/>/>/>/>/>Математический факультетКафедра информатики и прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:
«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГОСЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»
/>/>/>/>/>Брест 2009/>
/>/>СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
2. УМЕНЬШЕНИЕСМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
3. ОКНАПРОСМОТРА ДАННЫХ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ
/>/>ВВЕДЕНИЕ
Почти в каждой областивстречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии иизменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес,например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иныехарактеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются вовремени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного родаи представляет собой временной ряд.
Одной из главных задачспектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценокспектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они даютважную информацию о структуре процесса.
Методы анализа временныхрядов широко используются в различных областях науки и техники, их можноприменять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессевибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.
В данной работе исследованаоценка спектральной плотности, построенная с использованием различных оконпросмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда,представляющего собой последовательность наблюдений — температуры воздуха вгороде Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены такжедля центрированного случайного процесса.
/>/>/>/>1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
Векторным временнымрядом (r-мерным временным рядом) называетсясовокупность функций вида
/>.
Переменная t обычно соответствует временивыполнения или регистрации наблюдений и измерений.
Действительнымслучайным процессом /> = /> называется семействослучайных величин, заданных на вероятностном пространстве />, где />/>,/>, /> — некоторое параметрическоемножество.
Если />, или /> - подмножество из />, то говорят, что />, /> — случайный процесс сдискретным временем.
Если />, или /> подмножество из />, то говорят, что />, /> — случайный процесс снепрерывным временем.
Введем характеристикислучайного процесса />, />, во временной области.
Математическиможиданием случайногопроцесса />, />, называется функция вида
/>,
где />.
Дисперсией случайного процесса />, />, называется функция вида
/>,
где />.
Спектральнойплотностьюслучайного процесса />, />, называется функция вида
/>=/>/>/>/>,
/>,
при условии, что
/>/>.
Нормированнойспектральной плотностью случайного процесса /> называетсяфункция вида
/>
где />, если /> и />, если />.
Из определения видно, чтоспектральная плотность />непрерывная,периодическая функция с периодом, равным /> покаждому из аргументов.
Ковариационнойфункцией случайногопроцесса />, />, называется функция вида
/>/>/>.
Смешанным моментом /> го порядка, />,случайного процесса />, />, называется функция вида
/>/>, />,/>.
Заметим, что
/>,
/>.
Лемма 1.1. Для любого целого р справедливоследующее соотношение
/>.
Доказательство. Если />,то доказательство очевидно. Рассмотрим случай />.Воспользуемся формулой Эйлера
/>
тогда
/>
Лемма доказана.
Пусть /> — значения случайногопроцесса /> в точках />. Введем функцию
/>,
которую будем называть характеристическойфункцией, где /> — ненулевойдействительный вектор, />, />.
Смешанный момент /> го порядка, />,можно также определить как
/>/>/>, />,/>.
Смешаннымсемиинвариантом (кумулянтом) /> гопорядка, />, случайного процесса />, />, называется функция вида
/>/>/>, />,/>,
которую также будемобозначать как />.
Между смешаннымимоментами и смешанными семиинвариантами />гопорядка, />, существуют связывающие ихсоотношения, которые имеют вид
/>/>,
/>/>,
где суммированиепроизводится по всевозможным разбиениям множества
/>
/>/>, />,/>, />, />.
При />
/>,
/>,
/>.
При />
/>
Спектральнойплотностьюслучайного процесса />, />, называется функция вида
/>=/>/>/>/>, />,
при условии, что
/>/>
Из определения видно, чтоспектральная плотность /> непрерывная,периодическая функция с периодом, равным /> покаждому из аргументов.
Семиинвариантнойспектральной плотностью /> гопорядка, />, случайного процесса />, />, называется функция вида
/>=/>/>/>/>, />,
при условии, что
/>/>/>.
Теорема 1. Для смешанного семиинварианта /> го порядка, />, случайного процесса /> справедливы представления
/>/>/>/>,/>.
Пусть /> - случайный процесс,заданный на вероятностном пространстве />,и
/>
/> — мерная функция распределения, где />
Случайный процесс /> называется стационарнымв узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального />, любых /> и любого />, такого что /> выполняется соотношение
/>
где />
Возьмем произвольное />. Пусть />, тогда
/>
В дальнейшем функцию, вправой части (1), будем обозначать
/>
Используя определениестационарного в узком смысле СП />,смешанный момент />го порядка, />, будем обозначать
/> />
Смешанный семиинвариант />го порядка, />, стационарного в узкомсмысле СП /> будем обозначать
/> />
Случайный процесс />, называется стационарнымв широком смысле, если /> и
/>
/>
Замечание 1. Если />,является стационарным в узком смысле СП и /> то/>, является стационарным вшироком смысле, но не наоборот.
