Содержание
Введение
Глава 1. НеравенствоМаркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения/>
§ 3. Доказательствотеоремы
Глава 2. О чебышевскойэкстремальной задаче на [0, ¥)
Литература
Введение
В работевводится понятие индекса функции на [0,¥) относительнопроизвольного класса F функций на [0, ¥), основанное насравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощьюпонятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационныхклассах изучается конечная проблема моментов.
Определение1. Скажем, что функция D(t), tÎR1, имеет k строгих перемен знака,если существуют множества A1
а) />;
б) знакифункции D(t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) – функции на R1. Пишем />, если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака,причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудновидеть, что отношение /> выполнено тогда и только тогда,когда
а) несуществует точки x1, …, xk (-¥
(-1)k-if(xi) > (-1)k-i g(xi), />;
б) существуютточки y1, …, yk (-¥
(-1)k-if(yi) > (-1)k-i g(yi), />.
Пусть F – некоторый класснепрерывных слева функций на [0, ¥) и f, g Î F.
Определение2. Пишем />,если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: />, /> , />, />. Пишем />, если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно изотношений: />,/> ,/>, />.
Функция f имеет индекс k- в F, если выполненоотношение /> ине выполнено />. Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено /> и не выполнено/>.
Через Ik- (Ik+), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F.
Пусть U – семейство функций на[0, ¥).
Через FU обозначим множествофункций fÎF, для которых интегралы
/>, uÎU,
абсолютносходятся.
В случае /> положим />, fÎFU, AÌFU, />:
/>, Fi(A)={Fi(f): fÎA},
/>, />,
/>.
Множество /> называетсямоментным пространством класса F относительно системы функций />.
Лемма 1.Пусть системы u1(t),…, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0, ¥) такие, что />. Тогда отношение /> невозможно для /> и, если />, то
/>.
Доказательство. Допустим, что />, где k£n, и A1, …, Ak –множества строгого знакопостоянства функции D=g — f. Для векторов/> рассмотримматрицу
/>.
Так как
/>, />,
то есть
/>, (1)
где di(-1)k-i, /> и di=0, /> для всех векторов />.
Из (1)следует, что detH(/>)=0 для любых />. С другой стороны,применив kраз теорему о среднем к H(/>), получим
/>, (2)
где 0£x1 линейно зависимы, то их можнодополнить до системы линейно независимых векторов /> />. Из (2) получаем />.Пусть теперь /> и />.
Так как
/>, (3)
где di=(-1)n+1-i, />, то
/>,
где H – матрица, записанная в(3) слева, />-матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаемdetH>0, />. Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0.
Определение3. Скажем, что последовательность {fi}i³1 функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функцииf />, если
/>
для всех uÎU.
Определение4. Множество AÌFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид />, где V открыто, /> при />, /> при /> />.
Множество AÌFU назовем (k, U)-открытым, если каждаяфункция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящуюиз функций множества А.
Определение5. Класс Fнепрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным сдефектом n,если:
1. Класс F равномерно ограничен, тоесть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;
2. />;
3. Множества Ik- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Из любойпоследовательности {fi}i³1ÌI-k+1 (k>n) такой, что
/>,
можновыделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторойфункции />.
Пусть система/> образует T+ — систему на [0, ¥).
Рассмотримсистему функций />, такую, что wi=ui для /> и /> - T+ — системы для m³n (см. [1]).
Теорема 1.Пусть система /> образует T+ — систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
/>.
Доказательство.Пусть />. Согласно условию 2 определенияиндексационного класса, существует последовательность {fj}j³1ÌIk- такая, что />. Зафиксируемпроизвольное fl.
Если flÎIk-, где k£n+1, то положим fl*=fl.
Пусть k>n+1 и s={/>} – (k-1, W) окрестность fl в Ik-.
Рассмотримпроизвольные /> и />/>. Допустим, что />. Согласно лемме 1,отношения />и /> невозможны для s£k-1. Следовательно, /> и />, что невозможно.
Такимобразом, отображение /> непрерывно и взаимно однозначно.Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что /> - открытое множество в Rk-1, содержащее />.
