Логический вывод на основе нечеткой метаимпликации
О.А. Мелихова
В работе подробно
рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации, с
помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений, используемая
в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.
При выполнении нечетких
выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между одной проблемной
областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виде нечеткого
подмножества прямого произведения , определяемого по формуле [7,13]:
, (1.1)
где –
область отправления, –
область прибытия, –
функция принадлежности нечеткому соответствию
R, а знак означает совокупность (объединение) множеств.
Если существует правило
типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A и B , то один из способов построения нечеткого соответствия R
состоит в следующем:
или
, (1.2)
где –
функции принадлежности элементов x, y соответственно множествам A и B.
Пример 1. Пусть X и Y-
области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образом нечеткие
множества: A= “маленькие”, B= “большие”.
X=Y={1,2,3,4}, т.е. для
примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве {1,2,3,4}:
.
Для примера “если x
маленькое, то y большое” (или , где знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно
построить нечеткое отношение R следующим образом:
y1
y2
y3
y4
x1
0
0,1
0,6
1
R=
x2
0
0,1
0,6
0,6
x3
0
0,1
0,1
0,1
x4
0
0
0
0
В качестве элементов
матрицы R записаны значения , вычисленные по формуле (1.2).
Для свертки нечетких
отношений чаще выбирается свертка max-min (максиминная
композиция). Пусть R – нечеткое соответствие множества X и
множества Y, а S –
нечеткое соответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие
между X и V определяется как свертка (композиция) , где
или
. (1.3)
Пример 2. Пусть и заданы нечеткие
множества A = “не маленькие”, H = “очень большие”, где
.
Тогда для правила “если
y не маленькое, то v очень большое” (или ), в соответствии с формулой (1.2) нечеткое соответствие S
определяется как
v1
v2
v3
v4
y1
0
0
0
0
S=
y2
0
0
0,4
0,4
y3
0
0
0,5
0,9
y4
0
0
0,5
1
Если теперь по формуле
(1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным в примере
1.1, то из двух отношений:
если x маленькое, то y большое,
если y не маленькое, то
v очень большое
можно построить нечеткое
отношение из X в V.
y1
y2
y3
y4
v1
v2
v3
v4
x1
0
0,1
0,6
1
y1
0
0
0
0
=
x2
0
0,1
0,6
0,6
y2
0
0
0,4
0,4
=
x3
0
0,1
0,1
0,1
y3
0
0
0,5
0,9
x4
0
0
0
0
y4
0
0
0,5
1
v1
v2
v3
v4
x1
0
0
0,5
1
=
x2
0
0
0,5
0,6
x3
0
0
0,1
0,1
x4
0
0
0
0
Модель принятия решений
на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможных
состояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается в
виде тройки (X,R,Y), где – базовые множества, на которых заданы,
соответственно, входы и выходы системы, R –
нечеткое соответствие “вход-выход”. Соответствие R строится на основе словесной
качественной информации специалиста (эксперта), путем непосредственной
формализации его нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятия
решений при функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа
“если , то , иначе, если , то , иначе, ..., если , то ”. Здесь , ,..., –
нечеткие подмножества, определенные на базовом множестве X, а , ,..., –
нечеткие подмножества из базового множества Y. Все эти нечеткие подмножества
задаются функциями принадлежности и .
Способ построения
нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если , то ” и определяется функцией принадлежности , получаемой по формуле (1.2). Связка “иначе” между правилами
понимается как или-связка, поскольку общее нечеткое отношение состоит из:
правило 1, или правило 2 , или, ..., или правило N. Поэтому общее отношение R
формально определяется следующим образом:
, где i=1,..., N.
(1.4)
Если предположить, что
мы имеем нечеткое событие , т.е. входную ситуацию, представленную нечетким
подмножеством, и известно общее отношение R, тогда результирующее действие
выводится по композиционному правилу вывода: . Значение функции принадлежности для вычисляется посредством
максиминной операции, определяемой уравнением
.
(1.5)
Рассмотренный логический
вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошо зарекомендовал себя
при использовании в экспертных системах, а также при принятии решений в
реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.
Список
литературы
Заде Л.А. Основы нового
подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. /М.: Математика
сегодня, 1974, с.5-49.
Дюбуа Д., Прад А. Теория
возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. с франц.
М.: Радио и связь, 1990, 288с.