ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ
1. Основні поняття і теореми
Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку зелементами aij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і прицьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто
/> і />.
Визначником (det A) квадратноїматриці А зістовпцями хj називається функціонал j(х1, х2,…, хn) щодо стовпців цієї матриці, який:
а) лінійний за кожним заргументів (полілінійний):
теорема обчисленнявизначник сума
j(х1, …, aхi1 + bхi2, …, хn)= aj(х1, …, хi1, …, хn) + bj(х1, …, хi2,…, хn);
б) абсолютноантисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1, …, хi,…, хj, …, хn) = –j(х1, …, хj,…, хi, …, хn);
в) підкоряється умовінормування:
/>.
Тоді, з огляду на загальнийвигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:
/>
а б
Рис. 1
/>, (1)
де N(j1 j2… jn) – кількість безладів у перестановці />.
Говорять, що в перестановцімається безлад, якщо jk > jm і k
З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо />.
Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудовицих доданків зручно скористатися правиломтрикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, атакож добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться змножником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, атакож добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться змножником –1, тобто
/>
Властивості визначників:
1°. det A = det AT.З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силуцього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані ідля рядків визначника.
2°. Якщо один зі стовпціввизначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.
3°. Загальний множник устовпці визначника можна виносити за знак визначника.
4°. Якщо у визначнику помінятидва стовпці місцями, то визначник змінить знак.
5°. Визначник, що має дварівних стовпці, дорівнює нулю.
6°. Якщо стовпці визначникалінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.
7°. />.
8°. Визначник не зміниться,якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.
9°. Визначник добутку двохквадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-йстовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Їївизначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента aijматриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (–1)i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aijматриці А.
10°. /> (Розкриття визначника заелементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).
11°. />
12°. (Теорема Лапласа).
/>.
Тут />– мінор, складений зелементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1, i2,…, ik і стовпців j1, j2, …, jk, а />– алгебраїчне доповнення доцього мінора.
13°. (Про зміну елементіввизначника).
Якщо />, а />, то />.
3. Приклади розв’язування задач
Задача 1. Обчислити визначник: />.
Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням заелементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):
/>
/>
/>.
Визначники третьогопорядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.
II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням замінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-муі 2-мурядках вихідного визначника, властивість 12º). Усього таких мінорівбуде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-йстовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:
/>
/>
/>
/>.
III спосіб. Обчислимо визначник методомприведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємосявластивістю 8°.
а) 1-й рядок додамо до 3-горядка;
б) 1-й рядок, помножений на(–2), додамо до 4-горядка.
При цьому визначник незміниться.
/>
Далі: в) від 1-го рядкавіднімемо 2-й рядок;
г) 2-й рядок, помножений на3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшитьсявдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.
/>;
д) в останньому визначнику3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться.Одержимо:
/>.
Визначник матрицітрикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимовисновку, що вихідний визначник дорівнює –3.
Задача 2. Обчислити визначник: />.
Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методомвиділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник єбагаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другийрядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена.Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім,четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири кореніполінома, тобто
det А= C(x – 2)(x – 6)(x –12)(x – 20).
Для знаходження Cвідзначимо, що у визначник множник х4 входить з коефіцієнтом, якийдорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтомякий дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:
det А = />(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x –20).
Задача 3. Обчислити визначник: />.
Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщодо всіх елементів визначника /> додатих = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:
/>.
Визначник діагональноговигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповненнядорівнюють: А11 = 5! = 120;
А22 = 3.4.5= 60; А33 = 2.4.5 = 40; А44 = 2.3.5= 30 і А55 = 2.3.4 = 24.
Решта Аij = 0.Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4.274 =1216.
Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку />.
Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:
/>,
а останній визначникрозкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:
Dn = 5Dn – 1 – 4Dn – 2. (*)
Записане співвідношенняназивається рекурентнимспіввідношеннямі дозволяє виразити Dn через такі ж визначники більш низького порядку.
З (*) одержуємо:
1) Dn – Dn – 1 = 4(Dn – 1 – Dn – 2) = 42(Dn – 2 – Dn – 3) = … = 4n – 2 (D2 – D1) =
= 4n – 2 (21 –5) = 4n .
2) Dn – 4Dn – 1 = Dn– 1 – 4Dn – 2 = Dn– 2 – 4Dn – 3 = … = D2 – 4D1 = 21 – 4.5 = 1.
3)
Маємо систему рівнянь: />. Віднімаючи з 1-горівняння 2-е, одержуємо: 3Dn – 1 = 4n – 1. У такийспосіб: />.
4. Задачі і вправи для самостійногорозв’язування
1. Визначитичисло безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немаєособливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3,… у зростаючомупорядку):
а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2,5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;
г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5,4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
D а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲
2. З'ясувати,які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщовходять, то з яким знаком:
а) а43а21а35а12а54;б) а13а24а23а41а55;
в) а61а23а45а36а12а54;г) а32а43а14а51а66а25;
д) а27а36а51а74а25а43а62;е) а33а16а72а27а55а61а44;
ж) а12а23а34…аn–1 n а25аkk (1 £ k £ n); з) а12а23а34…аn-1nаn1n.
