1. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ
В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, -- це обмежений дохід:
max u(x) (1.1)
px = M
де х=(х1,...,хn)? - вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; n - число різноманітних товарів; u(х) - функція корисності споживача; р = (p1,…,pn) - вектор-рядок цін товарів; М - обсяг доходу споживача.
Це задача на умовний екстремум, i її розвязок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа:
L(x,л)=u(x)-л(px-M).
Необхідними умовами локального екстремуму є:
(1.2)
(1.3)
Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)=є вiдємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір , що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін:
Якщо розвязати (1.2), (1.3) відносно , отримаємо функцію попиту споживача:
2. РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО
Розглянемо, як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо зміниться ціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на . Це приводить до такої зміни попиту на товари
(2.1)
де р - вектор-рядок цін; U - матриця Гессе; - вектор-стовпчик попиту на товари; - множник Лагранжа; - індекс n за дужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.
Проаналізуємо зміст складових, що входять у рівняння (2.1).
Зміна попиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на таку величину , яка компенсує споживачеві збільшення ціни на n-й товар (благо) на .
Збільшення ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:
(2.2)
Тобто друга складова у правій частині рівняння (2.1) -- це зміна попиту, якщо зростання ціни n-го товару на компенсується збільшенням доходу на .
Зміна попиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на , то відповідно змінюється попит:
(2.3)
Обєднуючи вирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиною теорії корисності:
(2.4)
Оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з відємним знаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.
Ефект доходу полягає у змiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.
Ефект заміщення полягає у змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.
Графік представлено на малюнку 2.1
Малюнок 2.1 - Графік
3. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ
Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х - кількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів різних видів ресурсів через х = (х1, ..., хn)?. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає звязок між випуском i витратами ресурсів:
Х=F(х).
Припускається, що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiдємно визначеною.
Якщо - вектор-рядок цін ресурсів, а р - ціна продукції, то кожному вектору витрат х вiдповiдає прибуток:
(3.1)
У (3.1) - вартість річного випуску фірми, або її річний дохід, - витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.
Якщо не вводити інших обмежень, крім невідємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:
(3.2)
Це задача нелiнiйного програмування з n умовами невідємності: Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна-Таккера:
(3.3)
Якщо в оптимальному розвязку використовуються всi види ресурсів, тобто , то умови (3.3) матимуть вигляд:
(3.4)
тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його цiнi.
Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат
(3.5)
Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiдємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа
і знайдемо її максимум за умови невiдємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:
(3.6)
Як бачимо, якщо покласти , умови (3.6) збiгаються з умовами (3.3).