Геофизический “диалект” языка математики
В.Н. Страхов
Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта
РАН, г. Москва
1.
В 1995 г. в статье “ Геофизика и математика” , см. [1], автор впервые
сформулировал следующее утверждение: математика является языком науки в целом,
но каждая конкретная наука должна “ разговаривать” на собственном
(специфическом) диалекте этого языка.
2.
В XX веке внедрение математических методов в геофизику (“ освоение языка
математики” ) шло в основном путем заимствования готовых результатов и методов,
прежде всего из математической физики и теории некорректно поставленных задач,
но также из теории вероятностей и математической статистики, вычислительной
математики, теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Однако,
по мнению автора, эпоха разработки методов постановки и решения задач,
возникающих к геофизике на этапе интерпретации данных наблюдений различных
элементов физических полей, на основе заимствования результатов и методов,
разработанных в различных разделах математики, закончилась. Необходимо осознать
подлинную суть “ геофизического диалекта” языка математики и начать
формирование принципиально новой математической геофизики.
3.
Над указанными общими соображениями автор размышлял последние 5 лет; важный
этап в формировании его понимания сути “ геофизического диалекта” языка
математики состоял в осознании недостатков (по его терминологии – “
дефектности” ) классических конструкций аддитивной параметровой регуляризации
конечномерных линейных некорректных задач (статья “ Критический анализ
классической теории линейных некорректных задач” , см. [2]).
4.
Чтобы лучше (точнее и глубже) понять сущность “ геофизического диалекта” языка
математики, целесообразно за основу взять основополагающие установки, с одной
стороны – математической физики и классической теории некорректно поставленных
задач (отождествляя эти установки с установками математики в целом), а с другой
стороны – новой математической геофизики (находящейся, по мнению автора, еще в
процессе становления).
При
этом целесообразным представляется выделение следующих трех типов установок:
I)
относящихся к выбору базовых математических теорий при изучении физических
полей, к идейным постановкам задач и способам их исследования;
II)
относящихся к учету априорной информации о свойствах искомого решения и помех
во входных данных – в случае некорректно поставленных задач (и прежде всего – в
случае конечномерных линейных некорректных задач);
III)
относящихся к разработке численных алгоритмов и тех конкретных компьютерных
технологий решения задач, которые являются основным рабочим инструментом и
которые предоставляются в распоряжение исследователей.
Ниже
дается более подробная характеристика указанных трех типов установок (в
математической физике и классической теории некорректных задач – с одной
стороны, и в математической геофизике – с другой).
5.
Начнем с характеристики установок первого типа. Установки математической физики
и теории некорректных задач перечисляются (здесь и всюду ниже) под буквой А,
установки же математической геофизики – под буквой Б.
А.
Используются исключительно теории континуальных физических полей, описываемые
дифференциальными уравнениями или системами подобных уравнений, в частных
производных (в основном – линейными) для основных элементов полей (скалярных
или векторных потенциалов). Основные задачи, изучаемые в рамках континуальных
теорий – прямые и обратные, а также краевые (если поля зависят от времени).
Основные аналитические объекты, рассматриваемые в рамках континуальных теорий
физических полей – бесконечномерные (функции, являющиеся элементами банаховых
пространств; операторы, действующие из одних функциональных пространств в
другие; бесконечномерные функционалы, определенные на элементах банаховых
пространств, и т.д.). Основные решаемые задачи – типа операторных уравнений в
банаховых ( или более узко – гильбертовых) пространствах, задачи нахождения
значений операторов (чаще всего – линейных, но неограниченных) на элементах функциональных
(банаховых, гильбертовых) пространств, задачи минимизации (условные и
безусловные) бесконечномерных функционалов. Используется классификация решаемых
(бесконечномерных) задач на корректно и некорректно поставленные. Основные
позиции, используемые при анализе задач: 1) проблема существования решений
задач при определенных (бесконечномерных) данных; 2) проблема единственности
решений задач; 3) проблема устойчивости решений задач. Основные результаты
исследований задач: а) теоремы существования, единственности и устойчивости –
для корректно поставленных задач; б) теоремы условного существования, условной
единственности и условной устойчивости – для некорректно поставленных задач; в)
теоремы регуляризации (сходимости) для методов решения некорректных задач.
Процедуры
дискретизации пространственных переменных, соответственно дискретизации
дифференциальных уравнений используются только в локальном варианте – при
разработке численных методов решения краевых (начально-краевых) задач. Общая
методология аппроксимационного подхода при решении основных (бесконечномерных)
задач не формулируется. Создание компьютерных технологий решения задач не
считается главным.
Б.
Наряду с теориями континуальных физических полей используются также теории
дискретных физических полей (которые возникают при дискретизации всего
трехмерного евклидова пространства, а также при конечномерной аппроксимации
дифференциальных уравнений); при этом вместо краевых условий используются
конструкции регуляризации. Результаты, полученные в рамках математической
физики для конечномерных аналитических объектов и задач (теоремы
единственности, теоремы сходимости и т.д.) используются в ограниченном объеме.
Основное значение придается разработке единого аппроксимационного подхода к
построению решений бесконечномерных задач, т.е. переходу от бесконечномерных
объектов и задач к конечномерным, которым придается определяющее значение.
Решаемые конечномерные задачи также подразделяются на корректно и некорректно
поставленные, основное значение придается проблеме нахождения приближенных
решений линейных некорректно поставленных задач, т.е. нахождения приближенных
решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными. При
этом главной целью всех теоретических построений является создание эффективных
компьютерных технологий.
6.
Переходим к характеристике установок второго типа.
А.
В математической физике и классической теории некорректных задач, хотя и
принимается, что решения некорректных задач могут быть получены лишь при
использовании так называемой априорной (дополнительной) информации о свойствах
искомого решения и помех во входных данных, однако фактически принимается
стратегия использования минимальных объемов априорной информации. Именно,
используется только та априорная информация, которая обеспечивает факт
регулярности предлагаемых (разрабатываемых) методов, т.е. сходимости решений к
точным при снижении интенсивности помех (в принятых метриках) до нуля. При этом
основные разрабатываемые методы относятся к бесконечномерным задачам, на
конечномерные они распространяются без всяких изменений.
Проблема
повышения точности и надежности получаемых решений за счет использования
максимально возможных объемов априорной информации по существу не
рассматривается.
Б.
В математической геофизике основное значение придается проблеме получения
максимально надежных и точных решений конечномерных задач, и прежде всего –
задач нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических
уравнений с приближенными данными. В связи с этим в рассмотрение вводится
множество различных (по типам помех во входных данных, по имеющимся объемам
априорной информации о помехах) постановок некорректных задач. В качестве
самостоятельной (имеющей принципиальное значение) рассматривается задача
нахождения различных характеристик помех непосредственно по тем заданным (из
наблюдений) величинам, по которым ищутся решения задач.
7.
Далее переходим к характеристикам установок третьего типа.
А.
В рамках математической физики и классической теории некорректных задач
проблема создания численных алгоритмов и эффективных компьютерных технологий не
рассматривается как имеющая принципиальное значение. Это, так сказать, чисто
техническая проблема, которая в каждом конкретном случае должна решаться
по-своему. Никакая общая методология, на основе которой должна разрабатываться
проблема создания численных алгоритмов и эффективных компьютерных технологий,
не создается.
Б.
В рамках же математической геофизики рассматриваемой проблеме придается
первостепенное значение. Утверждается, что в разрабатываемых численных
алгоритмах и компьютерных технологиях прежде всего должны реализовываться
установки общей методологии интерпретации геофизических данных, и прежде всего
– концепция методообразующих идей [3]. Последние имеют иерархическое строение,
на верхнем уровне фундаментальных идей последних всего пять:
1)
идея использования аналитических аппроксимаций (изучаемых функций, уравнений и
задач);
2)
идея критериальности (использования специальных критериев, которым должны
удовлетворять искомые решения);
3)
идея алгебраизации (желательно решения задач искать как решение одной, либо
некоторой совокупности, систем линейных алгебраических уравнений);
4)
идея согласования множества допустимых решений (в силу наличия неопределенности
в используемой априорной информации число допустимых – не противоречащих
априорной информации – решений может быть целое множество; но пользователю
желательно иметь в конечном итоге всего одно решение, отсюда необходимость в
конструировании окончательного решения по множеству допустимых);
5)
идея использования методов распознавания образов – в рамках как разрабатываемых
численных алгоритмов, так и создаваемых компьютерных технологий.
