Трансформация преобразований

/>/>/>/>/>/>/>Трансформацияпреобразований
/>/>/>/>/>/>/>Оглавление
Предисловие. 4
1.Понятие трансформации преобразований. 5
2. Трансформациядвижения движением. 6
2.1.Трансформация осевой симметрии движением. 6
2.2.Трансформация параллельного переноса движением. 7
2.3.Трансформация поворота движением. 8
2.4.Трансформация центральной симметрии движением. 8
2.5.Трансформация зеркальной симметрии движением. 8
2.6.Трансформация поворота относительно оси движением. 8
3. Трансформациягомотетии движением. 9
4. Трансформациягомотетии гомотетией. 9
5. Трансформациядвижения гомотетией. 12
5.1.Трансформация осевой симметрии гомотетией. 12
5.2.Трансформация параллельного переноса гомотетией. 12
5.3.Трансформация произвольного движения гомотетией. 12
6.Трансформация подобия гомотетией. 13
7.Трансформация движения подобием. 13
8.Трансформация подобия движением. 13
9.Трансформация гомотетии подобием. 14
10.Трансформация подобия подобием. 14
11. Трансформация движения аффинным преобразованием. 15
11.1. Трансформация параллельного переноса аффинным преобразованием. 15
11.2. Трансформация центральной  симметрии  аффинным преобразованием  15
11.2.Трансформация осевой симметрии аффинным преобразованием. 16
12. Трансформация гомотетии аффинным преобразованием. 17
13. Трансформация аффинного преобразования  гомотетией. 17
13.1.Трансформация произвольного аффинного преобразования гомотетией  18
13.2.Трансформация косого сжатия гомотетией. 18
13.3.Трансформация сдвига гомотетией. 20
14.Трансформация аффинного преобразования движением. 21
14.1.Трансформация произвольного аффинного  преобразования движением  21
14.1.1.Трансформация аффинного преобразования параллельным переносом  21
14.1.2.Трансформация аффинного преобразования центральной симметрией  21
14.1.3.Трансформация аффинного преобразования осевой симметрией. 22
14.1.4.Трансформация аффинного преобразования зеркальной симметрией  23
14.2.Трансформация косого сжатия движением. 23
14.3.Трансформация сдвига движением. 24
15.Трансформация аффинного преобразования подобием. 25
15.1.Трансформация косого сжатия подобием. 25
15.2.Трансформация сдвига подобием. 26
16. Трансформация аффинногопреобразования аффинным преобразованием. 27
16.1.Трансформация косого сжатия произвольным аффинным преобразованием  27
17.Решение задач с помощью трансформации преобразований. 28
Библиографическийсписок. 32 
/>/>/>/>Предисловие
Преобразованиями можноотображать не только точки и прямые,  но и сами преобразования, поэтому вданной работе мы рассмотрим, как с помощью одного преобразования можно получитьдругое.
Целью моей работыявляется рассмотрение темы трансформации преобразований. Основные задачи:
· Познакомиться слитературой по данной теме
· Ввести понятиетрансформации преобразований
· Рассмотретьразличные примеры трансформаций
· Привести примерызадач, решаемых с помощью трансформации преобразований
В основном в работе рассматриваютсяпреобразования плоскости, если не оговорено иное.
При написании даннойработы во многом использовалась книга «Перемещения и подобия плоскости»Понарина Я.П. и Скопеца З.А. В ней дается систематическое и углубленноеизложение теории перемещений и преобразований подобия плоскости, рассматриваютсямногочисленные примеры, иллюстрирующие применение теоретических положений.Анализируются задачи на вычисление, доказательство и построение, рациональнорешаемые с помощью метода геометрических преобразований, также предлагаютсязадачи для самостоятельного решения.
Также большую помощь принаписании данной работы оказала книга Понарина Я.П. «Преобразованияпространства». Здесь содержится теоретический и практический материал по темеаффинных преобразований, рассмотрены движения, подобия и аффинныепреобразования трехмерного пространства. Изложение сопровождается образцамирешения задач.
Хотелось бы отметитькнигу Яглома И.М. и Ашкинузе В.Г. «Идеи и методы аффинной и проективнойгеометрии». Часть 1. Она содержит разнообразный материал, связанный с идеями иметодами аффинной геометрии, причем этот материал преподносится без отрыва отэлементарной геометрии.