Пусть />, /> и /> - многочленпо системе />,имеющий k-2нулей x1, …, xk-2. Условие bk-1=0 противоречитчебышевости системы />. Положим bk-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk-2.
Имеем
/>,
где cli – i-ая компонента вектора />, и,следовательно,
/>.
Так какконстанта К не зависит от f, то ml>-¥.
Кроме того, />.
Возьмемпоследовательность />, такую, что
Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p
/>,
Рассмотримпроизвольные flp и flq, где p, то отношения /> и /> невозможны для s£k-2. Отношения /> и /> невозможны, так как flp, flqÎIk-. Из леммы 1 получаем />.
Так как />, то найдетсяфункция />,такая, что Fk-1(fl’)=ml.
Отношение fl’ÎIk- невозможно, в силу определения числа ml и принципаинвариативности области. Отношения fl’ÎIm- для m. Следовательно />.
Продолжаятаким образом, через k-n-2 шагов получим функцию />, такую, что />. Из условия /> следуетутверждение теоремы 1.
Замечание 1.Класс Fнепрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным сдефектом n,если:
1. Класс F равномерно ограничен;
2. />;
3. Множества Ik+ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Для k>n из любойпоследовательности {fi}i³1ÌIk+ такой, что
/>,
можновыделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся кнекоторой функции />;
5. Ik+ÌFU для k³n+1.
Теорема 2.Пусть система /> образует T+-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
/>.
Определение6. Систему /> непрерывныхна [0, ¥) функций назовем T+1-системой, если онаявляется T+-системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul+1, …, un также являются T+-системами для />.
Лемма 2.Пусть /> — T+1-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что
(-1)n-iFi(f) ³ (-1)n-i Fi(g),/>.
Тогдаотношения />,/> и />, />, невозможны.
Доказательство.Допустим, что имеет место отношение /> и 1£p£n.
Пусть x1, …, xp-1 (-¥; xо=-¥, xn=¥; />. Выберем точки xn-1, />, />. Рассмотрим системуравенств
/>, (4)
где hi=±1. Из условия /> следует, что hn=1. С другой стороны, из(4) получаем
/>,
где А –матрица, записанная в (4) слева, Ani – матрица, получаемая изА удалением i-ойстроки и n-гостолбца. Так как /> — T+1-система на [0, ¥), то detA>0, detAni>0, />. Следовательно, hn£0. Получили противоречие.
Случай />, />,рассматривается аналогично.
Теорема 3.Пусть /> — T+1-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
/>.
Доказательство.Пусть />.Возьмем последовательность векторов /> так, чтобы /> при /> и
/>
для />, j³1.
Согласнотеореме 1, для любого /> найдется последовательность /> такая, что />.
Существует j1, такое, что />, где r — какая-либо метрика в Rn, и
/>, />.
Выберем j2 так, чтобы /> и
/>, />.
Продолжаятаким образом, получим последовательность /> такую, что /> и
/> (5)
Рассмотримпроизвольные /> и />. Отношения /> и />для k>n невозможны, в силуусловий />.
Из неравенств(5), в силу леммы 2, имеем
/>,
т. е.существует функция /> такая, что />. Включение /> противоречитусловию />,в силу принципа инвариативности области.Изпроизвольности /> следует утверждение теоремы 2.
Глава 1 Неравенство Маркована индексационных классах
§1 Экстремальная задача
Пусть Â – некоторый классфункций распределения (ФР) на [a, b], -¥0 для tÎ[a,b] и />; c1, …, cn – вещественныеконстанты; xÎ[a, b].
Экстремальнаязадача. Найти супремум и инфимум интеграла
/>
на множестве /> /> ФР из Â, удовлетворяющихограничениям
/>, />.
Для классов Âo — всех ФР на [a, b] и ВL – ФР на [a, b], удовлетворяющихусловию />, -¥
Важностьрешение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 — 5].
Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.
Анализ задачина мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мывидим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.
Нижепредполагается, что Â — индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определениеиндексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многиеважные классы ФР, например, Âo, BL, класс унимодальных ФРна [a,b] и др.
Обозначим (k³1, AÌÂ, sÎÂ): Ik+ (Ik-) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+ (k-); />; /> - пространство моментовпорядка k;/>; />; />, />.