В
математической геофизике принципиально важным принимается использование методов
распознавания образов – как при формировании тех объемов априорной информации,
которая далее используется в алгоритмах нахождения искомых решений некорректных
задач, так и при анализе хода вычислительного процесса, при управлении этим
ходом.
8.
Необходимо подчеркнуть еще ряд важных позиций, по которым имеется
принципиальное различие между установками математической физики и теории
некорректно поставленных задач – с одной стороны, и новой математической физики
– с другой. Этих позиций восемь.
а)
В математической геофизике фундаментальное значение имеет проблема комплексного
использования данных нескольких геофизических методов – в целях построения
наиболее надежных и точных моделей строения земных недр, а также протекающих в
них геодинамических процессов. В математической физике и классической теории
некорректных задач данная проблема по существу не рассматривается.
б)
В целом ряде геофизических методов (гравиметрия, магнитометрия, геоэлектрика)
важнейшее значение имеет проблема построения метрологических линейных
аппроксимаций функций, описывающих элементы изучаемых физических полей на
поверхности Земли и в ее внешности. Такие аналитические аппроксимации должны
строиться непосредственно по данным измерений различных характеристик внешних
полей – в конечном числе точек, произвольно расположенных на поверхности Земли
и в ее внешности. Решение данной проблемы позволит принципиально изменить
информационную основу геофизики – аналитические аппроксимации должны заменить
карты. В рамках математической физики и классической теории некорректных задач
проблема построения аналитических аппроксимаций элементов физических полей по
существу не рассматривается.
в)
Создаваемые в рамках математической геофизики алгоритмы решения задач
(соответственно – реализующие их компьютерные технологии) организуются так,
чтобы получались некоторые внутренние оценки надежности и точности получаемых
решений. Такие оценки оказываются возможными потому, что и данные наблюдений, и
имеющаяся априорная информация подразделяются на две части: во-первых,
непосредственно используемая в вычислительном процессе, т.е. в процессе
нахождения искомого решения задачи, а во-вторых, не используемая в
вычислительном процессе, но используемая в специальных процедурах оценки
точности и надежности полученных решений (иначе – контрольные данные). При
получении неудовлетворительных оценок процедура нахождения решения задачи
должна повторяться – при иной организации используемых данных и априорной
информации. Такая переорганизация процедуры нахождения решения может
производиться несколько раз. Ясно, что в рамках математической физики и теории
некорректных задач подобного рода аспекты нахождения решений задач не
рассматриваются вовсе.
г)
В рамках математической физики рассматривается целое множество моделей помех во
входных данных, которые фактически не рассматриваются в классической теории
некорректных задач. Во-первых, это модели мультипликативно-аддитивных помех,
при этом каждая из составляющих этой модели характеризуется целым набором
числовых величин. Во-вторых, это модели помех разнородных и разноточных, т.е. с
“ блочной характеристикой” . Иначе говоря, вектор помехи наделяется блочной
структурой, и каждый блок (парциальный вектор помехи) наделяется собственными
(различными) характеристиками помехи. Используется еще и ряд других моделей
помех во входных данных решаемых задач.
д)
В математической геофизике используется принципиально новый метод нахождения
аналитических аппроксимаций элементов физических полей – метод интегральных
представлений, который призван заменить классический метод интегральных
уравнений. При этом важнейшим частным случаем этого метода является метод
линейных интегральных представлений. Данные методы, см. [3,4], созданы именно в
математической геофизике, они не разрабатывались в математической физике и
классической теории некорректных задач.
е)
В рамках математической геофизики важнейшей вычислительной проблемой признается
проблема нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных
алгебраических уравнений с приближенными данными, большой (P=NM=108–109)
и сверхбольшой (P=NM 1010) размерности (здесь N – число
уравнений в системе, М – число подлежащих определению неизвестных – компонент
вектора x). В силу этого в ней предложен целый ряд принципиально новых
конструктивных идей, используемых при разработке алгоритмов нахождения искомых
решений линейных систем, см. [5-21]. Здесь прежде всего следует отметить идею
редукции систем к канонической форме (в которой вектор правой части системы
имеет всего одну ненулевую компоненту), идею редукции систем в канонической
форме к решению одного уравнения с одной неизвестной, идею адаптивной
регуляризации (основанной на использовании специальных – так называемых
корреляционных ортогональных преобразований матриц систем (Прим. автора: здесь
особо следует подчеркнуть тот факт, что в рамках той новой теории регуляризации
систем линейных алгебраических уравнений, которая разрабатывается автором в
последние годы, см. [ ], использование новых ортогональных преобразований (не
рассматривавшихся ранее в вычислительной линейной алгебре) имеет в некотором
смысле определяющее значение.)) и целый ряд других конструктивных идей, на
которых здесь нет возможности останавливаться. Созданные в рамках
математической геофизики новые алгоритмы нахождения приближенных решений систем
линейных алгебраических уравнений являются новыми и для вычислительной линейной
алгебры.