/>1.Понятие трансформации преобразований
/>Если f и g – преобразования некоторого множества, например,множества всех точек плоскости, и f(A)=B, g(A)=A1, g(B)=B1, то точке А1поставим в соответствие точку В1. Вообще, каждую пару (А, f(A)) отобразим преобразованием  g. Множество всех полученных при этомновых пар (А1, g(f(A))) есть новое преобразование плоскости,являющееся композицией  /> (рис.1),поскольку эта композиция отображает А1 на В1.Условимся обозначать /> иговорить, что преобразование fg получается из f под действием преобразования g. Запись fg кратко будем читать «эф под же».
Итак, по определению
                                                 />,                                               (1)
в частности, /> и Ef= E.
Имеют место следующиеформулы:
/>,
                                                       />,                                             (2)
(fg)-1 = (f-1)g.
Действительно, />. Поскольку />, то, вставляя /> между g и f и используя ассоциативное свойствовсякой композиции преобразований, получаем />.Далее /> />. Учитывая, что преобразование,обратное композиции данных преобразований, является композицией обратных импреобразований, взятых в обратном порядке, т.е. />,получаем />. Наконец, />.
Если преобразование f инволютивно, то и то и fg также инволютивно. В самом деле,если />, но f≠ Е, то />,но fg≠ Е, так как из fg= Е следует f= Е.
Теорема о неподвижной точке. Если А –неподвижная точка преобразования f, то g(A) – неподвижная точка преобразования fg, и обратно:
f(A) = A ↔ fg(g(A))= g(A).
Доказательство. Если f(A) = A, то f g(g(A)) = g(f(g-1(g(A))))= =g(f(A)) = g(A). Обратно, если fg(g(A)) = g(A), т.е. g(f(g-1(g(A)))) = g(A), тоg(f(A)) = g(A). Поскольку при преобразовании образылюбых двух различных точек не совпадают, то из совпадения образов точек f(A) и Aпри преобразовании gследует и совпадение этих точек: f(A) = A. [1]
Аналогичная теорема имеетместо и для двойных прямых.2. Трансформация движения движением
Применим теперьрассмотренные формулы и свойства к движениям. Если f и g– движения, то, в силу (1), fg – тоже движение. Более того, так как неподвижные точки движенияf переходят в неподвижные точкидвижения fg, а вид движения характеризуется егонеподвижными точками, то оба движения — f и fg – одного и того же вида, независимо от движения g.2.1. Трансформация осевой симметрии движением
Принимая во вниманиепредыдущее свойство неподвижных точек и двойных прямых, получим
                                                     (Sl)g= Sg(l).                                                  (3)
С помощью этой формулы можно получить аналогичные формулыдля остальных движений частного вида. Для этого найдем сначала:
/>. [1]2.2. Трансформация параллельного переноса движением
Если прямые u и v параллельны, то отображение g отображает их на параллельные прямые g(u) и g(v) с сохранением расстояния между ними. Следовательно,если />, то
                                                />.                                              (4)
В частности, если g есть поворот />, то по свойству поворотаориентированный угол между векторами /> и/>равен углу α поворота.Отсюда из равенства /> следует, чторезультат поворота вектора не зависит от центра поворота.
Теорема. Для любоговектора />, любого действительногочисла х и перемещения gимеет место равенство:
                                                  />.                                            (5)
Доказательство. Если />,то в силу (4) />. Так какдвижение g сохраняет величину угла междувекторами, а значит, и сохраняет, в частности, их сонаправленность илипротивонаправленность, то из /> или /> вытекает соответственно />или />. Отсюда и из равенства /> следует (5).
Доказанная зависимость(5) с помощью первой формулы (2) обобщается на такую:
                                           />.                                         (6)
Действительно, />.
