Реферат
на тему:
«Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя»
1. Теорема Ролля
Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.
Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).
Теорема 1.1. Если функция />непрерывна на отрезке />, дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка />, />обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка />, в которой />.
Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке />, то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума /> и максимума /> (рис. 1.1).
Если />, функция постоянна, то есть />. Но в этом случае /> для любого />.
В общем случае />, и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что />. Тогда существует точка />, в которой />.
/>
Рис. 1.1
Так как рассматриваемое значение /> является максимальным, то для него справедливо, что /> для /> и />.
Рассмотрим пределы
/>для />
и
/>для />.
Так как оба предела равны производной функции /> в одной и той же точке />, то они равны между собой. Значит, из одновременности /> и /> следует, что />, что и требовалось доказать.
Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка /> функция не обращается в ноль, но принимает равные значения />. Доказательство проводится аналогично.
Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось /> в двух точках />, /> или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между /> и /> касательная к кривой параллельна оси />.
Необходимо отметить, что если не во всех точках /> у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции /> (рис. 1.2):
/>
Рис. 1.2
Данная функция непрерывна на отрезке /> и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.
2. Теорема Лагранжа
Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).
Теорема. Если функция />непрерывна на отрезке />и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка />, в которой />.
Доказательство. Рассмотрим график функции /> (рис. 2.1).
Проведем хорду, соединяющую точки /> и />, и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:
/>,
откуда:
/>
Рис. 2.1
/>и />.
Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:
/>.
Полученная функция /> непрерывна на отрезке /> и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление /> в точках /> и /> показывает, что />. Значит, функция /> на отрезке /> удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка />, в которой />.
Вычислим производную функции />:
/>.
Согласно теореме Ролля в точке /> производная />, то есть /> и
/>,
что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка /> существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при /> теорема переходит в теорему Ролля.--PAGE_BREAK--
Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:
/>,
то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.
3. Теорема Коши
Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.
Теорема. Если функции />и />непрерывны на отрезке />и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем />не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка />, в которой />.
Доказательство. Так как /> во всех точках />, то отсюда следует, что />. В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка />, в которой />.
Составим вспомогательную функцию
/>.
Данная функция непрерывна на отрезке /> и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках /> и /> дает: />. Значит, функция /> удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка />, в которой />.
Вычислим производную />:
/>.
Из условия /> следует, что
/>и />,
что и требовалось доказать.
В случае, когда />, теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.
4. Правило Лопиталя
На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661–1704).
Теорема. Пусть функции />и />непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала />и при />совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при />, то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть />.
Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда />. Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке />, положив, что при /> выполняется равенство />.
Возьмем точку />. Так как функции /> и /> удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке />:
/>, где />.
Так как />, то
/>.
Перейдем в данном равенстве к пределу:
/>.
Но если />, то и />, находящееся между точками /> и />, будет стремится к />, значит
/>.
Отсюда, если />, то и />, то есть
/>,
что и требовалось доказать.
Если при />/>, то снова получается неопределенность вида /> и правило Лопиталя можно применять снова, то есть
/>
Доказательство правила Лопиталя для случая /> проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.
При раскрытии неопределенностей типа />, />, />, />, /> правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду /> или />.
Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении роста функций, в случае когда />. Наибольший практический интерес здесь представляют функции />, />, />. Для этого найдем пределы их отношений:
1) />, значит, /> растет быстрее, чем />;
2) />, значит, /> растет быстрее, чем />;
3) />, значит, /> растет быстрее, чем />.
Отсюда следует, что быстрее всего растет />, затем /> и, наконец, />.
Литература
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа» изд. 5, 1977.
Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с.
Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.
Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник – 3-е изд. ЛКИ, 2007.
Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.