Спектральнойплотностьюстационарного случайного процесса />,называется функция вида
/> />,
при условии, что
/>
Семиинвариантнойспектральной плотностью /> — гопорядка, />, стационарного СП />, называется функция вида
/>
/>
при условии, что
/>
Для смешанногосемиинварианта />-го порядка, />, стационарного СП /> справедливо следующеесоотношение
/> />.
Для /> эти соотношения примут вид
/> />.
/>/>
/>/>2. УМЕНЬШЕНИЕСМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Рассмотрим действительныйстационарный в широком смысле случайный процесс/>/>,/>, с математическим ожиданием />, />, взаимной ковариационнойфункцией />, и взаимной спектральнойплотностью />.
Предположим, имеются Тпоследовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений />/> засоставляющей />,рассматриваемого процесса />. Какоценку взаимной спектральной плотности в точке /> рассмотримстатистику
/> (2.1)
где /> />, — произвольная, не зависящая отнаблюдений четная целочисленная функция, /> для/>, а
/> (2.2)
s – целое число, /> — целая часть числа />.
Статистика />, называемая выборочнойвзаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением
/> (2.3)
/>определено равенством (2.2).
Предположим, если оценка /> взаимной спектральнойплотности />, построенная по T наблюдениям, является асимптотическинесмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде
/> (2.4)
где />некоторые действительныефункции, не зависящие от T, />
В качестве оценкивзаимной спектральной плотности возьмем статистику
/>,
и исследуем первый моментпостроенной оценки.
Математическое ожиданиепостроенной оценки будет следующее
/>
Использовав соотношение (2.4),получим
/>/>
где
/> />
Поскольку
/>
следовательно, оценка /> является асимптотическинесмещенной со смещением, убывающим как />.
Так как равенство (2.4)справедливо и при />, то,рассматривая оценку
/>
/>
/>
где
/>
/>
/>, то оценка /> является асимптотическинесмещенной со смещением, убывающим на />.Далее рассмотрим оценку
/> (2.5)
Найдем математическоеожидание построенной оценки :
/>
/>
/>
где
/>
/> />
/>
Следовательно, оценка /> является асимптотическинесмещенной со смещением, убывающим как />.
Найдем явный видкоэффициентов /> в представлении(2.4), />/>
Видим, что
/>
/>/>
Таким образом,справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1. Оценка /> взаимнойспектральной плотности /> стационарного вшироком смысле случайного процесса />,задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению
/>,
/>,
/> при условии, что справедливосоотношение (2.4) для />
При нахождении моментовоценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида
/> (2.6)
где /> задаются соотношением />
/>
/> /> /> /> />
/>3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
Чтобы выделитьопределенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают ксглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временноесглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».
В соотношении (2.3) введенафункция />, называемая окномпросмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).
Функцию
/>(3.1)
/> называют частотным окном. Изсоотношения (3.1) вытекает, что
/>
Характерное поведениефункции /> состоит в том, что онастановится все более сконцентрированной в окрестности нуля при />.
Примеры окон просмотраданных:
1. />1 – окно Дирихле;
2. />1-/> –окно Фейера;
3. />/>;
4. />/> – окно Хэннинга;
5. />/> – окно Хэмминга;
6. />/> – окно Хэмминга;
7. />/>, где /> –окно Хэмминга;
8. />1-/> –окно Рисса.
/>/>ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работеисследована оценка спектральной плотности вида
/>
где /> />, а периодограмма заданаследующим соотношением
/>
Построены графики этойоценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собойпоследовательность наблюдений — температуры воздуха в городе Бресте с октября2008 по февраль 2009 года.
Графики построены такжедля центрированного случайного процесса.
/>/>СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ
1. Андерсон Т. Статистический анализвременных рядов. – М.: Мир, 1976. – 755 с.
2. Бриллинджер Д. Временные ряды.Обработка данных и теория. — М.: Мир, 1980. — 536 с.
3. Журбенко И.Г. Спектральный анализвременных рядов. — М.: Изд-во МГУ, 1982. — 168 с.
4. Труш Н.Н. Асимптотические методыстатистического анализа временных рядов. – Мн.: БГУ, 1999. — 218 с.
5. Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайныепроцессы. Преобразования Фурье наблюдений. – Мн.: БГУ, 2000.
/>ПРИЛОЖЕНИЕ
Для исследования оценки(3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температурывоздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
/>
Рис. 1 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Дирихле
/>
Рис. 2 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайногопроцесса
/>
Рис. 3 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Фейера
/>
Рис. 4 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайногопроцесса
/>
Рис. 5 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна вида 3
/>
Рис. 6 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайногопроцесса
/>
Рис. 7 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга
/>
Рис. 8 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайногопроцесса
/>
Рис. 9 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5
/>
Рис. 10 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированногослучайного процесса
/>
Рис. 11 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6
/>
Рис. 12 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированногослучайного процесса
/>
Рис. 13 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7
/>
Рис. 14 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированногослучайного процесса
/>
Рис. 15 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Рисса
/>
Рис. 16 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайногопроцесса