Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Реферат

Реферат по предмету "Математика"


Двойной интеграл в полярных координатах

Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения РЕФЕРАТ Выполнил студент группы 60-5ЭВТ Немцев Михаил Краснодар 1998г. Двойной интеграл в полярных координатах Пусть в двойном интеграле (1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos j, y = r sin j. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис. 1). Введем обозначения: Drj = rj+1 - rj, Dji = ji+1 - ji
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейкиDSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениямиrjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна: DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны: xij = rj cos ji, yij = rj sin ji. И следовательно, f(xij, yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем: (4)
где d - максимальный диаметр ячеек DSijи сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в областиS. С другой стороны, величины ji и rjсуть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскостиOjr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции f(r cosj, r sinj)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно (5) Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно (6) Выражение dS = r dj dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координатыx и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрированияS определяется неравенствами
Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a, b]. (рис 2). Имеем (8) Где F(r, j) = rf(r cosj, r sinj) Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0, 0) (рис 3). Так как то применяя формулу (6), получим Область S определена Неравенствами Поэтому на основании формулы (8) имеем Пример 2. В интеграле (9) перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4). В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: j=0, j=p/4, r cosj=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что имеем


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Туристический маркетинг
Реферат Права членов семьи собственника жилого помещения
Реферат Elements Of Personality Essay Research Paper Theories
Реферат Динамика ценностных ориентаций студентов педагогического вуза
Реферат Анатолий Чудинов
Реферат География хозяйства и природопользования в России и других стран СНГ
Реферат Страховой рынок России: участники, структура, тенденции развития
Реферат Организационно - методические особенности творческого преподавания лечебной гимнастики
Реферат Георгий Николаевич Владимов (Волосевич)
Реферат Hedda Gabler By Henrik Ibsen Essay Research
Реферат Молодёжная политика: международное молодёжное движение сегодня
Реферат Развитие представлений об эмоциях у детей младшего школьного возраста с задержкой психического развития посредством игровой терапии
Реферат Влияние ролевых компьютерных игр на формирование психологической зависимости человека от компьютера
Реферат Нормативное выражение процессуального статуса следователя
Реферат Система государственной службы в России