D а) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входитьу визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)n. ▲
3. Вибратизначення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідногопорядку із зазначеним знаком:
а) а1iа32а4kа25а53з « + »; б) а62аi5а33аk4а46а21з « – »;
в) а47а63а1iа55а7kа24а31з « + ».
D а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲
4. Користуючисьтільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4і х3:
а) />; б) />.
D а) 2х4, –х3; б) 10х4, –5х3.▲
5. Знайтичлени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять увизначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а23 і входять увизначник зі знаком « – ».
D а) а11а24а32а43,а13а21а32а44, а14а23а32а41;б) а11а23а32а44, а12а23а34а41,а14а23а31а42. ▲
6. Виписативсі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд />.Що вийде, якщо з їхньої суми винести а14а23 за дужки?
D />. ▲
7. Якзміниться визначник n-гопорядку, якщо всі його стовпці записати взворотному порядку? D Визначник помножиться на (–1)(n(n–1))/2.▲
8. Нерозкриваючи визначників, довести, що:
а) />;
б) />;
в) />;
г) />; д) />.
D а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості7, 3, 5; г) властивість 5;
д) властивість 5. ▲
9. Знайтимінори елементів а13, а24, а43 визначника />.
D М13 = 24; М24 = – 126; М43= 52. ▲
10. Знайтиалгебраїчне доповнення елементів а14, а23, а42визначника
/>.
D А14 = 8; А23 = 0; А42 = –12. ▲
11. Обчислитивизначник, розкриваючи його по 3-му рядку />.
D 8a + 15b + 12c – 19d. ▲
12. Обчислитивизначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: />.
D 5a – 5b – 5c + 5d. ▲
13. Обчислитинаступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання заелементами деякого рядка або стовпця:
а) />; б) />; в) />.
D а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲
14. Обчислитинаступні визначники 3-го порядку:
а) />; б) />; в) />;
г) />; д) />; е) />.
D а) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲
15. Обчислитинаступні визначники 3-го порядку:
а) />; б) />; в) />;
г) />; д) />; е) />.
D а) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲
16. Обчислитинаступні визначники 3-го порядку:
а) />; б) />; в) />;
г) />; д) />; е) />.
D а) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲
17. Обчислитинаступні визначники 3-го порядку:
а) />; б) />; в) />;
г) />; д)/> ;
е) />.
D а) (1 – e3)2; б) abc + x(ab + bc +ac); в) 0; г) –2(x3 + y3); д) 0; е) 0. ▲
18. Обчислитинаступні визначники 4-го порядку:
а) />; б) />; в) />; г) />.
D а) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲
19. Обчислитинаступні визначники 4-го порядку:
а) />; б) />; в) />; г) />.
D а) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲
20. Обчислитинаступні визначники 4-го порядку:
а) />; б) />;
в) />; г) />.
D а) 1; б) 48; в) 1; г) />. ▲
21. Обчислитивизначники 4-го порядку:
а) />; б) />; в) />; г) />.
D а) –8; б) –9; в) –6; г) –10. ▲
22. Обчислитивизначники 5-го порядку:
а) />; б) />. D а) 52; б) 5. ▲
23. Зведеннямдо трикутного вигляду обчислити визначники:
а) />; б) />;
в) />; г) />.
Dа) n!; б) 2n + 1; в) хn(а0+ а1+ … + аn); г) />. ▲
24. Обчислитивизначники методом виділення лінійних множників:
а) />; б) />;
в) />; г) />.
Dа) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x –a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);
в) (х2– 1)(х2 – 4); г) x2z2, вказівка:визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем іодночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічнопо z. ▲
25. Розв’язатирівняння:
а) />; б) />;
в)/> ; г) />(х Î R).
Dа) хi = ai, i = 1, 2, …, n –1; б) хi = ai, i = 1, 2, …, n; в) х = 0, 1, 2, …, n –1; г) x = 1. ▲
26. Використовуючиметод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) />; б) />; в) />.
Dа) />; б) 2n + 1 – 1;в) />. ▲
27. Обчислитивизначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:
а) />; б) />.
∆ а) хn+ (а1 + а2 + … + аn)хn – 1;б) вказівка: xi º(xi – ai + ai),
/>.▲
28. Обчислитивизначники методом зміни елементів визначника:
а) />; б) />.
∆а) />; б) />. ▲
29. Обчислитивизначники n-го порядку:
а) />; б) />; в) />;
г) />; д) />; е) />.
∆ а) 1; б)3n; в) 1; г) хn; д) 1 – n; е) (–2)n –1(5n –2). ▲
30. Обчислитивизначники n-гопорядку:
а) />; б) />; в) />;
г) />; д) />; е) />.
∆ а) (–2)n–2(1 – n); б) n + 1; в) (–1)n –1(n – 1); г) 1; д) (1 – (–1)n)/2,вказівка:
Dn= 1– Dn –1;е) 0, якщо n = 2k +1; (–1)n/2, якщо n = 2k, kÎZ; вказівка: Dn= – Dn – 2.▲
31. Обчислитивизначники n-го порядку:
а) />; б) />;
в) />; г) />;
д) />; е) />.
∆ а) (b1– а1)(b2 – а2) … (bn –аn); б) (n – 1)!; в) (–1)n – 1. n!; г) 0;
д) (–1)(n(n–1))/2nn–1(n + 1)/2; е) /> ▲