Топологическая определяемость верхних полурешёток

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Топологическая определяемость верхних полурешёток.
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Малых Константин Леонидович
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров 2005
Оглавление.
Введение …………………………………………………………………стр. 3
Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4
Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4
Решётки.……………………………………………………………стр. 5
Дистрибутивные решётки ………………………………………… стр. 8
Топологические пространства……………………………………стр.10
Глава 2…………………………………………………………………….стр.11
1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11
2. Стоуново пространство …………………………………………… стр.15
Список литературы……………………………………………………….стр.21
Введение.
Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множествоP(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.
В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.
Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.
Глава 1.
Упорядоченные множества.
Определение: Упорядоченным множеством/>называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение />, удовлетворяющее для всех />следующим условиям:
1.Рефлексивность: />.
2.Антисимметричность: если />и />, то />.
3.Транзитивность: если />и />, то />.
Если />и />, то говорят, что />меньше />или />больше />, и пишут />или />.
Примеры упорядоченных множеств:
Множество целых положительных чисел, а />означает, что />делит />.
Множество всех действительных функций />на отрезке />и --PAGE_BREAK--
/> означает, что />для />.
Определение:Цепьюназываетсяупорядоченное множество, на котором для />имеет место />или />.
Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества />. Изобразим каждый элемент множества />в виде небольшого кружка, располагая />выше />, если />. Соединим />и />отрезком. Полученная фигура называется диаграммойупорядоченного множества />.
Примеры диаграмм упорядоченных множеств:
/>
2. Решётки
Определение:Верхней граньюподмножества />в упорядоченном множестве />называется элемент />из />, больший или равный всех />из />.
Определение:Точная верхняя граньподмножества />упорядоченного множества />– это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом />и читается «супремум X».
Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.
Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается />и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань />существует, то она единственна.
Определение:Решёткой/>называется упорядоченное множество />, в котором любые два элемента />и />имеют точную нижнюю грань, обозначаемую />, и точную верхнюю грань, обозначаемую />.
Примеры решёток:
1. Любая цепь является решёткой, т.к. />совпадает с меньшим, а />с большим из элементов />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
2.
/>
Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают />, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают />.
На решётке можно рассматривать две бинарные операции:
/> — сложение и
/> — произведение
Эти операции обладают следующими свойствами:
1. />, />идемпотентность
2. />, />коммутативность
3. />,
/> ассоциативность
4. />,
/> законы поглощения
Теорема. Пусть />— множество с двумя бинарными операциями />, обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение />(или />) является порядком на />, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:
/>
/>
Доказательство.
Рефлексивность отношения />вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):
/>
/>
Если />и />, то есть />и />, то в силу свойства (2), получим />. Это означает, что отношение />антисимметрично.
Если />и />, то применяя свойство (3), получим: />, что доказывает транзитивность отношения />.
Применяя свойства (3), (1), (2), получим:
/>,
/>.
Следовательно, />и />    продолжение
--PAGE_BREAK--
Если />и />, то используя свойства (1) – (3), имеем:
/>, т.е. />
По определению точней верхней грани убедимся, что
/>
Из свойств (2), (4) вытекает, что />и />
Если />и />, то по свойствам (3), (4) получим:
/>
Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что
/>, т.е.
Таким образом, />. ■
Пусть />решётка, тогда её наибольший элемент />характеризуется одним из свойств:
1./>/>
2./>/>.
Аналогично характеризуется наименьший элемент />:
1./>/>
2./>/>.
Дистрибутивные решётки.
Определение: Решётка />называется дистрибутивной, если для />выполняется:
1. />
2. />
В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.
Теорема: Решётка />с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида
/>
Доказательство этого факта можно найти в книге [2].
Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём />).
Определение:Непустое множество />называется идеаломв решётке />, если выполняются условия:
1. />    продолжение
--PAGE_BREAK--
2. />
Определение:Идеал />в решётке />называется простым, если
/> или />.
Идеал, порождённый множеством Н (т.е.наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.
Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.
Определение:Решётки />/>и />/>называются изоморфными (обозначение: />), если существует взаимно однозначное отображение />, называемое изоморфизмом,множества />на множество />, такое, что
/>,
/>.
4. Топологические пространства.
Определение:Топологическое пространство – это непустое множество />с некоторой системой />выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:
Пустое множество и само пространство />принадлежит системе />: />.
Пересечение любого конечного числа множеств из />принадлежит />, т.е. />.
Объединение любого семейства множеств из />принадлежит />, т.е. />.
