Содержание
Введение. 2
1. Характеры… 3
1.1 Определение характера.Основные свойства характеров. 3
1.2 Суммы характеров. Соотношениеортогональности. 6
1.3 Характеры Дирихле. 8
2. L-функцияДирихле. 13
3. Доказательство теоремы Дирихле. 29
Введение
Простые числарасположены в натуральном ряде весьма неравномерно.
Целью данной работы являетсядоказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.
Теорема Дирихле. Если разность и первыйчлен арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то онасодержит бесконечное множество простых чисел.
Пусть
mn+ l, n=1,2, …,
прогрессия,удовлетворяющая условию теоремы.
Условие (m, l)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы,естественно, поскольку в случае, когда d=(m, l)>1, все членыпрогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.
Сформулированнаятеория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m, использовавшее, каквыяснилось позднее, одну ошибочную лемму.
Полностьюдоказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859),немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций,математической физике.
В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметическойпрогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однакодоказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии естьпростое число. В конце второй работы содержится построение характеров дляпроизвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказатьутверждение L(1,χ)¹0 для неглавныххарактеров xв одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательствотеоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит егоимя.
1. Характеры1.1Определение характера. Основные свойства характеров
/>/>Характером (от греческого хараæτήp-признак, особенность) χконечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначнаяфункция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АÎGи BÎG
χ (АВ)= χ(А) χ(В).
Обозначимчерез Е единичные элементы в группе G и через А-1 обратный элемент для АÎG
Характерыгруппы Gобладают следующими свойствами:
1. Если Е-единица группы,то для каждого характера χ
χ (Е)=1 (1.1)
Доказательство. Пусть для каждогоэлемента АÎG справедливо неравенство
c1(А)=c(АЕ)= c(А) χ (Е)
Из этогоравенства получим, что c (Е)¹0. Теперь из равенства
c(Е)= c(ЕЕ)= c(Е) c(Е)=1
следуетравенство (1.1)
2. c (А) ¹0 для каждого АÎG
Действительно,если бы χ (А) =0 для некоторого АÎG, то
c(А) χ (А-1)= c (АА-1)= χ (Е)=0,
а этопротиворечит свойству 1.
3. Если группа G имеет порядок h, то Аh=Е для каждого элемента АÎG Следовательно,
1= χ(Е)= χ (Аh)= χ (А)h,
то есть χ(А) есть некоторый корень степени h из единицы.
Характер χ1,обладающий свойством χ1(А)=1 для каждого элемента АÎG, называется главнымхарактером группы G. Остальные характеры называются неглавными.
Лемма 1. Пусть Н подгруппаконечной абелевой группы G, причем G/H – циклическая порядка n, тогда для каждогохарактера χH– подгруппы Н существуетровно nхарактеров.
Доказательство. Рассмотрим группу G=/>gkH, причем gnH=H, gnÎH и gn=h1=1.
Для каждогоэлемента XÎG существует и притом единственное к=кхи hх=h такое, что если 0£ кх G, Y= gmhy, где 0£ m
ХY= gк+mhhy.
Определимхарактер χ (X).
χ (X)= χ (gк h)= χ (gк) χ (n)= χк (g) χH (h).
В данном выражениинеизвестным является χ (g).
χn(g)= χ (gn)= χ (h1)= χH(h1) – данное число.
/>χ (g)= – nкорней из 1,
то есть ξјn=χn(g)= χH(h1), получаем xk(g)= ξјn. Следовательно, x(g)= ξ1, …,ξn
Из полученныхравенств получаем:
χ (X)= χk(g) χH(hx)= ξjkxχH (hx)
χ (Y)= χm(g) χH(hy)= ξjkyχH (hy)
Определимумножение характеров
χ (X) χ (Y)= ξjkyχH (hy) ξjk-xχH (hx)= ξjkx+kyχH (hx) χH (hy)= jk+mχH (hhy)
Для тогочтобы определение выполнялось, необходимо рассмотреть степень gkx+kx. Возможны два случая:
1) Если 0£ кх + ky
кх +ky= kxy,; hxhy= hxy.
В этом случаеопределение выполняется.
2) Если n£ кх + ky
кх +ky = n + kxy..
Тогда
XY= g kx+ky hxhy=ghgkx+ky-n hx hy=gkx+ky-nh1hxhy
В свою очередь0£ кх + ky – n£n-1 Þ kx+ky – n=kxy, h1hxhy= hxy.
χ (XY) = ξjkх+kу χн (hxу) = ξjkх + kу – nχн (h1) χн(hx) χн (hy) = ξjкх ξjку ξj– n χн (h1) χн(hx) χн (hy) = ξjкх χн (h1х) · ξjку χн(hy) = χ (X) χ(Y).
Леммадоказана.
5. Характерыконечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечнуюмультипликативную абелевую группу Ĝ.
Подпроизведением двух характеров χ' и х χ'' группы G будем понимать характер х,определяемый следующим свойством:
χ (AB) = χ' (A) χ'' (В)
Для любогоэлемента АÎG, имеем:
χ (АВ) =χ' (АВ) χ'' (АВ) = χ' (А) χ' (В) · χ'' (А) χ''(В) = χ(А) χ(В)
Такимобразом, получаем χ ' χ '' действительно является характером.