Ясно, что зависимостьвида (6) будет справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. [1]2.3. Трансформация поворота движением
Далее, если u∩v= O, то g(u)∩g(v) = g(O) и />(g(u), g(v)) = />(u, v), если g – движение 1-го рода, и />(g(u), g(v)) = -/>(u, v), если g – движение 2-го рода. Поэтому, если />,то
                                                 />                                              (7)
где знак «+» берется при движении g 1-го рода и «-» — при движении g второго рода. [1]
В частности, если прямая l проходит через т.Опересечения прямых uи v, то
                                          />.                                        (8)2.4. Трансформация центральной симметриидвижением
       Так какцентральная симметрия – частный случай поворота, а именно – поворот на 180°, то/>, а в силу формулы (7) />, а это, в свою очередь, Zg(O). Таким образом,
                                                     (ZO)g= Zg(O).                                                  (9)2.5. Трансформация зеркальной симметрии движением
Рассмотрим трансформациюпреобразования пространства – зеркальной симметрии. Неподвижными точкамипреобразования /> являются точки g(α), которые также образуют плоскость (по свойствудвижения), значит,
                                                      />.                                                                                  (10)2.6. Трансформация поворота относительно осидвижением
Поворот относительно оси l на угол α – это преобразование пространства,композиция двух зеркальных симметрий относительно плоскостей β и γтаких, что β∩γ = l, />(β,γ) = α.Заметим, что в данном примере движение g также должно быть движением пространства, поэтому оно неможет быть поворотом относительно точки. Далее, />,по формулам (2) это равняется /> (по(10)). Пусть g(β)∩g(γ) = m, />(g(β), g(γ)) = φ. Тогда по определению поворотаотносительно оси />.
β∩γ = l, а т.к. образ пересечения равенпересечению образов, то g(β)∩g(γ) = g(l) и />(g(β), g(γ)) = />(β, γ), если g – первого родаи />(g(β), g(γ)) == -/>(β,γ), если g– второго рода, поэтому
                                                  />.                                              (12)3. Трансформация гомотетиидвижением
Рассмотрим />. Пусть g(О)=А. Тогда по свойству неподвижных точеки двойных прямых, А – неподвижная точка преобразования />, также мы имеем пучок неподвижныхпрямых в т. А, поэтому данное преобразование не может быть поворотнойгомотетией или гомотетической симметрией. Следовательно, />. Найдем коэффициент с,для этого рассмотрим точку М1, пусть |М1,A| = d.
Пусть g(М1) = М, мызнаем, что g(О)=А тогда по свойствам движения |МО| = d.
Пусть />, по определению гомотетии |М2О|= kd.
Пусть g(М2) = М3, по свойствам движения |М3А|= kd. А т.к. при гомотетии все расстоянияизменяются в одно и то же число раз, то с = k. Следовательно,
                                           />.                                      (21)4. Трансформация гомотетиигомотетией
Найдем сначала композициюдвух гомотетий />, для этогорассмотрим вектор />. По свойствугомотетии, />, а />.
Рассмотрим первый случай,когда lk= 1, тогда мы получили преобразование,при котором вектор перешел сам в себя, а это параллельный перенос />. Найдем вектор />, для этого найдем образточки О при этой композиции. />,а />: />. Тогда />. Значит, композиция двухгомотетий /> при lk= 1 есть параллельный перенос на вектор />.
                                          />.                                      (22)
Рассмотрим второй случай,когда lk≠ 1. Найдем неподвижные точки этого преобразования.Пусть точка М – неподвижная, тогда если />,а />, то М = D, значит, />. Но />/>. Т.к. />и />, то />. Тогда />. Т.к. lk≠ 1, то выразим вектор />: />. Значит, у данногопреобразования только одна неподвижная точка М, причем />, следовательно, точки O, Q, Mлежат на одной прямой.
Докажем теперь, чтоданное преобразование будет гомотетией с центром в т. М и коэффициентом lk. Возьмем произвольную точку Е,пусть />, а />/>. Докажем, что /> (рис. 2). Разложим векторы/> и /> по векторам /> и />. По правилу треугольника, />, а />. Ранее мы выразили вектор /> через вектор />: />, тогда вектор /> выражается через вектор /> следующим образом: />. Вектор />при гомотетии />переходит в вектор />, тогда />. Значит, />. Теперь приведем подобныеслагаемые и разложим вектор /> повекторам /> и />, после этого получим />. Вектор /> пригомотетии />переходит в вектор />, значит, />/>,а вектор /> вновь выразим через />, тогда />. Приведем подобные слагаемые,получим
/>. По правилу треугольника />,следовательно />. Таким образом, мы показали, чтопреобразование /> произвольнуюточку E переводит в точку G такую, что />, следовательно, этопреобразование – гомотетия с центром в точке М и коэффициентом lk.
                                   />.                               (23)
Сейчас найдемпреобразование />. />, а это по формуле (23) равняется />, />. Далее применяя формулу(23), получаем />, />. Выразим вектор /> черезвектор />. По правилу треугольника, />. Мы уже знаем, что />, тогда />. Приведем подобные слагаемые,получим />. Так как />, то />. Значит, />. Таким образом,
                                                                   />.                                                            (24)5. Трансформация движения гомотетией5.1. Трансформация осевой симметрии гомотетией
Рассмотрим />. По теореме о неподвижныхточках, прямая /> – неподвижнаяпрямая преобразования />, значит, этоосевая симметрия с осью m.
                                         />.                                    (25)5.2. Трансформация параллельного переноса гомотетией
/>, но />,/>. [1] Тогда />/>, что по формуле (22) равняется />. Следовательно,
                                                      />.                                                 (26)5.3. Трансформация произвольного движения гомотетией
Рассмотрим />. По теореме о неподвижныхточках, неподвижными точками преобразования /> являютсяобразы неподвижных точек движения f. Докажем, что это – движение. />.Рассмотрим точки А и L,|AL| = d. Пусть при гомотетии /> онипереходят соответственно в точки В и М, тогда |BM| = d/k. При движении f точки В и М переходят соответственно вточки С и N, тогда |CN| = d/k, т.к. движение сохраняет расстояния между точками.Пусть при гомотетии /> точки С иN переходят соответственно в точки D и P, |DP| = kd/k= d. Мы получили, что преобразование />сохраняет расстояния междуточками, значит, это движение, неподвижными точками которого являются образынеподвижных точек движения f,а т.к. вид движения определяется его неподвижными точками, то /> — движение того же вида,что и f. 6. Трансформация подобия гомотетией
Рассмотрим />, где f – подобие. Известно, что подобие –это композиция движения и гомотетии, тогда />,а это, по формулам (2), равняется />. Какбыло доказано в 5.3, /> — движение тогоже вида, что и g, а поформуле (24) />. Следовательно, /> — подобие того же вида, чтои f. Если f />, то
                                 />.                             (27)7. Трансформация движения подобием
Пусть подобие – этокомпозиция движения gи гомотетии />, то движение f под подобием – это /> />. Всилу ассоциативности композиции преобразований, /> />. По доказанному в п. 5.3 /> =f1 — движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижныхточек движения f пригомотетии />. Тогда />. Но f1g= f2 – движение того же вида, что и f1, а его неподвижные точки – образынеподвижных точек движения f1 придвижении g. Тогда />-движение того же вида, что и f,а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии />.8. Трансформация подобия движением
Пусть подобие – этокомпозиция движения fи гомотетии />, тогда подобие поддвижением g /> по формулам (2) есть />. fg= f1 – движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образынеподвижных точек движения fпри движении g, а поформуле (21) />. Тогда />, а это подобие.
                                              />.                                        (28)9. Трансформация гомотетии подобием
Рассмотрим /> />. В силу ассоциативности композиции преобразований, />/>. По формуле (24), />, />.Тогда /> /> (поформуле (21)). Таким образом,
                                       />.                                  (29)10. Трансформация подобия подобием
Подобие φ под подобием ψ />. По формулам (2), />. /> — движение того же вида,что и f, а его неподвижные точки – образынеподвижных точек движения fпри подобии ψ. Поформуле (29), /> />. Тогда
                                                />,                                           (30)
где ξ — подобие такое, что />, />, а h – движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии ψ.11. Трансформация движения аффиннымпреобразованием11.1. Трансформация параллельного переноса                                         аффинным преобразованием
/>Рассмотримпроизвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании />. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 3), которая при параллельном переносе /> прейдетв точку М2, />, далее М2при преобразовании gперейдет в точку М3. Заметим, что вектор />при преобразовании g перейдет в вектор />, значит, вся трансформация/> есть параллельный переносна вектор />.
                                                        />,                                                    (31)
где />.11.2. Трансформацияцентральной симметрии                           аффинным преобразованием
g(O)   />Рассмотримпроизвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании />. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 4), которая при центральной симметрии  ZO прейдет в точку М2,О – середина М1М2, далее М2при преобразовании gперейдет в точку М3. Заметим, что точка О при преобразованииg перейдет в середину отрезка ММ3(т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямойи отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке g(O) будет неподвижной точкой нового преобразования,значит, вся трансформация /> естьцентральная симметрия Zg(O).
