Некоторые вопросы
геометрии вырожденных треугольников.
Казакова Г.Г.
,
доцент кафедры геометрии ХГПУ
Рисунок
1. Центроид треугольника
Применение
методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые
могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при
этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто
бывает при применении метода координат).
Остановимся
на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут
применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные
результаты.
Договоримся
об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом
(например: А, B) , а радиус-векторы
точек (и обычные векторы) - жирным курсивом (например A, G, BC, b).
1.
Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется
его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C
вершин треугольника при любом выборе начала векторов - точки О.
По
свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3,
где М - середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,
G=(A+B+C)/3 (1)
Верно
и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то
точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М - середина
отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из
равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и
потому является центроидом треугольника АВС.
2.
Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О
описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н
(точки пересечения высот) этого треугольника равен
H = A+B+C (2)
Рисунок 2. Ортоцентр треугольника
В
самом деле, векторы A+B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(H-C).
По
этой же причине B+C = m(H-A).
После
почленного вычитания этих равенств получаем:
A-C = (l - m)H - lC + mA или
(1 - m)A + (l - 1)C + (m - l)H = 0
и
при этом сумма коэффициентов
(1
- m) + (l - 1) + (m - l) = 0.
Выполнение
двух этих условий возможно только в двух случаях:
либо
когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда
(1
- m) = (l - 1) = (m - l) = 0.
Значит,
имеет место последнее:
m = l = 1
и
тогда H = A+B+C.
Так
как при любом выборе начала векторов точки О
G=(A+B+C)/3
то
в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2.
Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС.
Теорема
1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и
середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.
Рисунок
3.
Доказательство:
Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка
Е1 симметрична Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :
(B+C)/2
= (H+E1)/2, или
E1
= B + C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и
E12
=A2 =R2.
Пусть
прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. Если ОД
перпендикулярна ВС и ОF перпендикулярна АК, то:
K
= D+F, D = (В+C)/2, F = (A+H1)/2 и, значит, K = (B+C+А+H1)/2 = (H+H1)/2 , т.е.
Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказательство
аналогично.
Теорема
2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие
пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности,
называемой окружностью девяти точек треугольника.
Доказательство:
За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности
(смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот,
через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3).
Если
L - середина отрезка ОН, то
L = H/2 = (A + B + C)/2,
LO1 = O1 - L = (B + C)/2 -(A+B+C)/2
= -A/2,
LK1
= K1 - L = (A + H)/2 - H/2 = A/2.
Рисунок
4.
Таким
образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е.
принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R
описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi (
i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому
точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении
рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у
которых совпадает две или три вершины.
3.
Треугольник с двумя совпавшими вершинами.
Если
вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к
описанной около треугольника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет
равна нулю.
Итак,
определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырожденный треугольник)
можно двояко:
1)
это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;
2)
это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.
В
последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а
в точке В, лежащей на ней. Такая окружность - единственная.
В
полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна
нулю, а углы В и С - смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна
1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырожденного
треугольника.
Так,
при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок
АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей
через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если
за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).
Итак,
векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.
Применительно
к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:
Если
АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры из
точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F
и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат
данной окружности (рис.5).
Рисунок 5
Для
обычного треугольника имеет место теорема Симпсона:
ортогональные
проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на
одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника.
Для
треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки
М1 є М2 и М3 всегда определяют
прямую линию (рис.6).
Однако,
так как DММ1В~DММ3А,
(они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ :
МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:
Если
АВ - хорда окружности и а - касательная к ней в точке В, то произведение
расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно
произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной.
Рисунок
7
Теорема
2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может
быть сформулирована так:
Если
АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры АH1 к
прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания H1 и В
этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности,
радиус которой равен половине радиуса данной окружности.
Треугольник
с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).
Рисунок
6
Такой
треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае
все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в
точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и
H=3A, т.е. ОАН - прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка
Н', симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного
треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого
треугольника.
Чтобы
выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как РММ1В = РММ3В = 900 , то точки М1 є М2 и М3 принадлежат
окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет
касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7).
Окружностью
девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной
окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая
через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной
окружности.
Список литературы
Майоров
В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение,
1968.
Скопец
З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru