Доверительный интервал, доверительная вероятность

5

Содержание

1. Введение

2. Основная часть

2.1.1 Понятие о доверительных интервалах

2.1.2 Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии

2.1.3 Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии

2.1.4 Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины

2.2 Генеральная совокупность

2.2.1 Построение доверительного интервала для генеральной средней по малой выборке

2.2.2 Построение доверительного интервала для генеральной доли по малой выборке

2.2.3 Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии

3. Заключение

Список литературы

1.Введение

На практике мы всегда имеем дело с ограниченным числом измерений, и задача, которая всегда стоит перед оператором, состоит в том, как оценить точность измерений, т.е. найти его меру приближения к истинному значению на основании группы результатов наблюдения.

В результате отдельных измерений мы получаем некоторые строго фиксированные результаты (точки) измеряемой величины. Их значения являются случайными с некоторым распределением. Случайная погрешность измерения образуется под влиянием большого числа факторов, сопутствующих процессу измерения. Важно зафиксировать отклонения и, при использовании полученных результатов, использовать подход, который будет учитывать такие флуктуации. Подходящим решением является введение понятий доверительного интервала и доверительной вероятности.

2. Основная часть

2.1.1 Понятие о доверительных интервалах.

После получения точечной оценки и^* желательно иметь данные о надежности такой оценки. Особенно важно иметь сведения о точности оценок для небольших выборок (поскольку с возрастанием объема п выборки несмещенность и состоятельность основных оценок гарантируется утверждениями математической статистики). Поэтому точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой -- интервалом (и₁, и ₂), внутри которого с наперед заданной вероятностью г находится точное значение оцениваемого параметра и. Задачу определения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал -- доверительным интервалом. При этом г называют доверительной вероятностью или надежностью, с которой оцениваемый параметр и попадает в интервал (и _1, и ₂).

Зачастую для определения доверительного интервала заранее выбирают число б = 1 -- г, 0< б < 1, называемое уровнем значимости, и находят два числа и ₁ и и ₂, зависящих от точечной оценки и^*, такие, что

Р(и ₁< и < и ₂) = 1- б = г. (1)

В этом случае говорят, что интервал (и _1, и ₂) накрывает неизвестный параметр и с вероятностью (1 - б), или в 100(1 - б)% случаев. Границы интервала и ₁ и и ₂ называются доверительными, и они обычно находятся из условия Р(и < и ₁) = Р(и > и ₂ ) = б/2 (рис. 1) [2].

Рисунок 1 - Распределение параметра и

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки п и надежности г (уровня значимости г= 1 - б). При увеличении величины п длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности г к единице -- увеличивается. Выбор б (или г = 1 - б) определяется конкретными условиями. Обычно используется б=0,1; 0,05; 0,01, что соответствует 90, 95, 99%-м доверительным интервалам.

Общая схема построения доверительного интервала:

1. Из генеральной совокупности с известным распределением f(x, и) случайной величины X извлекается выборка объема п, по которой находится точечная оценка и * параметра и.

2. Строится случайная величина Y(и), связанная с параметром и и имеющая известную плотность вероятности f(у, и).

3. Задается уровень значимости б.

4. Используя плотность вероятности случайной величины Y, определяют два числа с₁ и с₂ такие, что

. (2)

Значения с₁ и с₂ выбираются как правило, из условий

; .

Неравенство с₁ < Y(и) < с₂ преобразуется в равносильное и*- д < и < и + д такое, что Р (и*- д < и < и*+ д ) = 1 - б [1].

Полученный интервал (и *- д < и < и *+ д), накрывающий неизвестный параметр и с вероятностью 1 - б, и является интервальной оценкой параметра и.

Интервальная оценка также носит случайный характер, так как она напрямую связана с результатами выборки. Однако она позволяет сделать следующий вывод. Если построен доверительный интервал, который с надежностью г = 1 - б накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по К выборкам одинакового объема п, то в (1-б)К случаях построенные интервалы накроют истинное значение исследуемого параметра.