                                                    />.                                                (32)11.2. Трансформация осевойсимметрии                                        аффинным преобразованием
/>Рассмотримпроизвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании /> />. Припреобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 5), которая при осевой симметрии  Sl прейдет в точку М2,/> />, О– середина М1М2, далее М2 припреобразовании g перейдет вточку М3. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ3(т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямойи отношение расстояний между ними), и ее образ – О1 – будетлежать на образе прямой lпри преобразовании g — g(l). По теореме о неподвижных прямых, прямая g(l) будет неподвижной прямой нового преобразования. Заметимтакже, что если при осевой симметрии прямые, соединяющие точки с их образами,были параллельны, то и после трансформации они будут параллельны и наклоненыпод одним и тем же углом к прямой g(l), значит, всятрансформация /> есть косаясимметрия Sg(l).
                                                     />.                                                 (33)12.Трансформация гомотетии аффинным преобразованием
/>Рассмотримпроизвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании />. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 6), которая при гомотетии /> прейдетв точку М2, />, далее М2при преобразовании gперейдет в точку М3. Заметим, что точка О припреобразовании g перейдет вточку О1 на прямой ММ3, причем />/> (т.к.при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой иотношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке точка О1будет неподвижной при новом преобразовании, значит, вся трансформация /> есть гомотетия />.
                                                 />.                                             (35)13.Трансформация аффинного преобразования гомотетией
Далее будем предполагать,что аффинные преобразования gи g-1 заданы аналитически.
g: /> g-1: /> где образы начала координати базисных векторов при преобразовании g имеют координаты: O’(d1, d2, d3),/>(a1, a2, a3),/>(b1, b2, b3),/>(c1, c2, c3), а при преобразовании g-1O’’(n1, n2, n3), /> (k1, k2, k3), /> (l1, l2, l3), /> (m1, m2, m3).
Известно, что движениеявляется частным случаем аффинного преобразования, значит, движение подаффинным преобразованием, как композиция аффинных преобразований, также будетаффинным преобразованием.13.1. Трансформация произвольногоаффинного                         преобразования гомотетией
Выберем систему координаттаким образом, чтобы центр гомотетии совпадал с началом координат, тогда /> будет задаватьсяаналитически следующим образом.
/> Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании />. При гомотетии /> точка М переходит вточку М1(x/k, y/k, z/k).Далее, при аффинном преобразовании gМ1 переходит в точку М2(/>, />, />). M2 при гомотетии /> переходит в М3(/>, />, />). Тогда /> — аффинное преобразование,аналитически оно задается следующим образом.
                                     />                                (34)
Мы получили, что
                                                    />                                                (35)
где /> -параллельный перенос, />.13.2. Трансформация косогосжатия гомотетией
В1   Рассмотрим гомотетию /> и косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом m. Найдем, что представляет собой трансформация косогосжатия гомотетией – />, для этоговозьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации(рис. 7).
/>Точка А пригомотетии /> перейдет в точку А1,которая при косом сжатии перейдет в точку А2 такую, что А1А2 ||l, />. Точка А2при гомотетии /> перейдет в точкуА3. Заметим, что прямая /> –инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Източек А1 и А2 проведем перпендикуляры на прямуюq – А1В1и А2В2, а из точек А и А3– на прямую q1 – АВ и А3В3.Тогда АВ и А3В3 – образы отрезков А1В1и А2В2 при гомотетии />,значит, />, следовательно,/>. Мы получили, что при этой трансформациирасстояние от точки А до прямой q1 изменилось в m раз:/>. Причем из того, что А1А2 ||l, следует, что AA3 || l, потому что при гомотетии прямая переходит в параллельнуюей прямую, значит, точка А сместилась в направлении l. Следовательно, в силупроизвольности точки А, искомая трансформация есть косое сжатие с осью />, направлением l и коэффициентом m.13.3. Трансформация сдвигагомотетией
Рассмотрим гомотетию /> и сдвиг g с осью q и коэффициентом m. Найдем, что представляет собой трансформация сдвигагомотетией – />, для этоговозьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации(рис. 8).
