Череповецкий военный инженерный институт радиоэлектроники.
Кафедра №8
Курсовая работа по математике
Тема: «Частотно-временной анализ сигналов»
Выполнили:
ПлотниковЕ.А.
г. Череповец-2008.
Содержание
1. Плоскостьчастота-время
2. Базисные функциичастотно-временного анализа
3. Прямое и обратноепреобразование Фурье
4. Дискретноевейвлет-преобразование
4.1 Дискретизация масштаба
4.2 Дискретизация масштаба и сдвига.Фреймы
4.3 Примеры дискретного вейвлет-преобразования
Литература
1. Плоскость частота-время
Дляанализа и сравнения частотно-временных локализационных свойств различныхбазисов используют плоскость частота-время. Любая функция />может характеризоватьсяинтервалом It на временной оси и интервалом /> в Фурье области, в которыхсодержится 90% ее энергии, сосредоточенной около центра тяжести функции/> Тогда в этой плоскостифункцию/> можно изобразить в видепрямоугольника, как показано на рис. 3.1.
/>
Очевидно,что смещение функции на />отисходного состояния вызовет перемещение прямоугольника параллельно оси t. Модуляция этой функции комплекснойэкспонентой />сдвигает прямоугольникпараллельно оси /> (рис.3.2.).
/>
Масштабированиефункции (ее сжатие или растяжение) приводит к развороту прямоугольника.Действительно, получим новую функцию/> масштабированиемфункции /> на коэффициент a:/>
/>
Энергиятакой функции E:
/>
Следовательно,ширина функции />равна />. В соответствии сосвойством масштабирования Фурье-преобразования (/>) /> Влияние масштабирования наположение функции в плоскости время-частота показано на рис. 3.3.
/>
Вкачестве примеров функций, иллюстрирующих эффективность их представления вплоскости время-частота, рассмотрим /> функциюДирака и Фурье — базис.Известно, что /> - функцияявляется идеальным базисом для временного анализа сигналов. Результатом такогоанализа являются отсчеты, которые можно рассматривать как временной спектрсигнала. На плоскости время — частота /> функция/> выглядит как показано нарис. 3.4а, т.е. эта функция обладает свойством хорошей временной локализации,но плохой локализацией в спектральной области (она имеет равномерный спектр навсех частотах). Базисные функции/>Фурье-анализа,наоборот, обладают хорошей частотной локализацией в то время, как во временнойобласти они имеют бесконечную протяженность (см. рис. 3.4б).
/>
2. Базисные функциичастотно-временного анализа
Итак, частотно-временной анализ предназначен для выявлениялокальных частотно-временных возмущений сигнала. Вследствие кратковременноститаких возмущений, сам сигнал может рассматриваться как заданный в L2 т.е. для одномерных сигналов – на всей действительнойоси />с нормой />. Следовательно, базисныефункции, которые получили название вейвлетов, также должны принадлежать L2 и быстро убывать при/>Тогда, чтобы перекрытьтакими базисными функциями все возможные временные положения сигнала,необходимо, чтобы базисные функции представляли собой набор смещенных вовремени функций. Удобнее всего, если этот набор образуется из одной и той же«материнской» функции /> (прототипа),сдвинутой по оси t т.е./> Чтобыобеспечить частотный анализ, базисная функция должна иметь еще один аргумент –масштабный коэффициент, который является аналогом частоты в Фурье-анализе.Тогда базисные функции для частотно-временного анализа будут иметь вид
/>
Гдемасштабный коэффициент /> введен какделитель t, причем масштабированию подвергаетсятакже и сдвиг b. Это позволяет сохранитьотносительную «плотность» расположения базисных функций по оси t при расширении или сжатии самой функции и при /> (рис 3.6)
/>
Такимобразом, базисные функции для частотно-временного анализа должны обладатьследующими свойствами. Ограниченность, т.е. принадлежность L2 />. Локализация. Базисныефункции вейвлет — анализа, в отличие от преобразования Фурье, должны бытьлокализованы, т.е. определены на конечном интервале как во временной, так и в частотнойобластях. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:
/>/>
Нулевоесреднее. Равенствонулю нулевого момента/>
или, чтоиногда необходимо – равенство нулю момента m-го порядка
/>
Это –вейвлеты m-го порядка, позволяющие анализировать более тонкую структурусигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.
3. Прямоеи обратное преобразование Фурье
При />
/>
— прямое преобразование Фурье
/>
— обратноепреобразование Фурье.
Комплекснаяфункция/>имеет смысл спектральнойплотности, ее иногда называют непрерывным спектром Фурье-функции f(t).
Такжекак и в случае периодической функции, предполагается, что f(t) удовлетворяет условиям Дирихле или, что эквивалентно,абсолютно интегрируема и удовлетворяет условию Дини.