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится находить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение, приведем схемы их определения.

2.1.2 Доверительный интервал для математического ожидания

нормальной случайной величины при известной дисперсии.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией у² и неизвестным математическим ожиданием M(Х~N(т, у)). Построим доверительный интервал для т.

1. Пусть для оценки т извлечена выборка х₁, х₂, ..., х_п объема n. Тогда

2. Составим случайную величину . Нетрудно показать, что случайная величина u имеет стандартизированное нормальное распределение, т.е. u~N(0,1) ().

3. Зададим уровень значимости б.

4. Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

. (3)

Это означает, что доверительный интервал накрывает неизвестный параметр т с надежностью 1- б. Точность оценки определяется величиной [6].

Отметим, что число определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства (рис. 2) [2].

Рисунок 2 - Стандартизированное нормальное распределение случайной величины

Пример 1. На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов у = 10 г. Взвешено 25 пакетов, при этом их средний вес составил = 244 г. В каком интервале с надежностью 95 % лежит истинное значение среднего веса пакетов?

Логично считать, что случайная величина X имеет нормальный закон распределения: Х~N(m, 10). Для определения 95%-го доверительного интервала найдем критическую точку = u_0,025 из приложения 1 по соотношению

.

Тогда по формуле (3) построим доверительный интервал:

.

2.1.3Доверительный интервал для математического ожидания

нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии.

В реальности истинное значение дисперсии исследуемой случайной величины, скорее всего, известно не будет. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, имеющей нормальное распределение.

Пусть X ~ N(m, у²), причем т и у² -- неизвестны. Необходимо построить доверительный интервал, накрывающий с надежностью г = 1 - б истинное значение параметра т.

Для этого из генеральной совокупности случайной величины X извлекается выборка объема п: х₁, х₂, ..., х_п.

1. В качестве точечной оценки математического ожидания т используется выборочное среднее , а в качестве оценки, дисперсии у² -- исправленная выборочная дисперсия , которой соответствует стандартное отклонение .

2. Для нахождения доверительного интервала строится статистика , имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = п - 1 независимо от значений параметров т и у ².

3. Задается требуемый уровень значимости б.

4. Применяется следующая формула расчета вероятности

(4)

где -- критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по соответствующей таблице [5]. Тогда

.

Это означает, что интервал накрывает неизвестный параметр m с надежностью 1 - б.

Пример 2. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака, если известны: у = 2; = 5,4; n = 10; г = 0,95.

Решение.

2Ф(t) = 0,95, Ф(t) = 0,5*0,95=0,475.

Найдя t = 1,96, получим .

Доверительный интервал

(- д; + д) = (5,4-1,24; 5,4+1,24)=(4,16; 6,64).

Пример 3. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратическое отклонение равно 2.

Решение.

Дано: г = 0,95; д = 0,2; у = 2. Найти n.

Из формулы находим. Из условия 2Ф(t) = 0,95 находим t = 1,96. Тогда .

Пример 4. По заданным значениям характеристик нормально распределенного признака найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания:

г = 0,95, n =12, S = 1,5. = 16,8.

Решение.

По данным г и n находим t = 2,20, тогда .

Доверительный интервал: (16,8 - 0,95; 16,8 + 0,95) = (15,85; 17,75).

2.1.4 Доверительный интервал для дисперсии нормальной

случайной величины.

Пусть X ~ N(т, у²), причем т и у² -- неизвестны. Пусть для оценки у ² извлечена выборка объема п: : х₁, х₂, ..., х_п .

1. В качестве точечной оценки дисперсии D(X) используется исправленная выборочная дисперсия которой соответствует стандартное отклонение .

2. При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика , имеющая -распределение с числом степеней свободы v = п - 1 независимо от значения параметра у ² .

3. Задается требуемый уровень значимости б.

