Карл Фридрих Гаусс

(1777-1855)

Гаусса
нередко называют наследником Эйлера. Они оба носили неформальное звание
"король математиков" и удостоились посмертной уважительной шутки:
"Он перестал вычислять и жить". Их родным языком был немецкий, но
научные труды оба предпочитали писать по латыни. Впрочем, Гаусс оказался
последним латинистом среди крупных ученых Европы.

Он
с гордостью ощущал себя питомцем эпохи Просвещения. Действительно, в какую иную
эпоху талантливый сын садовника и водопроводчика мог удостоиться персональной
стипендии от герцога Брауншвейгского и быть принятым в Геттингенский
университет" Этот долг Гаусс вернул родине с лихвой: математическая школа
в Геттингене сделалась сильнейшей в Германии и процветала более ста лет "
пока к власти не пришел Гитлер.

Математический
талант Гаусса проявился в раннем детстве " и конечно, первым его
увлечением стала арифметика. В 9 лет он открыл (во время школьного урока)
формулу суммы арифметической прогрессии. Позднее Гаусс перенес все теоремы
арифметики натуральных чисел на многочлены и на целые комплексные числа. В
итоге в алгебре появилось общее понятие кольца. Заодно выяснилось, что
множество простых чисел вида (4к+1) бесконечно, и что все они представимы в
виде суммы двух квадратов. Это был первый новый факт такого рода, открытый со
времен Эратосфена. Позднее ученик Гаусса " Петер Дирихле " намного
превзошел учителя, доказав, что в любой арифметической прогрессии содержится бесконечное
множество простых чисел (если первый член и разность этой прогрессии взаимно
просты).

Гаусс
до старости сохранил юношескую жажду знаний и огромное любопытство. Например, в
62 года он быстро выучил русский язык, чтобы самому разобраться в трудах своего
коллеги " Николая Лобачевского. Но обычно Гаусс избегал читать чужие
статьи или книги. Ему хватало формулировки основного результата; доказательство
он придумывал сам, заодно открывая многие факты, о которых не подумал сам
автор. Такая привычка оформилась в юности " когда 19-летний Гаусс решил
сам освоить все достижения и методы алгебры, не пропуская ни одного яркого
приложения этой древней науки.

Результат
был поразительный. Гаусс нашел алгебраическое доказательство неразрешимости
многих задач на построение циркулем и линейкой, которые мучили еще Пифагора.
Ключевая идея Гаусса очень проста: надо изобразить точки плоскости комплексными
числами (как начал делать Эйлер), и тогда геометрическая задача превратится в
алгебраическую! Но как доказать неразрешимость алгебраической задачи"

Гаусс
заметил, что любое построение циркулем и линейкой сводится на алгебраическом
языке к решению цепочки квадратных уравнений. А каждая "непокорная"
задача на построение сводится к решению уравнения-многочлена степени большей,
чем 2. Почему же решение такого уравнения иногда не сводится к решению
квадратных уравнений" Тут мало одних расчетов; нужно вводить новые
математические понятия, отражающие суть дела.

Гаусс
изобрел два таких понятия: поле и векторное пространство. В итоге векторная
алгебра, давно привычная физикам и геометрам, стала самостоятельной
алгебраической наукой. Оказалось, что комплексное число, достижимое с помощью
циркуля и линейки, лежит в некотором поле размерности 2.. " а всякий
корень неразложимого многочлена степени (к) лежит в поле размерности (к). Если
интересующее нас число лежит в том и в другом поле " значит, число 2..
делится на (к); то есть, само число (к) является степенью двойки.

Из
этого рассуждения следует, что корень любого неразложимого многочлена степени 3
нельзя построить циркулем и линейкой. Например, не удается разделить на 3
равные части угол в 60", или построить треугольник по трем неравным
медианам. Такой же запрет препятствует делению окружности на 7, 11, 13, 9 или
25 равных частей. Но для 5 или 17 частей запрета нет, поскольку числа 5-1 = 4 и
17-1 = 16 суть степени двойки. Поэтому эллины нашли способ построения
правильного 5-угольника, а Гауссу удалось построить правильный 17-угольник. Он
завещал изобразить эту фигуру на своем надгробии " что и было сделано.
Однако проблема "квадратуры круга" Гауссу не покорилась.

К
24 годам Гаусс вошел в число самых известных математиков Европы. Но для полной
славы нужно было отличиться в области небесной механики; тут судьба подбросила
Гауссу достойную задачу. В первую ночь 1801 года астрономы обнаружили на небе
малую планету Цереру, чья траектория лежит между Марсом и Юпитером. После
немногих наблюдений планета была потеряна, и астрономы обратились за помощью к
математикам. Гаусс первым откликнулся на этот призыв: по трем наблюдениям он
сумел предсказать все будущие положения Цереры. Полвека спустя теория
возмущений Гаусса позволила астрономам рассчитать положение на небе еще никем
не виданной планеты " Нептуна.

