О пропорциях

Содержание. 1.Введение. 2.Психология восприятия. 2. а) Немного истории. б) Наблюдать и применять. 3.Пропорции. 5. а) Пропорции в природе. б) Геометрия пропорции. 4.Пропорционирование. 5.Золотая пропорция. 9. а) История золотого сечения. б)Второе золотое сечение. в)

Ряд Фобиначчи. г) Золотое сечение и симметрия. 6.Литература. 1 ВВЕДЕНИЕ О вкусах не спорят" сколько раз каждому из нас доводилось слышать эту формулу, а то и произносить ее. Соглашаясь с ней, мы тем самым готовы защитить любое безобразие, какое только может позволить себе человеческое воображение. Человек, глубоко эгоистичный, суетливый, страстный, отвыкший прислушиваться к миру в большом и в малом, просто не имеет оснований для развития вкуса и постижения

гармонии, а потому он способен породить самую чудовищную эстетику, называя ее при этом красотой. "Красиво жить не запретишь" выплевывает сквозь жирные губы обыватель, защищая свои вкусы и запрещая спорить о них другим. "Конечно, конечно, мы не будем спорить о вкусах! Каждый по-своему прав, лишь бы нам не вредил" вторят животные в облике людей, не понимающие себя глубже телесных потребностей. И их поселяют в убогие жилища, их пичкают разрушительной музыкой, их со

школьной скамьи кормят убогостью, подавая ее под соусом неизбежности. Упадок эстетики, невнимание к красоте - это всегда упадок человечества, которое уже не хочет ни мечтать, ни стремиться к прекрасному. Это страдание и смерть. Трудно отдельному человеку противостоять целой системе пошлости, и он обречен подчиниться ей и погибнуть, если не имеет достаточных знаний. Хочется верить, что чувство прекрасного, гармонии мира живет в каждом

человеке - надо только проявить его, научиться им пользоваться. Наверное, трудно найти надежную меру для объективной оценки самой красоты, и одной логикой тут не обойдешься. Однако здесь поможет опыт тех, для кого поиск красоты был самим смыслом жизни, кто сделал это своей профессией. Это, прежде всего, люди искусства, как мы их называем: художники, архитекторы, скульпторы, музыканты, писатели. Но это и люди точных наук прежде всего, математики.

Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу

и к целому. 2 Психология восприятия. а.Немного истории. КРАСОТА ! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних времен до наших дней не прекращаются исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремится окружить себя красивыми вещами.

Посмотрите на предметы обихода жителя древности. Уже тогда создатели этих предметов преследовали не только чисто утилитарные цели — служить хранилищем воды, оружием в охоте и т. д но и одновременно стремились придать этим предметам красивые формы, украсить их рисунком, покрыть краской. Некоторые предметы быта постепенно утратили свое утилитарное назначение и превратились только в украшения. Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом:

почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращался - в его исследователя. Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного сформировалось в самостоятельную ветвь науки — эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии Здесь же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.

Известный теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший десять книг о зодчестве, говорил: «Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи этих трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии — упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту

Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соразмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было вполне совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей». Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо

в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый — красоту в истине. Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие" "формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов — от цветка ромашки (разве

он не прекрасен ) до красоты обнаженного человеческого тела. Попытки найти подобные критерии прекрасного в различных видах искусств и природы и составляют предмет эстетики. «Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы — квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные.

В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок — беспорядку, простоту — сложности, определенность — неопределенности. Очевидно в этом проявляется сущность самой жизни, как феномена природы — упорядочение беспорядка (хаоса). Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами.

Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному — «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом». Мы предпочли использовать первое название, как наиболее точно отражающее сущность этого понятия. Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов

Греции Пифагора, Платона, Эвклида. Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность ее сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы «скрепила» их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Такая пропорция отвечает гармоническому соединению, она и является золотой.

Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при создании своих произведений. В этом легко убедиться при изучении шедевров древнегреческого искусства. В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи именует ее «Sectjo autea» откуда и получил начало термин «золотое сечение». (По мнению белорусского философа Э. Сороко, термин «золотое сечение» идет от

Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения делится именно в таком отношении.) Лука Пачоли в 1509 году пишет первое сочинение о золотой пропорции, названной им «божественной». Иоганн Кеплер говорит о ней как о «бесценном Сокровище», как об одном из двух сокровищ геометрии. После И. Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал.

Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл его снова. В своих «Эстетических исследованиях» он пишет: «Для того чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым». Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого тела и животных, в некоторых эллинских храмах, в ботанике и музыке.

Дать определение золотой пропорции еще не значит её изучить. Нужно было определить величину этого удивительного соотношения. Она оказалась близкой к 1,6, а если точнее — к 1,62, еще точнее — к 1,618. Более глубокий математический анализ показал, что золотая пропорция является величиной иррациональной, то есть несоизмеримой, ее нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, она отвечает простому

математическому выражению (1+V5):2 и равна 1,6180339 Накопленные знания об этом уникальном соотношении частей в целом по эстафете передаются от поколения к поколению, наполняясь новым содержанием, проявляются в самых разнообразных областях науки, проникают в технику. К понятию «золотая пропорция» в наибольшей степи подходит определение «формула красоты». Действительно, эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного.

Эта пропорция знаменует собой как бы вершину эстетических изысканий, некий предел гармонии природы. Эта пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, ее присутствие отмечают почвоведы, химики, геологи и астрономы. Такая универсальность золотой пропорции не делает её простой и доступной для изучения. Многое в сущности этой «константы гармоничности» остается неизведанным.

Еще неясно, почему Природа предпочла эту пропорцию всем другим — не за ее ли уникальность? Характерно, что золотая пропорция отвечает делению целого на две неравные части, следовательно, она отвечает асимметрии. Почему же она так привлекательна, часто более привлекательна, чем симметричные пропорции? Очевидно, эта пропорция обладает каким-то особым свойством. Целое можно поделить на бесконечное множество неравных частей, но только одно из таких сечений отвечает

золотой пропорции. По-видимому, в этой пропорции скрыта одна из фундаментальных тайн природы, которую еще предстоит открыть. Рассмотрение особенностей проявления золотой пропорции — от объектов природы до произведений искусств и составляет предмет книги. Она не претендует на полноту изложения проблемы, так как исследования различных форм проявления золотой пропорции продолжаются, и в печати периодически появляются все новые и новые публикации.

Автор стремился изложить наиболее интересные факты и закономерности, касающиеся золотой пропорции, в достаточно популярной и увлекательной форме, делающей книгу доступной широкому кругу читателей. Насколько это удалось — судить читателям. Золотая пропорция — понятие математическое, ее изучение — это прежде всего задача науки, Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства. Неудивительно, что при изложении некоторых мыслей и выводов поэтическая форма оказалась предпочтительной,

и автор использовал в книге свои стихотворения, относящиеся к рассматриваемой теме. В конечном итоге, искусство — не противник, а союзник науки. б.Наблюдать и применять Понимание и использование принципа золотого сечения не должно быть уделом некоей элиты - это самое базовое знание, с которого начинаются бесконечно сложные законы гармонии и соизмерения. Нет границ осмысленному применению этих законов в жизни каждого дня.

Выделение главного и второстепенного по отношению к целому может касаться чего угодно. Это и распределение своего времени, и любой творческий процесс, включая все виды искусства, литературу, музыку, и формирование собственного отношения к любым процессам и явлениям. Это и есть тот Золотой, срединный путь, о котором говорили древние. Каждый художник, каждый режиссер, каждый специалист по рекламе знают, как сделать изображение приятным

глазу, как построить его по законам гармонии и психологии человеческого восприятия. Порой злейшие враги культуры достигают значительных побед, используя знания о законах Природы. Так, под видом приятного, располагающего к себе мы нередко допускаем к сердцу сильнейшие яды. Столько люди говорят о свободе, тогда как сами отравляются добровольно, удивляясь потом, откуда их болезни и несчастья. Не может быть свободы в невежестве.

Грубость и неразборчивость вкуса должна преодолеваться. Пусть это будет заботой как отдельных людей, так и общин, и государств. 3.Пропорции. а.Пропорции в природе. Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Спираль Архимеда Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется

его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни".

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Цикорий Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62

единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Ящерица живородящая В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Яйцо птицы Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании

единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология. Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности "золотой" симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных

частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия. б. Геометрия пропорции. В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: на две равные части

- АВ : АС = АВ : ВС; на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b

: а. Геометрическое изображение золотой пропорции 4.Пропорционирование. Размерные отношения элементов формы изделий являются той основой, на которой строится вся композиция. Поэтому пропорции являются одним из наиболее важных средств композиции. Исследованием пропорций занимались ученые, зодчие и художники с давних времен, так как это средство композиции при умелом его использовании дает непосредственный эффект гармонизации.

Пропорционированием в совершенстве владели древние зодчие и мастера-ремесленники. Современная техника значительно изменилась, поэтому использовать давно сложившиеся приемы и методы пропорционирование в настоящее время далеко не всегда возможно. Сегодня необходимо творческое осмысление пропорций в технике, особенно при проектировании сложных объемно-пространственных структур. В технику, например, нельзя механически переносить пропорции из архитектуры.

Пропорции лишь тогда становятся эффективным композиционным средством, когда принимаются с учетом сущности изделия, а не навязываются произвольно. Творчески относились к пропорционированию уже мастера и зодчие Древней Греции. Анализ материалистической связи красоты и пользы хорошо показан в диалоге Сократа и оружейника Пистия. Древний философ спрашивает оружейника: "Как получается, что ты продаешь больше панцырей, чем другие мастера, хотя делаешь их не более прочными

и не более роскошными?" - "Потому, что я их делаю пропорциональными" "Но ведь бывают непропорциональные фигуры. Как же ты можешь делать "пропорциональные" панцыри для "непропорциональных" фигур?" - "А я их подгоняю. Панцырь по мерке и есть панцырь пропорциональный". Методы пропорционирования в технике не могут быть такими же, как в архитектуре.

Это связано с разной степенью обусловленности формы конструкцией. В архитектуре систему пропорции можно разработать заранее и уже она во многом будет определять конструкцию и являться основой композиции. В технике же это почти невозможно. Нельзя пропорционировать, например, станок раньше, чем определится его кинематика или хотя бы в общем виде будет выбрана силовая схема. В данном случае художественно-конструкторская отработка формы должна

идти параллельно с инженерной отработкой конструкции. Пропорции станки могут определяться лишь в связи с его инженерной компоновкой, с основой его конструкции. При пропорционировании промышленных изделий правомерны два основных подхода. При первом проектировщик может от-носительно свободно задавать пропорции, т. е. вначале разрабатывать форму и от нее идти к конструкции. Такой подход правомерен при проектировании мебели, некоторых бытовых

приборов, оборудования и т. п. При разработке сложных изделий, размерные отношения которых определяются конструкцией, требуется иной подход. В этом случае художник-конструктор работает в контакте с инженером и должен вовремя корректировать строй формы в целом и отдельных ее элементов. Разграничение отмеченных подходов к пропорционированию в известной мере условно. Художник-конструктор в любом случае должен представлять себе важность пропорций как средства композиции

и диапазон своих возможностей. На многие проявления композиции пропорциональные отношения могут оказывать непосредственно е влияние. Соподчинение элементов формы во многом обусловлено наличием определенной закономерности в размерных соотношениях между элементами. С пропорциями связаны такие важнейшие закономерности, как усиление динамичности или статичности формы, увеличение ее зрительной устойчивости. В размерных отношениях пропорции выражают связи формы и конструкции,

т. е. взаимосвязаны с тектоникой. Особенности же объемно-пространственной структуры они характеризуют непосредственно. Пропорции могут строиться на контрасте или нюансе соотносимых величин, развивать ритм или метрический повтор, в известной мере определять характер формы. Особенности пропорционирования зависят еще от тех дополнительных средств (тоновой контраст, светотеневая структура и т. д.), которые будут использованы для того, чтобы усилить взаимодействие закономерности.

5.Золотая пропорция. а.История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при

их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Немецкий профессор Г.Е.Тимердинг, написавший в первой четверти ХХ века книгу о золотом сечении, констатирует: "У пифагорейцев < > с правильным пятиугольником была связана мысль о таинственных силах и свойствах, но эти свойства обнаруживаются лишь тогда, когда рядом с обыкновенным правильным пятиугольником будет рассматриваться та звезда, которая получается при последовательном соединении через одну всех вершин

обыкновенного пятиугольника, составленная диагоналями пятиугольника" и далее отмечает: пентаграмма играла большую роль во всех магических науках. Пятиконечная звезда, как показывает Тимердинг, буквально нашпигована пропорциями золотого сечения. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Динамические прямоугольники Платон (427 347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Пифагореец Тимей в одноименном диалоге Платона говорит: "Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так

относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет средним, а среднее - первым и последним. Таким образом, все необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое". Земной мир Платон строит, используя треугольники двух сортов: равнобедренные и неравнобедренные. Прекраснейшим прямоугольным треугольником он считает такой, в котором гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов (такой прямоугольник является половиной равностороннего, основной фигуры

вавилонян, в нем выступает отношение 1 : 31/2, отличающееся от золотого сечения примерно на 1/25, и называемое Тимердингом "соперником золотого сечения"). С помощью треугольников Платон строит четыре правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей, водой, воздухом и огнем). И лишь последний из пяти существующих правильных многогранников - додекаэдр, всеми двенадцатью гранями которого служат правильные пятиугольники, претендует на символическое

изображение небесного мира. Честь открытия додекаэдра (или, как полагалось, самой Вселенной, этой квинтэссенции четырех стихий, символизируемых, соответственно, тетраэдром, октаэдром, икосаэдром и кубом) принадлежит Гиппасу, впоследствии погибшему при кораблекрушении. В этой фигуре действительно запечатлено множество отношений золотого сечения, поэтому последнему отводилась главная роль в небесном мире, на чем впоследствии и настаивал брат минорит

Лука Пачоли. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Античный циркуль золотого сечения В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого

деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне.

Они были известны только посвященным. В средние века пентаграмма подверглась демонизации (как, впрочем, и многое, что почиталось божественным в античном язычестве) и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. Так, широкое хождение в тот период утверждения гуманизма обрела схема, описывающая строение человеческого тела: К такой картинке, по сути воспроизводящей пентаграмму, неоднократно прибегал и

Леонардо да Винчи. Ее интерпретация: тело человека обладает божественным совершенством, ибо заложенные в нем пропорции - такие же, как в главной небесной фигуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки,

Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась "О перспективе в живописи". Его считают творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства.

В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "О божественной пропорции" (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.) с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их

сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Такая пропорция лишь одна, а единственность - высочайшее свойство Бога. В ней воплощено святое триединство. Эта пропорция не может быть выражена доступным числом, остается скрытой и тайной и самими математиками называется иррациональной (так и Бог не может быть ни определен, ни разъяснен словами).

Бог никогда не изменяется и представляет всё во всем и всё в каждой своей части, так и золотое сечение для всякой непрерывной и определенной величины (независимо от того, большая она или малая) одно и то же, не может быть ни изменено, ни по иному воспринято рассудком. Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, с ее помощью и четыре других простых тела (четыре стихии - землю, воду, воздух, огонь), а на их основе вызвал к бытию всякую

другую вещь в природе; так и наша священная пропорция, согласно Платону в "Тимее", дает формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемого додекаэдром, который невозможно построить без золотого сечения. Таковы аргументы Пачоли. Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый

раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях.

Дюрер пишет. "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать". Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению.

Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя "Устроена она так писал он что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности". Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов Построение шкалы отрезков золотой пропорции В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка".

Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями.

Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой". Золотые пропорции в частях тела человека Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний

статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 :

1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных

эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название "

Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве". В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи. В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона

золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д. Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой

А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618 если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382 Для практических целей часто используют приближенные

значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям. Свойства золотого сечения описываются уравнеием: x2 - x - 1 = 0. Решение этого уравнения: б.Второе золотое сечение "Второе золотое сечение” которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений

удлиненного горизонтального формата. Построение второго золотого сечения Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией

AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44. Рис. 8. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника. в.Ряд Фибоначчи С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха

Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд "Книга об абаке" (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила "Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится".

Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 и т.д. Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д а отношение

смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение - 0,618 : 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего

количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16 Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения.

Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал. Факты, подтверждающие существование золотых сечений и их производных в природе, приводит белорусский

ученый Э.М. Сороко в книге "Структурная гармония систем" (Минск, "Наука и техника", 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезе о том, что золотые

сечения есть числовые постоянные для самоорганизующихся систем. Подтвержденная экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики - новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах. г.Золотое сечение и симметрия Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863 1925) считал золотое сечение одним из проявлений

симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление - это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая - движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует

покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она - свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения. Литература 1. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989. 2.

Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М 1982. 3. Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л М 1957. 4. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983. 5. Стахов А. Коды золотой пропорции. 6. Н.В.Васютинский.Москва. Молодая гвардия. 1990. 7. Э.Р.Нурка А.Э.Тельман.

История древнего мира.