4. Тогда, используя таблицу критических точек распределения, нетрудно указать критические точки , для которых будет выполняться следующее равенство:

. (5)

Подставив вместо соответствующее значение, получим

(6)

Неравенство может быть преобразовано в следующее:

. (7)

Таким образом, доверительный интервал () накрывает неизвестный параметр с надежностью 1- б. А доверительный интервал () с надежностью 1 - б накрывает неизвестный параметр [7].

2.2 Генеральная совокупность.

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений или реализаций исследуемой случайной величины при данном реальном комплексе условий.

Выборкой называют часть генеральной совокупности, отобранную для изучения.

Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат, поэтому на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшого объема п<10-20. В этом случае используемый обычно метод построения интервальной оценки для генеральной средней (среднего арифметического генеральной совокупности) и генеральной доли (доли элементов, обладающих необходимым признаком) неприменим в силу двух обстоятельств:

1) необоснованным становится вывод о нормальном законе распределения выборочных средней и доли w, так как он основан на центральной предельной теореме при больших п;

2) необоснованной становится замена неизвестных генеральной дисперсии у² и доли р их точечными оценками (или ) или w, так как в силу закона больших чисел (состоятельности оценок) эта замена возможна лишь при больших п [4].

2.2.1 Построение доверительного интервала для генеральной

средней по малой выборке.

Задача построения доверительного интервала для генеральной средней может быть решена, если в генеральной совокупности рассматриваемый признак имеет нормальное распределение.

Теорема. Если признак (случайная величина) X имеет нормальный закон распределения с параметрами , _x² = ², т.е. , то выборочная средняя при любом n имеет нормальный закон распределения

Если в случае больших выборок из любых генеральных совокупностей нормальность распределения обусловливалась суммированием большого числа одинаково распределенных случайных величин /n (теорема Ляпунова), то в случае малых выборок, полученных из нормальной генеральной совокупности, нормальность распределения вытекает из того, что распределение суммы (композиция) любого числа нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Формулы числовых характеристик для получены ранее.

Таким образом, если бы была известна генеральная дисперсия , то доверительный интервал можно было бы построить аналогично изложенному выше и при малых n. Заметим, что в этом случае нормированное отклонение выборочной средней имеет стандартное нормальное распределение N(0; 1), т.е. нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.

Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим, что

,

.

Однако на практике почти всегда генеральная дисперсия (как и оцениваемая генеральная средняя ) неизвестна. Если заменить ее «наилучшей» оценкой по выборке, а именно «исправленной» выборочной дисперсией , то большой интерес представляет распределение выборочной характеристики (статистики) или с учетом малой выборки, распределение статистики .

Представим статистику t в виде:

. (8)

Числитель выражения (8) имеет стандартное нормальное распределение N(0; 1). Можно показать, что случайная величина имеет -распределение с н = n - 1 степенями свободы. Следовательно, статистика t имеет t-распределение Стьюдента с н=п - 1 степенями свободы. Указанное распределение не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины X, а зависит лишь от числа н, называемого числом степеней свободы.

Выше отмечено, что t-распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и действительно при н >? как угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы к определяется как общее число n наблюдений (вариантов) случайной величины X минус число уравнений l, связывающих эти наблюдения, т.е. н = п - l.

Так, например, для распределения статистики число степеней свободы н = п - 1, ибо одна степень свободы «теряется» при определении выборочной средней (и наблюдений связаны одним уравнением ).

3ная t-распределение Стьюдента, можно найти такое критическое значение что вероятность того, что статистика не превзойдет величину (по абсолютной величине), равна:

(9)

Функция , где - плотность вероятности t-распределения Стьюдента при числе степеней свободы н табулирована. Эта функция аналогична функции Лапласа Ф(t), но в отличие от нее является функцией двух переменных -- t и н = п-1. При н >? функция неограниченно приближается к функции Лапласа Ф(t)[4].