ж)
В рамках новой математической геофизики разрабатывается принципиально новый
подход к решению обратных геофизических задач, прежде всего – в гравиметрии и
магнитометрии, в котором отпадает необходимость в решении сложных (по
аналитике) прямых задач. (Напомним здесь, что основной метод решения обратных
задач геофизики основывается на многократном варьировании моделей изучаемой
геологической среды, решении соответствующих задач для каждой из моделей и
сопоставлении вычисленных – для каждой модели – величин с данными наблюдений.)
В рамках нового подхода, используемого в рамках теорий дискретных физических
полей, используются два приема:
во-первых,
прием построения эквивалентных распределений источников полей,
во-вторых,
прием преобразования принимаемых модельных источников поля в соответствующие им
эквивалентные.
В
настоящее время возникает важная задача внедрения нового подхода в практику
интерпретации геофизических данных, прежде всего – данных гравитационных и
магнитных наблюдений.
3)
Математическая геофизика и классическая теория некорректных задач не являются “
привязанными” к приложениям в какой-то конкретной науке. Их миссия – разработка
тех основных теоретических положений, которые могут (и по существу – должны!)
использоваться в самых различных науках. Именно в этом и состоит мотивация тех
используемых в математической физике и классической теории некорректных задач и
приведенных выше установок (трех типов) и которые естественным образом
отличаются (обязаны отличаться!) от установок (новой) математической геофизики.
Действительно, математическая геофизика, по данной автором переформулировке
классического изречения Клаузевица (Прим. автора:Речь идет о следующем
изречении: “Война есть продолжение политики другими средствами”.), имеет сугубо
подчиненное значение: “ Математическая геофизика есть реализация установок
общей методологии интерпретации геофизических данных средствами математики”.
Именно
этим определяется различие в общих установках, именно этим определяются данные
выше семь дополнительных позиций, именно в этом состоит восьмая позиция.
9.
В заключение автор хотел бы подчеркнуть еще три момента.
Первый
момент. Приведенные выше утверждения и соображения еще не стали “ общим местом”
, еще не сформировали новый стереотип мышления геофизиков, занимающихся
вопросами теории и практики интерпретации геофизических данных. Необходима
огромная работа в этом направлении.
Второй
момент. Изложенные в работе идеи никогда не станут эффективным средством
решения задач геофизики, если на их основе не будет создано (по единому плану!)
соответствующие компьютерные технологии. Нужна специальная (высокого уровня,
желательно – государственного) программа создания таких технологий.
Третий
момент. Изложенные в работе идеи не смогут быть быстро внедрены в сознание
широкого круга геофизиков-производственников, если они не будут (притом самым
быстрейшим образом) внедрены в высшее геофизическое образование. Подобное же
внедрение требует целого ряда мероприятий, и прежде всего – написания
принципиально новых учебников.
Автор
надеется, что высказанные им соображения, утверждения и предложения станут
предметом обсуждения на страницах геофизических журналов.
Обстоятельная
конкретизация, в собственно математическом плане, приведенных в работе
положений и утверждений, будет дана в серии последующих работ автора.
Список литературы
1. Страхов В.Н. Геофизика и математика // Физика Земли. 1995. №
12. С.4-23.
2. Страхов В.Н. Критический анализ классической теории линейных
некорректных задач // Геофизика. 1999. № 3. С.3-9.
3. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации
потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего) // Известия секции
наук о Земле РАЕН. 1999. № 2. С.95-135.
4. Страхов В.Н. О построении аналитических аппроксимаций
аномальных гравитационных и магнитных полей // Основные проблемы теории
интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. М.: ОИФЗ РАН, 1999.