Основнойрезультат работы содержится в утверждении.
Теорема.Пусть />, />. Тогда:
1. />,
2. />/>,
3. />,
4. />.
§ 2 Свойства отображения />
Нампонадобятся два факта из [6].
1. Для любого/> существует и единственнаяФР />.
2. Если />, то множество /> одноэлементно. Если />, то существуютнепрерывные, однопараметрические семейства /> (т. е. /> при /> и />(значок Þ обозначает слабуюсходимость)) и /> ФР такие, что />,/>, />, для aÎ(0,1) и /> для bÎ(0,1).
Пусть /> и />, где />, xÎ[a, b].
Функция Ás непрерывна слева на [a, b] и Ás(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a,b], то Ás(x) не убывает по x.
Далее, из skÞs при k®¥ следует />Á/>ÞÁs. Следовательно,семейства распределений {Á/>} и {Á/>} непрерывны.
Определение1. Функция fимеет на [a,b] m строгих перемен знака,если существуют множества B0(f)f(x)>0 (или (-1)j+1f(x)>0 при xÎBj(f), /> и f(x)=0 при />.
Лемма 1. Длялюбого распределения Á/>(Á/>) и для любого Ám, />, функция Ám — Á/>(Ám — Á/>) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знакана [a,b].
Доказательство.Предположим, что функция Ám — Á/>имеет более n+2 строгих перемен знака.Тогда существуют a -Á/>] > 0, />. Кроме того, Ám(a)=Á/>(a)=0. Следовательно, существуют точки y0Î[a,x0), y1Î[x0, x1), …, yn+3Î[xn+2, xn+3) такие, что функция (-1)i[m(t) — ha(t)] возрастает в точке yi, />, что противоречитусловию />.
Равенство /> запишем в виде
/>Ás(t)=ci, />,
где />, />, с0= 1.
Очевидно, чтопоследовательности u0, …, uk, />, образуют T+ — системы на [a, b]. Из условия W(k)(t)>0 для tÎ[a,b] и /> следует (см. [1]), чтопоследовательности –u0, …,-uk/>, также образуют T+ — системы.Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Ám — Á/>не может иметь n+1 строгих перемен знака.
Пусть функцияf(t) имеет k строгих перемен знака на[a, b]. Наряду с множествами Bi(f) строгогознакопостоянства рассмотрим множества P0(f)=(-¥, infB1(f)], Pi(f)=[supBi-1(f), infBi+1(f)],
/> , Pk(f)=[supBk-1(f), +¥).
ЗафиксируемФР />.Рассмотрим два класса функций
{Da=Ás — Á/>:aÎ[0,1]} и {db=Ás — Á/>:bÎ[0,1]}.
Число a (число b) назовем: параметромпервого типа, если функция Da (db) имеет n+2 строгих перемен знака(в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da (db) отрицательна(положительна)); параметром второго типа, если функция Da (db) имеет n+1 строгих перемен знака,причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна;параметром третьего типа, если функция Da (db) имеет n+1 перемен знака, причемна последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.
Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0(a), …, Xn+2(a) (Y0(b), …, Yn+2(b)) следующим образом.Если a(b)есть:
1.параметр первого типа, то
Xi(a)=Pi(Da), /> (Yi(b)=Pi(db), />);
2.
3.параметр второго типа, то
Xi(a)=Pi-1(Da), />, X0(a)=(-¥, infB0(Da)],
(Yi(b)=Pi(db), />, Yn+2(b)=(supBn+1(db), +¥));
4.параметр третьего типа,то
Xi(a)=Pi(Da), />, Xn+2(a)=[supBn+1(Da), +¥)),
(Yi(b)=Pi-1(db), />, Y0(b)=(-¥, infB0(db)]).
Такимобразом:
(-1)n-iDa(t)£0 при tÎIntXi(a), />, (1)
(-1)n-idb(t)³0 при tÎIntYi(b), />.
При этом нидля какого iне существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntXi(a) и (-1)n-iDa(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntYi(b) и (-1)n-idb(t)³0 при tÎY.
Заметимтакже, что Xi(0)=Yi+1(0), Xi+1(1)=Yi(1).
Определение2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR1 непрерывно, если из gi®g0, xi®x0, где g0, gi Î[0, 1], xiÎZ(gi), i³1, следует x0ÎZ(g0).
Лемма 2.Отображения Xi(a), Yi(b), /> непрерывны.
Доказательство.Пусть aj®a, j®¥. Обозначим через /> границы отрезка Xi(aj). Определим a0=-¥. Возьмем произвольную точку a1 сгущенияпоследовательности {a1(j)}j³1. Пусть для удобства />. Проделаем туже операцию с последовательностями {ai(j)}j³1, /> и {bi(j)}j³1, />. Положим bn+2=+¥.
Итак,
/>, />, /> (2)
причем -¥=a0Из (1) и (2) следует,что для />.
(-1)n-iDa(t)£0 (3)
при tÎ(ai, bi), если ai¹bi.
Из (3) и /> следует, что ai¹bi, />, так как в противном случаефункция Da имело бы не более n строгих перемен знака,что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi(a) следует [ai, bi]ÌXi(a),/>. Для любого i из xjÎ[ai(j), bi(j)] и xj®x0вытекает, что x0Î[ai, bi]. Следовательно, x0ÎXi(a).
Непрерывностьотображений Yi(b) доказывается аналогично.
§3 Доказательство теоремы
В случае />утверждениетеоремы очевидно.
Пусть />.
Лемма 3. Длялюбого ФР /> илюбой точки xÎ[a, b] существует ФР /> такая, что Áv(t)³Ás(t) (Áv(t)£Ás(t)) в некоторойокрестности точки x.
Доказательство.Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎYi(0), то в некоторойокрестности точки x имеет место d0£0. В этом случае положим />.
Пустьсуществует iтакое, что n-i четно и xÎYi(0).
Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏYi(1). Пусть />. Согласно лемме 2, xÎYi(b¢). В силу сделанного предположения, b¢в некоторой окрестноститочки x. В этом случае полагаем />. Если же для всех bj, j³1, существует kj такие, что n-kj четны и />, то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎYm(bj) для бесконечного числаэлементов последовательности {bj}. По лемме 2 xÎYm(b¢). Так как n-i и n-mчетны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎYi(b¢).
б)Предположим, что xÎYi(1)=Xi+1(1). Пусть a¢=inf{a:xÎXi+1(a)}. Согласно лемме 2, xÎXi+1(a¢). Если a¢=0, то xÎXi+1(0)=Yi+2(0). Это противоречитусловию xÎXi+1(a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогичноприведенному в а).
Случай II, i=n+2. а) При x¹Yn+2(1) доказательствоаналогично доказательству пункта а) случая I.
б) Пусть xÎYn+2(1). Так как Yn+2(1)ÌYn+1(1), то xÎYn+1(1). Точка x не может совпадать слевым концом отрезка Yn+1(1), так как в этом случае множества Yn+1(1) и Yn+2(1) совпадают, чтоневозможно. Так как xÎYn+1(1) и не совпадает слевым концом отрезка Yn+1(1), то d1(t)£0 в некоторой окрестноститочки x. В этом случае полагаем />.
Итак,доказано существование такой ФР />, что Ás-Án£0 в некоторой окрестноститочки x.Случай Ás-Án³0 рассматриваетсяаналогично.
Теоремаследует из леммы 3 и утверждения:
/>Ás(x) и />Ás(x+0) достижимы. Докажемпоследнее.
Пусть d=/>Ás(x). Пустьпоследовательность ФР />, i³1,такова, что Á/>. Выберем подпоследовательностьпоследовательности {si}, слабо сходящуюся кнекоторой ФР /> . Покажем, что Ás(x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢N выполнено неравенство ½Á/>(x¢)-Ás(x¢)½(x¢)N. Так как Á/>(x¢) £ Á/>(x), то Ás(x) — Á/>(x)
Глава2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)
В настоящейработе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода крешению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).
Чебышевскаяэкстремальная задача. Пусть Â — выпуклый класс ФР на[0, ¥), системы u0º1 на [0, ¥) функций образуют T+-системы на [0, ¥).
Положим (1£i£n, sÎÂ):
/>, />,
/> - моментное пространствокласса Â относительно системы />.
Пусть />.
Найти />, где />.
10.Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий,при которых задача на «урезанном» классе Âх решается, и в переносепредельным переходом x®¥ решения на класс Â.
Для любого x>0 введем подкласскласса Â: Âх={sÎÂ:s(x+0)=1}.
Очевидно, длялюбых x1
/> (1)
Предположим,что для любого x>0 Âх — индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).
Примерамитаких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на[0, ¥), класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x, L>0 и т. д.
Перечисленныевыше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполненовключение
/> (/>-замыканиемножества XÌRn),
где Ii- — множество всех ФР,имеющих индекс i- в Â.
Кроме того,для этих классов справедливо включение />, и следовательно,
/> (2)
Лемма 1. />.
Доказательство.Пусть />.Из выпуклости множества /> следует, что точка /> является внутреннейточкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в />, т. е. существуют векторы />, и числа l1>0, …, ln>0, ln+1>0 такие, что />.
Из (2)следует существование последовательностей />, таких, что
/>.
Тогда длядостаточно больших k выполнено равенство
/>,
где />, />.
Следовательно,/>.
Из леммы 1следует, что /> для достаточно больших x. Так как класс Âx является индексационным на [0, x], то ([5])
/>,
/>,
где />, /> (/>) – ФР с нижним(верхним) индексом n+1 в классе Âx.Так как ФР /> имеет индекс (n+1)-в Â и />, то
/>.
Из (1)следует, что
/>.
Видэкстремальных ФР /> и /> для рассматриваемых классовимеется в [5].
20.Второй подход продемонстрируем на примере класса Â0всех ФР на [0, ¥).
Лемма 2. Еслиu0, u1, …, un – T+-система на [0, ¥), то для всех i и j существуют пределы />.
Доказательство.Из определения T+-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a, b функции uj(t) и auj(t)+buj(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.
Пусть х –наибольшее решение уравнения uj(t)=0. Рассмотрим уравнение
auj(t)+buj(t)=0, t>x. (3)
Уравнение /> (ui(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a, b.
Пусть />, />.
Допустим, что/> несуществует, т. е. А
Введемпоследовательности {ti}i³1, {ti}i³1, удовлетворяющиеусловиям:
а) tk®¥, tk®¥ при k®¥;
б) />, />;
в) t1
Пусть cÎ(A,B).
Из-занепрерывности функции /> на (x, ¥) уравнение
/>
имеетбесконечное множество решений на (x, ¥).
Выберем 0£j0£n так, чтобы /> для всех /> и обозначим />.
Пусть число t0таково, что /> при t>t0.
Рассмотримфункцию />
Пусть />, />, />.
Легко видеть,что системы v0, v1, …, vn и v0, v1, …, vn, Wявляются T+-системами на [0, ¥).
Предположим,что эти системы являются T+-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t0
/>, />,
где />.
Через /> обозначиммножество ФР sÎÂ0, для которых интегралы />, />, абсолютносходятся.
Пусть /> - моментноепространство класса /> относительно системы />.
Рассмотримкласс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций />.
Имеем />, т. е. />.
Заметим, чтоотображение /> является взаимно однозначным,причем />.
Такимобразом, /> -множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на[0, ¥).
Пусть />.
Необходимонайти
/>. (4)
Из равенств (sÎÂ0U)
/>
/>
следует, чтозадача (4) эквивалентна следующей.Найти
/>, (5)
где /> - множествофункций />,удовлетворяющих равенствам
/>, />, />.
Таким образом,задача в классе Â0сведена к задаче (5), решение которой приведено,например, в [3].
Именно длялюбого />
/>/>,
где /> — ступенчатая функция,имеющая положительные скачки в точках /> при нечетном n и в точках /> при четном n, /> — ступенчатая функция,имеющая положительные скачки в точках /> при нечетном n и в точках /> при четном n.Из приведенных вышерассуждений следует, что
/>,
/>,
где />, />,
r- величина скачка функции /> в точке ¥.
Литература
1. Крейн М.Г., НудельманА.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.
2. ТаталянК.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс.на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.
3. Карлин С., Стадден В.Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука,1976.
4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р.О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн.трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.
5. Манукян В.Р. О проблемемоментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.