КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ВАРИАНТ 4.3
№ 1.
а) Найти производные от данных функций:
/>
б) />Применяемправило нахождения производной произведения функций
/>
в)
/>
№ 2
Дана функция />
Найти:
а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)
По определению:
/>
б) />вточке А в направлении вектора а{2,-6,-3}
По определению:
/>
Величины /> найдены в п.а)
Найдем cosб, cosв, cosг.
/>
По формуле получаем:
/>
№ 3.
Дана функция />.
Найти y”. Вычислить y”(-1).
/>
№ 4.
Доказать, что функция /> удовлетворяет уравнению
/>
подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: />, что и требовалосьдоказать.
№5
Найти /> если />
Вычислить /> если />.
Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданныхпараметрически
/>
№ 6.
Функции задана неявно уравнением
/>
Вычислить:
а) />
Вычисления проводим по формуле
/>
б)
/>
№ 7.
На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена коси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.
Из геометрического смысла производной /> имеем
/>
№ 8.
Найти dy, если у=х6. Вычислитьзначение dy, если
/>
Для /> имеем
/>
№ 9.
Дана функция /> и точки /> и />
Вычислить Дz и dz припереходе из точки М0в точку М1. Приращение функции Дz равно
/>
Дифференциал функции dz равен
/>
№ 10.
Дана функция />. Найти ее наибольшее и наименьшеезначения на отрезке [0;6]. Найдем />
/>
Приравниваем числитель к нулю при условии />
/>
Решение /> отбрасываем.
/> совпадаетс граничным значением.
Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.
/>
Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно />, наименьшее равно 3.
/>
№ 11
Дана функция />.
Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве,ограниченном прямыми />.
Найдем стационарные точки из системы уравнений
/>
Решаем систему уравнений
/>
Сделаем чертеж
На участке границы х=-1 функция z(х, у)превращается в функцию одной переменной
/>
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2].Имеем />, отсюда />. Это значение непринадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.
На участке у=-1 получаем
/>
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2].Имеем />,отсюда />.
Находим
/>
На участке границы у=1-х получаем функцию
/>
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].
/>
На границах отрезка
/>
Сравниваем все найденные значения функции
/>
видим, что наибольшеезначение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 идостигается в точке (0;0).
Ответ: 23;4.
№ 12.
Провести полное исследование функции /> и начертить ее график.
1. Найдем область определения функции />.
Функция непериодична.
2. Установим наличие симметрии относительно оси OYили начала координат по четности или нечетности функции />, симметрии нет.
3. Определим «поведение функции в бесконечности»
/>
4. Точка разрыва х=-2
/>
5. найдем пересечение кривой с осями координат
/> т.А(0;2)
/>
Корней нет, нет пересечения с осью OY.
6. Найдем точки максимума и минимума/>
/>
/>
в точке /> производная меняет знак с на , следовательно имеем минимум, в точке /> производная меняет знакс на , имеем максимум.
При /> первая производнаяотрицательна, следовательно, функция убывает, при /> производная положительна, функцияв этих промежутках возрастает.
7. Найдем точки перегиба
/>,точек перегиба нет. При /> вогнутость вверх, при />, вогнутостьвниз.
8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде />, где
/>
Получили асимптоту у=х.
Найдем пересечение кривой с асимптотой
/> Точекпересечения нет.
Строим график