B,0} перпендикулярен OZ(П ||OZ плоскость параллельна оси OZ 5 А=0, C=0 П: By+D=0( y= - D/B( тогда из 2 П||ОХ, из 4 П||OZ значит П||OXZ 6 А=0, В=0 П: Cz+D=0(z= - D/C( П||ОХ, П||OY значит П||OXY 7 C=0, В=0 П: Ax+D=0( x= - D/A( П||ОZ, П||OY значит П||OYZ 8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 ( z=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY 9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 ( y=0( П||ОXZ, O ( П значит П= OXZ 10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 ( x=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY 11 A ( 0, В ( 0, С ( 0 П; - не параллельна ни одной из осей и пересекает их. 36. Уравнение плоскости проходящей через три данный точки Даны М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не лежащие на одной прямой. Пусть М(x,y,z) – точка искомой плоскости. r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} и r={x,y,z} – радиус векторы данных точек. В силу компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1 их смешанное произведение = 0, т. е. радиус в-р т. М удовлетворяет условию: (r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10) а ее координаты линейному уравнению: [pic] (11) ур-е (10) векторное, а ур-е (11) – координатные уравнения искомой плоскости. 37. Уравнение плоскости в отрезках. Представив общее ур-е плоскости при A,B,C,D ( 0 в виде: [pic] и положив a= - D/A, b = -D/B, c = -D/C, получим уравнение плоскости в отрезках: [pic] Найдем координаты точек М1, М2, М3 пересечения П с осями OX, OY, OZ для М1 имеем [pic] x=a, значит М1(а,0,0) аналогично получаем: М2(0,в,0): М3(0,0,с) Значения а,в,с определяют величину отрезков, отсекаемых П на осях координат. 38. Расстояние от точки до плоскости Пусть М*(x*,y*,z*) – заданная точка, xcos(+ycos(+cos(-р=0 – заданное уравнение плоскости расстояние от т. М* до плоскости П выч. по ф-ле: d=d(M*, П) = |x*cos(+y*cos(+z* cos(| (13) обозначим через ((M*, П)=r*(n0-p= x*cos(+y*cos(+z* cos(-p. Если т М* и т. О –начало координат лежат по разные стороны от П, то (>0, а если по одну сторону, то (0, A22+B22+C22>0 углом между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов образованных этими плоскостями. (в случае параллельности угол между ними равен 0 или П) один из этих двугранных углов =