/>Точка А пригомотетии /> перейдет в точку А1,которая при сдвиге перейдет в точку А2 такую, что А1А2 ||q, />. Точка А2при гомотетии /> перейдет в точкуА3. Заметим, что прямая /> –инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Източки А1 проведем перпендикуляр на прямую q А1В1, а из точки А – на прямую q1 – АВ. Тогда АВ – образотрезка А1В1 при гомотетии />, также АА3– образ отрезка А1А2 при гомотетии />, значит, /> и АА3||А1А2||q||q1, (потому что при гомотетии прямая переходит в параллельнуюей прямую), следовательно,/> и АА3||q1. Мы получили, что при этой трансформацииточка А смещается параллельно прямой q1 нарасстояние, пропорциональное ее расстоянию от прямой q1: />. Следовательно,в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть сдвиг с осью /> и коэффициентом m.14.Трансформация аффинного преобразования движением/>14.1. Трансформация произвольногоаффинного        преобразования движением14.1.1. Трансформация аффинного преобразования параллельным переносом
Данную трансформациюрассмотрим в пространстве. Пусть параллельный перенос задан вектором />, />(a, b, c). Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании />. При параллельном переносе/> точка М переходит вточку М1(x-a, y-b, z-c). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходитв точку М2(a1x+ b1y+ + c1z— aa1 — bb1 — cc1 + d1, a2x+ b2y+ c2z— aa2 — bb2 — cc2 + + d2, a3x+ b3y+ c3z— aa3 — bb3 — cc3 + d3). M2 припараллельном переносе /> переходит в М3 (a1x + b1y + c1z— aa1 — bb1 — cc1 + d1 + a, a2x+ b2y+ c2z— aa2 — bb2 -  cc2 + d2+ + b, a3x+ b3y+ c3z— aa3 — bb3 — cc3 + d3+ c) (п. 13). Тогда />-аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
                       />                  (36)
Мы получили, что
                                                    />,                                                (37)
где />(- aa1 — bb1 — cc1 + d1 +a, — aa2 — bb2 — cc2 + d2 + b, — aa3 — bb3 — cc3 + d3 + c).14.1.2. Трансформация аффинного преобразования             центральнойсимметрией
Рассмотрим центральнуюсимметрию ZO в пространстве, выберем системукоординат таким образом, чтобы центр симметрии О совпал с началомкоординат, тогда О(0, 0, 0). Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании />. Т.к. центральнаясимметрия инволютивна, то />. Прицентральной симметрии ZO точка М переходит в точку М1(-x, -y, -z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходитв точку М2(-a1x— b1y— c1z+ d1, -a2x— b2y— c2z+ d2, -a3x— b3y— c3z+ d3) (п. 13). M2 при центральной симметрии ZO переходит в М3(a1x+ b1y+ c1z— d1, a2x+ b2y+ c2z— d2, a3x+ b3y+ c3z— d3). Тогда />-аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
                                      />                                  (38)
Мы получили, что
                                                     />,                                                (39)
где />(-2d1, -2d2, -2d3).14.1.3. Трансформация аффинного преобразования                     осевойсимметрией
Рассмотрим осевуюсимметрию Sl в пространстве, выберем системукоординат таким образом, чтобы ось симметрии l совпала с осью OZ, тогда Slбудет задаваться следующим образом. /> Рассмотрим произвольнуюточку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании />. Т.к. осевая симметрияинволютивна, то />. При осевойсимметрии Sl точка М переходит в точку М1(-x, -y, z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходитв точку М2(-a1x— b1y+ c1z+ d1, -a2x— b2y+ c2z+ d2, -a3x— b3y+ c3z+ d3) (п. 13). M2 при осевой симметрии Sl переходит в М3(a1x+ b1y— c1z— d1, a2x+ b2y— c2z— d2, a3x + b3y— c3z— d3). Тогда />-аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
                                       />                                   (40)14.1.4. Трансформация аффинного преобразования                     зеркальной симметрией
Рассмотрим зеркальнуюсимметрию Sα – преобразование постраноства,выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость симметрии αсовпала с плоскостью XOY,тогда Sαбудет задаваться следующим образом. /> Рассмотрим произвольнуюточку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании />. Т.к. зеркальная симметрияинволютивна, то />. При зеркальнойсимметрии Sαточка М переходит в точку М1(x, y, -z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходитв точку М2(a1x+ b1y— c1z+ d1, a2x+ b2y— c2z+ d2, a3x+ b3y— c3z+ d3) (п. 13). M2 при зеркальной симметрии Sα переходит в М3(a1x+ b1y— c1z+ d1, a2x+ b2y— c2z+ d2, -a3x— b3y+ c3z— d3). Тогда />-аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
                                       />                                   (41)14.2. Трансформация косого сжатия движением
/>Косое сжатие –частный случай родства, при котором каждая точка А плоскости смещается внекотором фиксированном направлении так, что ее расстояние от некоторойфиксированной прямой q изменяется в k раз: /> (рис. 9). [3]
Рассмотрим произвольноедвижение f и косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом k. Найдем, что представляет собой трансформация косогосжатия произвольным движением – />, дляэтого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при даннойтрансформации (рис. 10).