С.65-125.
5. Страхов В.Н. Общая теория нахождения устойчивых приближенных
решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными
правыми частями и матрицами, возникающих при решении задач геофизики // Вопросы
теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и
электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997.С.38-42.
6. Страхов В.Н. Математический аппарат, используемый при
конструировании алгоритмов нахождения устойчивых приближенных решений систем
линейных алгебраических уравнений, возникающих в задачах гравиметрии и
магнитометрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации
гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.43-75.
7. Страхов В.Н. Экстремальные задачи, непараметрическая
регуляризация и фильтрация в теории нахождения устойчивых приближенных решений
систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными правыми
частями и матрицами // Вопросы теории и практики геологической интерпретации
гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.76-88.
8. Страхов В.Н. Обобщенные QR-алгоритмы нахождения устойчивых
приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно
заданной правой частью, возникающих при решении линейных задач гравиметрии и
магнитометрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации
гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.87-88.
9. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации
потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. III // Электр.
науч.-инф. журн. “Вестник ОГГГГН РАН”, № 1(3)'1998, М.:ОИФЗ РАН, 1998.
URL:
http://www.scgis.ru/russian/cp1251/dgggms/1-98/3par3_00.htm
10. Страхов В.Н., Страхов А.В. Основные методы нахождения
устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений,
возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. I. М.: ОИФЗ РАН,
1999. 40 с.
11. Страхов В.Н., Страхов А.В. Основные методы нахождения
устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений,
возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. II. М.: ОИФЗ РАН,
1999. 52 с.
12. Страхов В.Н., Страхов А.В. К теории регуляризации линейных
некорректных задач гравиметрии и магнитометрии. Ч. I // Электр. науч.-инф. журн.
“Вестник ОГГГГН РАН”, № 1(7)'1999, М.:ОИФЗ РАН, 1999.
URL:
http://www.scgis.ru/russian/cp1251/h_dgggms/1-99/strakh-1.htm#begin
13. Страхов В.Н., Страхов А.В. К теории регуляризации линейных
некорректных задач гравиметрии и магнитометрии. Ч. II // Электр. науч.-инф.
журн. “Вестник ОГГГГН РАН”, №3(9)'1999, М.:ОИФЗ РАН, 1999.
URL:
http://www.scgis.ru/russian/cp1251/h_dgggms/3-99/strakh-2.htm#begin
14. Страхов В.Н., Страхов А.В. О решении систем линейных
алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, возникающих при
решении задач гравиметрии и магнитометрии. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 68 с.
15. Страхов В.Н., Страхов А.В. О решении систем линейных
алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и
магнитометрии. 1. Редукция к системам в канонической форме // Докл. РАН. 1999.
Т.368, № 4. С.545-548.
16. Страхов В.Н., Страхов А.В. О решении систем линейных
алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и
магнитометрии. 2. Методы решения систем в канонической форме // Докл. РАН.
1999. Т.368, № 5. С.683-686.
17. Страхов В.Н., Страхов А.В.Аппроксимационный подход к решению
задач гравиметрии и магнитометрии. I. Основная вычислительная проблема –
регуляризация систем линейных алгебраических уравнений // Российский журнал
наук о Земле. Т.1, № 4, июль 1999. С.271-299.
18. Страхов В.Н., Страхов А.В. Аппроксимационный подход к решению
задач гравиметрии и магнитометрии. II. Новые методы нахождения устойчивых
приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно
заданной правой частью // Российский журнал наук о Земле. Т.1, № 5, сентябрь
1999. С.353-400.
19. Страхов В.Н. Основы новой теории регуляризации систем
линейных аналитических уравнений с приближенными данными // Вопросы теории и
практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических
полей: материалы 27-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского,
Москва, 31 января – 4 февраля 2000 г. М.: ОИФЗ РАН, 2000. С.178-179.
20. Страхов В.Н. Субоптимальные алгоритмы нахождения устойчивых
приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при
решении задач гравиметрии и магнитометрии // Докл. РАН. 2000. Т.373, № 4.
21. Страхов В.Н., Страхов А.В. Метод блочного координатного
спуска для нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных
алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью большой и
сверхбольшой размерности, возникающих при решении задач гравиметрии и
магнитометрии // Докл. РАН. 2000.