Формула доверительной вероятности для малой выборки может быть представлена в равносильном виде:

, (10)

где

(11)

- предельная ошибка малой выборки. Доверительный интервал для генеральной средней, как и ранее, находится по формуле:

. (12)

Пример 5. Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980 ч, а среднее квадратическое отклонение их срока службы -- 18 ч. Необходимо определить: а) вероятность того, что средний срок службы ламп во всей партии отличается от среднего срока службы отобранных для испытаний ламп не более чем на 8 ч (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний срок службы ламп во всей партии.

Решение.

Имеем по условию п = 20, = 980(ч), S = 18 ч.

а) Зная предельную ошибку малой выборки = 8 (ч), найдем из соотношения (9):

Теперь искомая доверительная вероятность

, а находится по таблице значений при числе степеней свободы = 16.

Итак, вероятность того, что расхождение средних сроков службы электроламп в выборке и во всей партии не превысит 8 ч (по абсолютной величине), равна 0,906.

б) Учитывая, что = 0,95 и t_0,95;16 =2,12, по (11) найдем предельную ошибку малой выборки (ч). Теперь по (12) искомый доверительный интервал или (ч), т.е. с надежностью 0,95 средний срок службы электроламп в партии заключен от 970,5 до 989,5 ч.

2.2.2 Построение доверительного интервала для генеральной доли

по малой выборке.

Если доля признака в генеральной совокупности равна р то вероятность того, что в повторной выборке объема п т элементов обладают этим признаком, определяется по формуле Бернулли: , где q = 1 - р, т.е. распределение повторной выборки описывается биномиальным распределением. Так как при р?0,5 биномиальное распределение несимметрично, то в качестве доверительного интервала для р берут такой интервал (p₁, p₂), что вероятность попадания левее р₁ и правее p₂ одна и та же и равна (1 - г)/2:

,

где - фактическое число элементов выборки, обладающих признаком.

Рисунок 3 - Генеральная доля для г=0,9

Решение таких уравнений можно упростить, если использовать специальные графики, позволяющие при данном объеме выборки п и заданной доверительной вероятности г определить границы доверительного интервала для генеральной доли р. В качестве примера на рисунке 3 приведены такие графики для г = 0,9.

Пример 6. Опрос случайно отобранных 15 жителей города показал, что 6 из них будут поддерживать действующего мэра на предстоящих выборах. Найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключена доля граждан города, которые будут поддерживать на предстоящих выборах действующего мэра.

Решение.

Выборочная доля жителей, поддерживающих мэра, w = т/п = 6/15 = 0,4 . По рисунку 3 для г = 0,9 находим при w = 0,4 и для п = 15 по нижнему графику p₁=0,23, а по верхнему -- р₂ = 0,60, т.е. доля жителей города, поддерживающих мэра, с надежностью 0,9 заключена в границах от 0,23 до 0,60. Очевидно, что более точный ответ на вопрос задачи может быть получен при увеличении объема выборки п.

2.2.3Построение доверительного интервала для генеральной

дисперсии.

Пусть распределение признака (случайной величины) X в генеральной совокупности является нормальным N(, ²). Предположим, что математическое ожидание М(Х) = (генеральная средняя) известно. Тогда выборочная дисперсия повторной выборки X₁, X₂, …, X_n:

,

ее не следует путать с выборочной дисперсией

и «исправленной» выборочной дисперсией

,

если S характеризует вариацию значений признака относительно генеральной средней , то и -- относительно выборочной средней [3].

Рассмотрим статистику

Учитывая, M(X_i) =, D(X_i)=у² , (i = 1, 2, …, n) нетрудно показать, что М(t) = 0 и .

Выше отмечено, что распределение суммы квадратов п независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0;l), представляет распределение ² с н = п степенями свободы.

Таким образом, статистика имеет распределение ² с н = п степенями свободы.

Распределение ² не зависит от неизвестных параметров случайной величины X, а зависит лишь от числа степеней свободы н.