Таким образом, топологическое пространство – это пара , />>, где />— такое множество подмножеств в />, что />и />замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из />называют открытыми, а их дополнения в />замкнутыми.
Определение:Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Определение:Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение:Топологическое пространство называется />— пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.
Глава 2.
1. Верхние полурешётки.
Определение:Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b}существует для любых элементов aи b.
Определение: Непустое множество Iверхней полурешётки Lназывается идеалом, если для любых />включение />имеет место тогда и только тогда, когда />.
Определение: Верхняя полурешётка />называется дистрибутивной, если неравенство />≤ />/>(/>, />, />L) влечёт за собой существование элементов />, таких, что />, />, и />= />.(рис.1). Заметим, что элементы />и />не обязательно единственны.
/>
Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:
Лемма 1:
(*). Если />,/>> — произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка />дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка />дистрибутивна.
(**). Если верхняя полурешётка />дистрибутивна, то для любых />существует элемент />, такой, что />и />. Следовательно, множество />является решёткой.
(***). Верхняя полурешётка />дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество />является дистрибутивной решёткой.
Доказательство.
(*). />,/>> — дистрибутивна и />, то для элементов />, />, справедливо равенство />:     продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
значит, полурешётка ,/>> — дистрибутивна.
/>/>,/>> — дистрибутивна. Пусть решётка />содержит диамант или пентагон(рис.2).
/>
1) Пусть решётка />содержит пентагон, />. Нужно найти такие элементы />и />, чтобы выполнялось равенство />. Но множество элементов меньших bилиcсостоит из элементов {0,b,c} и их нижняя граница не даст a. Получили противоречие с тем, что ,/>> — дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка />не содержит пентагона.
2) Пусть решётка />содержит диамант, />. Аналогично, множество элементов меньших bилиcсостоит из элементов {0,b,c},их нижняя граница не даст a. Значит, решётка />не содержит диаманта.
Можно сделать вывод, что решётка />дистрибутивна.
(**). Имеем />, поэтому />, где />(по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того, />является нижней границей элементов />и />.
Рассмотрим идеалы, содержащие элемент />и />— />и />. Тогда />Ø ,т.к. />, нижняя граница элементов aи b, содержится там.
Покажем, что I(L)– решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых Aи B.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Покажем, что />совпадает с пересечением идеалов AиB. Во-первых, />— идеал. Действительно, />и />и />Во-вторых, пусть идеал />и />. Тогда />, т.е. />— точная нижняя грань идеалов AиB,т.е. />.
Теперь покажем, что />совпадает с пересечением всех идеалов />, содержащих Aи B. Обозначим />. Поскольку />для />/>для />/>, то Cидеал. По определению Cон будет наименьшим идеалом, содержащим AиB.
(***). />Пусть />– верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что
/>.
Пусть />, т.е. />(рис.3), для некоторых />
/>
Понятно, что />. По дистрибутивности, существуют />такие, что />. Т.к. A– идеал, то />, потому что />. Аналогично, />. Т.е. />. Точно также, />. Если />, то легко показать, что />.
Доказали, что />— идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов AиB. Если Cсодержит Aи B, то Cбудет содержать элементы />для любых />, т.е. />Поэтому />, поскольку />является верхней гранью идеалов Aи Bи содержится в любой верхней грани.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Теперь покажем, что выполняется равенство:
/>.
/>. Пусть />, где />,/>. Т.к. />, то />, откуда />и следовательно />. Аналогично, />, значит, />
/>. Пусть />, где />/>/>/>/>.
Отсюда следует дистрибутивность решётки />.
/> /> – дистрибутивная решётка, />. Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:
/>
(/>, будет нижней границей для />). Поэтому />, что и доказывает дистрибутивность полурешётки />. ■
2. Стоуново пространство.
Определение: Подмножество />верхней полурешётки />называется коидеалом, если />из неравенства />следует />и />существует нижняя граница />множества />, такая, что />.
Определение:Идеал />полурешётки />называется простым, если />и множество />является коидеалом.    продолжение
--PAGE_BREAK--
В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.
Лемма Цорна. Пусть A– множество и X– непустое подмножество множества P(A). Предположим, что Xобладает следующим свойством: если C– цепь в />>, то />. Тогда Xобладает максимальным элементом.
Лемма 2: Пусть />– произвольный идеал и />– непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки />. Если />, то в полурешётке />существует простой идеал />такой, что />и />.
Доказательство.
Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что Xудовлетворяет лемме Цорна.
Пусть C– произвольная цепь в Xи />Если />, то />для некоторых />Пусть для определённости />. Тогда />и />, т.к. />— идеал. Поэтому />. Обратно, пусть />, тогда />, для некоторого />Получаем />, откуда />.
Доказали, что M– идеал, очевидно, содержащий Iи не пересекающийся с D, т.е. />. По лемме Цорна Xобладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом Pсреди содержащих Iи не пересекающихся сD.
Покажем, что P– простой. Для этого достаточно доказать, что L\Pявляется коидеалом. Пусть />L\Pи />. Поскольку />, то />, иначе в противном случае />по определению идеала. Следовательно, />. Если />, то />и />пересекающихся с Dв силу максимальности P.Получаем />и />для некоторых элементов />. Существует элемент />такой, что />и />, по определению коидеала, следовательно />и />для некоторых />Заметим, что />и />не лежат в P, т.к. в противном случае />.     продолжение
--PAGE_BREAK--
Далее, />, поэтому />для некоторых />и />. Как и прежде />. Кроме того />, поэтому />— нижняя грань элементов aи b, не лежащая в P. ■
В дальнейшем, через />будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через />множество всех простых идеалов полурешётки />.
Множества вида />представляют элементы полурешётки />в ч.у. множестве />(т.е. />). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.
Обозначим через />топологическое пространство, определённое на множестве />. Пространство SpecLбудем называть стоуновым пространствомполурешётки L.
Лемма 3: Для любого идеала Iполурешётки Lположим:
/>
Тогда множества вида />исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL.
Доказательство.
Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.
1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда
/>,
но 0 лежит в любом идеале, а значит />.
2) Возьмём произвольные идеалы />и />полурешётки />и рассмотрим
/>/>
Пусть />. Тогда существуют элементы a/>и/>Отсюда следует, что />, где L\P– коидеал. По определению коидеала существует элемент d/>такой, что/>и />, значит,/>. Т.к. />, следовательно, />. Получаем, что />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Обратное включение очевидно.
2) Пусть />— произвольное семейство идеалов. Через />обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства />. Покажем, что />— идеал. Пусть />, тогда />, где />для некоторого идеала />. Тогда />лежит в идеале />, следовательно, />и />, т.е. />. Обратно очевидно.
Доказали, что />— идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.
/> ■
Лемма 4: Подмножества вида />пространства />можно охарактеризовать как компактные открытые множества.
Доказательство.
/> Действительно, если семейство />открытых множеств покрывает множество />, т.е. />/>, то />Отсюда следует, что />для некоторого конечного подмножества />, поэтому />/>. Таким образом, множество />компактно.
/> Пусть открытое множество r(I)компактно, тогда />и можно выделить конечное подпокрытие />для некоторых />.
Покажем, что Iпорождается элементом />.
Предположим, что это не так, и в идеале Iнайдётся элемент bне лежащий в />. Тогда [b)– коидеал, не пересекающийся с />. По лемме 2 найдётся простой идеал Pсодержащий />и не пересекающийся с [b).Получаем, />, т.к. />(т.е. />), но />, т.к. />/>, противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r(I)будет только в случае, если />— главный идеал.■    продолжение
--PAGE_BREAK--
Предложение 5:Пространство />является />— пространством.
Доказательство.
Рассмотрим два различных простых идеала />и Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что />. Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecLявляется />— пространством. ■
Теорема 6: Стоуново пространство />определяет полурешётку />с точностью до изоморфизма.
Доказательство.
Нужно показать, что две полурешётки />и />изоморфны тогда и только тогда, когда пространства />и />гомеоморфны.
/> Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.
/> Пусть />и />гомеоморфны (/>) и />. Тогда aопределяет компактное открытое множество r(a)/>.Множеству r(a) соответствует компактное открытое множество />, с однозначно определённым элементом />по лемме 4. Таким образом получаем отображение />: />, при котором />. Покажем, что />— изоморфизм решёток. Если a,b– различные элементы из />, то />, следовательно, />, поэтому />и />— инъекция.
Для произвольного />открытому множеству />соответствует />и очевидно />, что показывает сюръективность />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть a,b– произвольные элементы из />. Заметим, что />. Открытому множеству />при гомеоморфизме />соответствует открытое множество />, а />соответствует />. Следовательно, />=/>. Поскольку />=/>, то />, т.е. />■
Литература.
Биргкоф Г. Теория решёток. – М.: Наука, 1984.
Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.
Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.