В
30 лет Гаусс считался уже "королем" европейских математиков.
Соперничать ему было не с кем " да он и не любил это занятие. Материальное
благосостояние не угрожало профессору. Всесильный Наполеон тогда успешно грабил
всю Европу, а Ганновер " особенно, поскольку это была вотчина короля непокорной
Англии. Молодая жена Гаусса умерла. Только поиск новых тайн природы (в той
мере, в какой они открываются через математику) помогал ученому отвлечься от
невзгод.

Замечательный
успех в области геометрических построений побудил Гаусса к поискам новых
геометрических доказательств. Он увлекся старой, как мир, загадкой евклидова
постулата о параллельных прямых. В 1818 году Гаусс догадался, что этот постулат
может иметь иную формулировку " но не на плоскости, а на других
поверхностях, неведомых Евклиду.

До
конца жизни Гаусс хранил молчание о своих открытиях в области оснований
геометрии " даже после того, как их повторили более молодые математики:
Николай Лобачевский из Казани и Янош Больяи из Темешвароша. В чем тут
дело" Кое-что можно понять из писем Гаусса к его друзьям; об остальном
приходится догадываться. Чтобы убедить научный (и околонаучный) мир в
независимости постулата Евклида " надо предъявить наглядную модель, где
выполнены все прочие аксиомы, а эта заменена чем-то другим. Например,
параллельных прямых может вовсе не быть, если любые две прямые пересекаются.
Так обстоит дело на сфере, где роль прямых играют окружности наибольшего
радиуса. Позднее эту геометрию назвали именем Римана, но в начале 19 века ее
никто не принял бы всерьез. Иной вариант геометрии " со многими прямыми,
проходящими через одну точку и не пересекающими данную прямую " называют
геометрией Лобачевского. Она реализуется на поверхности с постоянной
отрицательной кривизной: на так называемой псевдосфере, которая получается при
вращении трактрисы ("кривой преследования", похожей на гиперболу)
вокруг ее оси. Гаусс то ли не смог построить псевдосферу, то ли не заметил ее
уникальные свойства; а без этого он не решился огласить новую
"неестественную" геометрию перед широкой публикой.

Но
почему Гаусс не распространил свою гипотезу о параллельных прямых хотя бы в
узком кругу математиков" Ведь именно так поступил Пифагор, обнаружив
несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной! Вероятно, Гаусс рассуждал
так: если постулат о параллельных прямых независим от прочих аксиом, то
исчезает единая наука геометрия! Она разделяется, по крайней мере, на три ветви
" согласно трем вариантам постулата о параллельных (по Евклиду, по Риману
и по Лобачевскому). А что дальше" Не продолжится ли ветвление геометрической
науки неограниченно " по каждой новой аксиоме" Не охватит ли этот
процесс всю математику" И кто захочет работать в такой раздробленной
науке"

Видимо,
так рассуждал Гаусс во второй половине своей жизни " и молчал, не в силах
ответить себе и другим на этот грозный вопрос. Трудно ответить на него и в 20
веке " после того, как смутная догадка Гаусса превратилась в 1931 году в
суровую теорему Геделя о неполноте любой формальной системы аксиом.

Но
ученому надо жить и работать " даже когда его разум не дает ответа на
мучающие его вопросы. После 1820 года Гаусс увлекся геометрией произвольных
гладких поверхностей. Он дал определение их кривизны и нашел неожиданную связь
кривизны с эйлеровой характеристикой поверхности. Занимался Гаусс и
математической физикой: он строил математическую теорию магнетизма, в то время
как в Англии Фарадей изобретал способы технического использования этой
природной силы.

Не
забывал Гаусс и о комплексных числах, которые так славно помогли ему
разобраться в тайнах геометрических построений. Как будто развлекаясь, одинокий
мудрец придумывал все новые доказательства своей теоремы о том, что всякий
многочлен имеет комплексный корень. Видимо, Гаусс хотел понять: имеет ли эта
"чисто алгебраическая" проблема хоть одно число алгебраическое решение,
или неизбежны комбинации алгебры с геометрией, либо с математическим
анализом"

Оказалось,
что такие комбинации неизбежны. Любая сложная проблема решается лишь после
нескольких ее переводов с одного математического языка на другой. И вот уже два
столетия вся математическая наука развивается, а в режиме взаимопомощи и
сплетения ее различных ветвей. Гаусс первым начал работать в таком режиме: как
бы перебрасывая горящий уголек из одной ладони в другую. За это его называют
"отцом современной математики".

Список литературы

Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.sch57.msk.ru/