Русская гимназия КОНСПЕКТ на тему: Функция Выполнил ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей Руководитель учитель Математики Юлина О. А. Нижний Новгород 1997 год Функция и её свойства
Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменная х- независимая переменная или аргумент. Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х. Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная. Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция. Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x) Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x) Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1f(х2) Способы задания функции
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулыу=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически. На практике часто используется табличныйспособ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов. Виды функций и их свойства
Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b) на оси ординат
Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к№0. Число k называется коэффициентом пропорциональности. Cвойства функции y=kx:
Область определения функции- множество всех действительных чисел y=kx - нечетная функция
При k>0 функция возрастает, а при k
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx. Свойства функции y=kx+b: Область определения- множество всех действительных чисел Функция y=kx+b общего вида, т. е. ни чётна, ни нечётна.
При k>0 функция возрастает, а при k
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности. Свойства функции y=k/x:
Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля y=k/x- нечетная функция
Если k>0, то функция убывает на промежутке (0; +Ґ) и на промежутке (-Ґ; 0). Если k 5)Функция y=x2 Свойства функции y=x2: Область определения- вся числовая прямая y=x2 - четная функция На промежутке [0; +Ґ) функция возрастает На промежутке (-Ґ; 0] функция убывает Графиком функции является парабола. 6)Функция y=x3 Свойства функции y=x3: Область определения- вся числовая прямая y=x3 -нечетная функция Функция возрастает на всей числовой прямой Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п. 2. При n=2; 3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше. Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4, 6, 8.... В этом случае функцияy=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5, 7, 9.... В этом случае функцияy=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу. 8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п. 4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3, 5, 7.... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х. Пусть n- четное число, например n=2. Свойства функции y=x-2: Функция определена при всех x№0 y=x-2 - четная функция Функция убывает на (0; +Ґ) и возрастает на (-Ґ; 0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух. 9)Функция y=Цх Свойства функции y=Цх: Область определения - луч [0; +Ґ). Функция y=Цх - общего вида Функция возрастает на луче [0; +Ґ). 10)Функция y=3Цх Свойства функции y=3Цх: Область определения- вся числовая прямая Функция y=3Цх нечетна. Функция возрастает на всей числовой прямой. 11)Функция y=nЦх
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Цх. При нечетном n функция y=nЦх обладает теми же свойствами, что и функция y=3Цх.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь. Свойства функции y=xr: Область определения- луч [0; +Ґ). Функция общего вида Функция возрастает на [0; +Ґ).
На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0; +Ґ). Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1. На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0
13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь. Свойства функции y=x-r: Обл. определения -промежуток (0; +Ґ) Функция общего вида Функция убывает на (0; +Ґ) 14)Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима. Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция. Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.