ТочкаА при произвольном движении f-1перейдет в точку А1, которая при косом сжатии перейдет вточку А2 такую, что А1А2 || l, />. Точка А2при движении f перейдет вточку А3. Заметим, что прямая q1= f(q) – инвариантная прямая всей трансформации (по теоремео неподвижных прямых). Из точек А1 и А2проведем перпендикуляры на прямую q – А1В1 и А2В2,а из точек А и А3 – на прямую q1 – АВ и А3В3.Тогда АВ и А3В3 – образы отрезков А1В1и А2В2 при движении f, значит, АВ = А1В1 и А3В3= А2В2, следовательно, />/>. Мы получили, что при этой трансформации расстояние отточки А до прямой q1изменилось в k раз:/>. Причем из того, что А1А2 ||l, следует, что AA3 || f(l), потому что при движении сохраняетсяпараллельность прямых, значит, точка А сместилась в направлении f(l). Следовательно, в силу произвольности точки А,искомая трансформация есть косое сжатие с осью f(q), направлением f(l) и коэффициентом k./>14.3. Трансформация сдвига движением
Сдвигом называетсяаффинное преобразование плоскости, при котором произвольная точка Асмещается параллельно фиксированной прямой q на расстояние, пропорциональное ее расстоянию отпрямой q (рис. 11). /> - коэффициент сдвига. [3]
/>/>Рассмотрим произвольное движение f и сдвиг g с осью q и коэффициентом k.Найдем, что представляет собой трансформация сдвига произвольным движением – />, для этого возьмемпроизвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис.12).
Точка А припроизвольном движении f -1 перейдет в точку А1, которая при сдвиге перейдет вточку А2 такую, что А1А2 ||q, />.Точка А2 при движении f перейдет в точку А3. Заметим, чтопрямая q1= = f(q) – инвариантная прямая всей трансформации (по теоремео неподвижных прямых); АА3 – образ отрезка А1А2при движении f, значит,  АА3= А1А2, d(A1, q) = d(A, q1) и АА3 ||q, тогда />.Следовательно, в силу произвольноститочки А, искомая трансформация есть сдвиг с осью f(q) и коэффициентом k.15. Трансформация аффинногопреобразования подобием15.1. Трансформация косого сжатия подобием
Рассмотрим косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом mи подобие />, где f – движение, найдем трансформацию gh. />.В силу ассоциативности композиции преобразований, /> />. По доказанному в п. 13.2, /> есть g1 — косое сжатие с осью />, направлением l и коэффициентом m. Тогда /> Подоказанному в пункте 14.2, g1 f есть косое сжатие с осью f(q1), направлением f(l) и коэффициентом m. Таким образом, вся искомая трансформацияпредставляет собой косое сжатие с осью />,направлением f(l) и коэффициентом m.15.2. Трансформация сдвига подобием
Рассмотрим сдвиг g с осью q и коэффициентом m и подобие />, где f – движение, найдем трансформацию gh. /> />/>. В силу ассоциативности композиции преобразований, /> />. По доказанному в п. 13.3, /> есть g1 — сдвиг с осью /> и коэффициентом m. Тогда /> Подоказанному в пункте 14.3, g1 f есть косое сжатие с осью f(q1) и коэффициентом m. Таким образом, вся искомаятрансформация представляет собой косое сжатие с осью /> и коэффициентом m.