Отметимтакже, что:
/>
4. Дискретноевейвлет-преобразование
Представлениефункции f(t) через ее непрерывное вейвлет – преобразование являетсяизбыточным. В задачах обработки информации, встречающихся на практике, сигнал,во-первых, имеет ограниченную полосу и, во-вторых, допускаются те или иныепогрешности в получаемых результатах. Поэтому используют дискретноепредставление непрерывных сигналов, при которых параметры преобразования, вданном случае a и b, приобретают дискретные значения. Вейвлет-преобразование,при котором значения a и b дискретны, называют дискретным вейвлет-преобразованием(DWT — Discrete Wavelet Transform).
4.1Дискретизация масштаба
Рассмотримсначала случай дискретного масштаба a иположим />/>. Это равноценно разбиениючастотной оси на поддиапазоны (частотные полосы). Предположим, что /> (это можно сделать всегда,умножив функцию ψ на некоторый модуляционный множитель /> (см./>). Тогда частотное окнобудет равно:
/>
ацентральная частота m-го вейвлета:
/>/>.
Базисомдля DWT является функция, полученная из
(/>)
при />:
/>.
Еслисправедливо />и если />достаточнобыстро затухает, то любая функция из L2 может бытьпредставлена в виде дискретной по /> последовательности
/> (3.5.2.)
Длявосстановления f(t) по дискретным значениям (3.5.2.) набазис />(t) налагаются дополнительные ограничения, а именно, образФурье вейвлета />(t) долженудовлетворять соотношению
/>, (3.5.3)
гдеконстанты А и В такие, что />. Условие(3.5.3.) в терминах радиотехники имеет довольно прозрачное толкование.Действительно, так как при каждом значении масштаба /> вейвлетпредставляет собой полосовой фильтр, то набор (сумма) этих фильтров (блокфильтров) является некоторым устройством с неравномерной частотнойхарактеристикой, определяемой константами A и B(рис. 3.12). Сигнал, например звуковой, на выходе такого устройства при сильнойнеравномерности частотной характеристики претерпевает существенные искажения.Поэтому для его восстановления принимают специальные меры, в частности,устанавливают фильтр, компенсирующий искажения частотной характеристики. Ввейвлет-преобразовании таким фильтром является дуальный (или двойственный)вейвлет />, Фурье-образ которого имеетвид:
/>. (3.5.4.).
/>
Покажем,что с помощью такого вейвлета по коэффициентам DWT полностью восстанавливается сигнал. Действительно,используя соотношение Парсеваля
(/>)
иформулу получим (3.5.4.):
/>
Из(3.5.4.) и (3.5.3.) можно показать, что
/>
4.2Дискретизация масштаба и сдвига. Фреймы
В этомслучае полагают дискретными величины a и b, т.е. /> Частотное окно для анализасохраняется прежним. Ширина временного окна
/>
равна />, а среднее значение />изменяется дискретнопропорционально m -ой степени a0 — масштабу вейвлета. Чем ужефункция ψ, т.е. меньше величина/>, тем меньше(на ту же величину) шаг сдвига этой функции. Базисными функциями для дискретноговейвлет-преобразования будут функции, получаемые из />, при /> и />
/>
Коэффициентыразложения любой функции из L2 могут быть получены как
/>
Выражение(3.5.6) является дискретным вейвлет-преобразованием функции />. Чтобы обратноепреобразование во временную область было справедливым, должно выполнятьсяследующее условие:
/>
для всех/>если константы A и B такие,что/>В этом случае формула длявосстановления функции f(t) по коэффициентам/> будет иметь вид
/> (3.5.8)
гдеошибку восстановления Rможно оценить как /> Разделив всечлены неравенства (3.5.7) на/>, можновидеть, что константы A и B являются границами нормированной на/>энергии – скалярногопроизведения/>. Они (эти константы) какбы «обрамляют» нормированную энергию коэффициентов/> Отсюда произошел терминфрейм (frame), которым называют множество функций/> при которых условие(3.5.7) выполняется. Если A= B, то/> имножество /> называют плотным фреймом.При этом выражение /> вытекающее из(3.5.7), является обобщением теоремы Парсеваля на плотные фреймы. Для плотных фреймовиз (3.5.8) получаем
/>
Если A=B=1, то плотный фрейм становится ортогональным базисом. Заметим,что для вейвлетов, образованных материнским вейвлетом (3.3.6), хорошиерезультаты при восстановлении сигналов получаются при /> так как />. Для больших величин,например />будет /> т.е. восстановлениеприводит к большим искажениям.
4.3Примеры вейвлетов для дискретного преобразования
Как былоотмечено выше, функции вейвлет обладают свойством частотно-временнойлокализации, т.е. они ограничены как в частотной, так и во временной областях.Ниже рассмотрим два примера: первый – спектр вейвлетов в частотной областипредставляет собой идеальный полосовой фильтр, второй – сами функции вейвлетпредставляют собой прямоугольники. Все вейвлеты, с точки зрения частотно-временныхсвойств, занимают промежуточное положение между этими крайними случаями.
Sinc-базис.Разобьем ось частот на интервалы (поддиапазоны), как показано на рис. 3.13 при a0= 2. Такое разбиение называют логарифмическим, таккак отношение верхней и нижней границ диапазонов постоянно и равно 2. Такоеразбиение является еще и идеальным, так как оно реализуется идеальнымиполосовыми фильтрами. Подобная идеализация нужна для исследования свойствчастотного разложения с помощью идеализированных вейвлетов, что позволит вдальнейшем перейти к более сложным разложениям. Любой сигнал /> со спектром/> может занимать полосучастот, охватывающую несколько таких поддиапазонов.
/>
Тогда />и /> т.е. сигнал представляетсобой сумму некоторого числа элементарных сигналов. В рассматриваемом идеальномслучае частотные каналы не перекрываются, поэтому имеет место ортогональностьэтих элементарных сигналов, т.е.
/>
Выберемиз всего множества сигналов такие, которые ограничены полосой частот 2I, т.е. имеющие спектр />. Рассмотрим периодическуюфункцию /> такую, что: />, т.е. полученнуюпериодизацией F1(ω)(рис. 3.14)
/>
Тогдаспектр функции: Fi (ω) при произвольном I можнопредставить в виде:
/>
Где /> — функция окна такая, что:
/>
Посмотрим,как при этих условиях можно представить функцию f (t) во временнойобласти. Для этого разложим периодическую функцию /> спериодом />, в ряд Фурье (см. />):
/>
/>
Где,подставляя (3.5.10а) в (3.5.9) и выполняя обратное преобразование Фурье,получим:
/>
Вычислимпервый интеграл. Переставляя операции суммирования и интегрирования иограничивая пределы интегрирования с учетом функции окна, получим:
/>/>
гдевейвлет
/> (3.5.14)
и (см.рис. 3.16):
/> (3.5.15)
Выражение(3.5.13) является представлением функции f (t) в базисевейвлет. В рассматриваемом частном случае идеальной полосовой фильтрации вейвлетомявляется функция (3.5.14), образованная из материнской функции /> по (3.5.15) с учетом(3.5.12). Такой вейвлет называется sinc –вейвлетомпо имени функции (3.5.12), которая его образует, а функция (3.5.12) получиланазвание масштабной функции.
/>
Множитель/>при /> необходим для сохранениянормы /> вне зависимости от величинымасштаба, так как:
/>
Покажем,что в рассматриваемом частном случае /> т.е.определяется отсчетами функции />при />. Рассмотрим интеграл Фурье(/>) при дискретных значениях /> функции/>, заданной на интервале />Имеем, с учетом (3.5.10б):
/>
Последнееравенство справедливо при />ивещественных />
Следовательно,
/>
Выполнивпреобразование Фурье выражения (3.5.14), можно видеть, что спектр Фурье sinc -вейвлета представляет собойидеальный полосовой фильтр, в общем случае занимающий полосу частот от/> до />
ВейвлетХаара. Разобьем теперь временную ось на интервалы, как показано на рис. 3.17 иопределим на единичном интервале функцию
/>
Этафункция является материнским вейвлетом, так как она удовлетворяет условию (/>). Система сдвигов такихфункций /> образует ортонормальныйбазис, так как их взаимная энергия равна нулю при /> иравна единице при />
/>
ПреобразованиеФурье (/>) вейвлета Хаара имеет види показано на рис. 3.17б.
/>
/>
ФункцииХаара, также как sinc -вейвлет,могут быть получены с помощью масштабной функции
/>
чтоиллюстрируется на рис. 3.18.
/>
Изприведенных примеров следует ряд интересных выводов:
1.Представление вейвлет-функции в виде прямоугольников в любой из областей(частотной или временной) ведет к бесконечному расширению в противоположнойобласти. Следовательно, для того, чтобы функции вейвлет были локализованыодновременно во временной и частотной областях, они должны убывать с ростомаргумента, по крайней мере, по закону обратной пропорциональности (см.(/>и />)).
2. Вейвлеты ψ(t), спектры Фурье которых представляютсобой полосовые фильтры, могут быть выражены через масштабные функции />(t), спектры Фурье которых представляют собой фильтры нижнихчастот (см. формулы (3.5.15) и (3.5.19)).
3. Базисные функции для DWT могут быть получены из однойматеринской функции путем ее масштабирования и сдвига (см. формулы (3.5.14) и(3.5.15)).
4. Любой сигнал f(t) из L2 может быть представлен своим вейвлет- разложением(3.5.13), если число компонентов fi(t) таково, что они занимают полосучастот большую, чем полоса сигнала.
Литература
1. Новиков И.Я., Стечкин СБ. Основытеории всплесков // Успехи математических наук. 1998. V. 53. № 6. С.9-13.
2.Петухов А.П. Введение в теориюбазисов всплесков. СПб.: Изд. СПбГТУ, 1999. 131 с.
3.Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теорияи практика вейвлет-преобразования. СПб.: ВУС, 1999. 203 с.
4. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основытеории и примеры применения// УФН. 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.
5. Martin Vatterli, JelenaKovačevic. Wavelets and Subband Coding. Prentice Hall, New Jersey, 1995.