Реферат по предмету "Медицина"


Интегральные преобразования

Операционное исчисление и некоторые его приложения
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
/>
Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие: |f(t)|
Рассмотрим функцию f(t)×e-pt, где р – комплексное число р = ( а + i b).
/>                                  (1)
Применим к этому соотношению формулу Эйлера :
/>
Проинтегрировав это равенство получим :
/>                (2)
Оценим левую часть равенства (2) :
/>
А согласно свойству (3)  |f(t)|
/>
В случае если a>S0 имеем :
/>
Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р:
/>             (3)
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
/> - это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем: с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности: если две функции j( t)  и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Смысл теоремы: если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.
Изображение функций s(t), sin(t), cos(t).
Определение: /> называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
/>
Изображение единичной функции />
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
/>
интегрируя по частям получим :
/>  т.е. />
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию />в области преобразований. Откуда: />
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
/>где а – константа.
Таким образом: />
/>  и />
Свойства линейности изображения.
Теорема: изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
/>
Если />, то />, где />
Теорема смещения: если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e-at f(t)                                 (4)
Доказательство :
Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
/>
Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений: F(p) f(t) F(p) f(p)
/> 1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Изображение производных.
Теорема. Если />, то справедливо выражение :
/>                                             (1)
Доказательство :
/>
/>
/>                           (2)
/>    (3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
/>
Что и требовалось доказать.
Пример: Решить дифференциальное уравнение :
/>  Если x(0)=0   и x’(0)=0
Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и />, где /> — решение в области изображений.
/>
/>
        />
Изображающее уравнение :
/>
/>
/>
Теорема о интегрировании оригинала. Пусть /> находится в области оригиналов, />, тогда />также оригинал, а его изображение />.
Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений: Пусть /> – функция оригинал, которая имеет изображение />и /> также оригинал, а /> — является сходящимся интегралом, тогда />.
Толкование теоремы: операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
/>            (1)
Свертка обозначается следующим образом :
/>                         (1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
/>
/>
 Теорема о умножении изображений. Пусть />и />, тогда произведение изображений /> представляется сверткой оригиналов />.
Доказательство:
Пусть изображение свертки />
/>                      (1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t. Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
/>
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса. Пусть функция /> находится в области оригиналов, />, а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что />, тогда  />.
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл  Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
/>  (2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.
/> - Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
/>, где s – некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы разложения.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.
Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде />,  k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, />, то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы: />.
Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией />. Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни a1, a2, …, a n соответствующий кратности k1, k2, …, kn, при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :
/>
/>                                       (3)
Например :
/>
/>
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид :
/>                            (1)
На  f(t) наложены условия :
f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥; ¥ )
f(t) º 0, t Î (- ¥ ;0)
При  M, S0 >0, для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t
/>                            (2)
Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.
Пусть в (1) и (2)  p =a + in, где a и n – действительные числа.
Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.
/>                           (4)
/>                           (5)
и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
Должна быть определена на промежутке (-¥; ¥ ), непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.
Функция абсолютно интегрируема: />, это условие выполняется, если |f(t)|
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции: f(t) = C
/>
Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :
/>   т.к. />
Если  f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.
Если  f(t) ¹ 0, t
/>     (6)
/>
Обозначим />
Очевидно, что />                           (6’)
Функция (6) называется спектральной плотностью
/>
В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :
Вычисление интеграла (5)
Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной
/>                                                (7)
|F(iu)| — амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.
В алгебраической форме: F(iu) = a(u) +ib(u)
/>                                           (8)
/>                                                      (9)
Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)|  и фазовый угол y (u).
Пример.
Найти спектральную плотность импульса :/>
/>
откуда />, далее
/>
/>
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.
Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.
Прямое преобразование Фурье необходимо :
Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.
Спектральной плотностью  F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iua) абсолютно интегрируемой функции.
/>
/>


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Alternative Fuel Source Essay Research Paper In
Реферат Аттестация муниципальных служащих (на примере Администрации Центрального района г. Новосибирска)
Реферат Модернизация России начала XVIII в.: преобразования Петра I и создание империи
Реферат Испанская инквизиция 2
Реферат Актуальные административно-правовые аспекты правового статуса Федеральной службы России
Реферат Баланс предприятия. Пример составления.
Реферат Проектирование и разработка приспособления для изготовления отверстий в детали
Реферат Реализация компонентов информационной системы архива спутниковых данных
Реферат Общая характеристика лечебных физических факторов
Реферат The Role Of Women In Sir Gaiwan
Реферат Моравская Сербия
Реферат Racism Essay Research Paper Racism For the
Реферат The Secret Life Of Great White Sharks
Реферат Административный договор как институт административного права
Реферат К Феопемпту слоластику, Преподобный Максим Исповедник