Плотность вероятности распределения имеет сложный вид и интегрирование ее является весьма трудоемким процессом. Составлены таблицы для вычисления вероятности того, что случайная величина, имеющая ² - распределение с н степенями свободы, превысит некоторое критическое значение , т.е.

, где

В практике выборочного наблюдения математическое ожидание , как правило, неизвестно, и приходится иметь дело не с , а с S² или . Если Х₁, X₂,...,X_n -- повторная выборка из нормально распределенной генеральной совокупности, то, как уже сказано выше, случайная величина (или ) имеет распределение ² с н = п--1 степенями свободы. Поэтому для заданной доверительной вероятности г можно записать:

(13)

(графически это площадь под кривой распределения и рис. 4).

Рисунок 4 - Кривая распределения ²

Очевидно, что значения и определяются неоднозначно при одном и том же значении заштрихованной площади. Обычно и выбирают таким образом, чтобы вероятности событий < и > были одинаковы, т. е.

.

Преобразовав двойное неравенство в равенстве (13) к равносильному виду , получим формулу доверительной вероятности для генеральной дисперсии:

_, (14)

а для среднеквадратического отклонения:

. (15)

При использовании таблиц вероятностей необходимо учесть, что поэтому условие

равносильно условию .

Таким образом, значения и находим из равенств:

, (16)

. (17)

Пример 7. На основании выборочных наблюдений производительности труда 20 работниц было установлено, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки составляет 15 м ткани в час. Предполагая, что производительность труда работницы имеет нормальное распределение, найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключены генеральные дисперсия и среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц.

Решение.

Имеем г = 0,9; (1 - г)/2 = 0,05; (1 +г)/2 = 0,95.

При числе степеней свободы н = n - 1=20 - 1=19 в соответствии с (16) и (17) определим и для вероятностей 0,95 и 0,05, т.е. = 10,1 и = 30,1. Тогда доверительный интервал для у² по (14) можно записать в виде:

или и для у по (15):

или 12,2 < у <21,1(м/ч).

Итак, с надежностью 0,9 дисперсия суточной выработки работниц заключена в границах от 149,5 до 445,6, а ее среднее квадратическое отклонение -- от 12,2 до 21,1 метров ткани в час.

Таблицы составлены при числе степеней свободы н от 1 до 30. При н>30 можно считать, что случайная величина имеет стандартное нормальное распределение N(0; l). Поэтому для определения и следует записать, что

P()=Ф(t)=г,

откуда и, после преобразований,

- таким образом, при расчете доверительного интервала надо полагать , .

Пример 8. Решить задачу, приведенную в примере 7, при п = 100 работницам.

Решение.

При Ф(t) = 0,9 t = 1,645, поэтому

Далее решение, аналогичное примеру 7, приводит к доверительным интервалам для у²: 183,1<у² < 293,0 и для у: 13,5< у<17,1 (м/ч).

3. Заключение

В данной курсовой работе рассмотрено понятие доверительного интервала и его разновидности в метрологии.

Провести бесконечное число измерений для получения верного результата в реальной жизни невозможно, поэтому важно дать объективное представление результатов ограниченного числа измерений, чему и призван помочь изучаемый подход.

Цель любого оценивания состоит в получении наиболее точного значения исследуемой характеристики. Доверительный интервал позволяет с определенной точностью получить распределение параметра, что дает хорошее представление об исследуемом объекте.

Список литературы

1. Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической статистики. - М.: Изд-во МГУ, ЧеРо, 1998. С. 114

2. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. - Мн.: БГУ, 2000. С. 46-48, 60-70

3. Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Госиноиздат, 1948. С. 118-130

4. Крамер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. С. 140-144

5. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Изд-во МГУ, 1963. С. 30-33

6. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. Основы математического аппарата и прикладные аспекты. - М.: Изд-во МГУ, 1992.

7. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. - М.: Инфра-М Финансы и статистика, 1995.