Рольединичного элемента группы G играет главный характер χ1
Обратнымэлементом Gявляется:
/>χ2(g1 g2) = /> =/>/>= /> = χ2(g1) χ2(g1)1.2Суммы характеров. Соотношение ортогональности
Пусть G – конечнаямультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:
S = />,
где Апробегает все элементы G, и сумму
Т = />
где c пробегает все элементыгруппы характеров Ĝ.
Рассмотримчему равна каждая из сумм.
а) Если В-фиксированныйэлемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегаетвсе элементы группы G. Следовательно,
S·c (В) = />c (В) = /> = /> = S.
Получили Sc (В) = S, откуда следует, что (c (В) – 1)·S = 0. Следовательно,возможны два варианта:
1) S = 0, то c (В) – негативныйхарактер
2) S≠0, то c (В) = 1 для каждогоэлемента В€G ив этом случае c (В)= c1(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,
S = /> = {/> (1.2)
б) Если мыумножим сумму Т на некоторый характер c’ группы Ĝ, то аналогичнымобразом получим
c’(А) Т = /> c’ (А) = /> = Т,
Следовательно,
1) или Т = 0,то А ≠Е
2) или Т ≠0, то c’(А) = 1 для каждого характера c’€ G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. Итогда Т=h.Таким образом,
Т = />= {/> 1.3 Характеры Дирихле
Пусть m – положительное целоечисло. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что j(m) приведенных классов вычетовпо модулю mобразуют мультипликативную абелеву группу порядка h=j(m). Мы можем, следовательно,рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенныхклассов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом.Положим
c(а)=c(А),если аÎА,
где А –приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, c(а)= c(b) (mod m), и c(ab)= c(а) c(b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку c(А)¹0 для каждогоприведенного класса вычетов А, то c(а)¹0, если (a, m)=1.
Этоопределение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.
Мы можемрассмотреть его на все целые числа, положив
c(а)=0,если (a,m)>1.
Следовательно,характер по модулю m есть арифметическая функция c, обладающая следующимисвойствами:
c(а)=c(b), если с=b (mod m)
c(ab)= c(a) c(b) для всех целых a и b
c(а)=0,если (a,m)>1
c(а)¹0, если (a, m)=1
Имеется точноj(m) – количество характеровпо модулю m,где j(m) – количествоположительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативнуюабелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементомэтой группы будет главный характер c1, то есть такой характер,что c1(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:
/>= {/>
/>= {/>
Пусть m – положительное целоечисло. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначнаяфункция, определенная для всех целых чисел n, называется числовымхарактером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяетследующим условиям:
а) c (n) = 0 тогда и толькотогда, когда (n,m) ≠ 1
б) c (n) периодична с периодом m
в) для любыхчисел а и b
c(аb) = c (а) c (b)
Функция
c1(n)= {/>
являетсячисловым характером и называется главным характером. Остальные числовыехарактеры по модулю m называются неглавными.
Имеет местоследующее утверждение о числовых характерах.
Теорема 1 Существует равно φ(m) числовых характеров помодулю m.Если c= c(n) – числовой характер помодулю m,то:
1) для n, взаимно простых смодулем m,значения c (n) есть корень из 1 степени φ(m).
2) для всех n выполняется неравенство/c(n)/ ≤1
3) Имеетместо равенство
/>{/>
4) Длякаждого целого числа n
/> = {/>
Доказательство.Пусть c (n) – некоторый числовойхарактер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что c (n) задает некоторуюфункцию c’(/>) = c (n) на мультипликативнойгруппе />классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно
c’(/>) = c (n)
Здесь /> обозначаеткласс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как c(1) ≠ 0, то c’(/>) не равняетсятождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что c’(/>/>) = c’(/>) = c’ (ab) = c (a) c (b) = c’(/>)c’(/>).
Такимобразом, c’(/>) есть характермодультипликативной группы Gm.
Обратно, покаждому характеру c’(/>) группы Gm можно построить числовойхарактер c (n) по модулю m, положив
/>{/>
Установленноесоответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуютиз доказанного выше для групповых характеров применительно к группе Gm, если учесть, чтопорядок группы Gm равен φ(m), где φ(m) – функция Эйлера.
В дальнейшемтребуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого c, c ≥ 1
/>
Гдесуммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим c.
Лемма 2.Пусть c(n) – неглавный характер.Тогда для каждого c, c ≥ 1 справедливонеравенство
/S(x)/
Доказательство.Функция c(n) периодична с периодом m и по теореме з
/>0, так как c≠ c1
Поэтому,представив [c] – целую часть числа c – в виде [c]=m1+z, 0£z£m, будет иметь
S(c) =S([c])=q/>/>
В видуравенства /c(n)/£1 отсюда получили S(c)£z£m
2. L-функция Дирихле
Пусть х(п) – произвольныйхарактер по модулю m. Рассмотрим ряд
/>, (2.1)
членыкоторого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости онопределяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующейхарактеру c(n),и обозначается L (s, c).
Лемма 3
1. Если c¹c1, то ряд (1) сходится вобласти ReS > 0 и определяемая им функция L (s, c) является аналитическойв этой области.
2. Ряд,определяющий L (S, c1), сходится в области ReS >1. Функция L (S, c1) является аналитическойв области ReS > 1.
Доказательство.
Пусть c(n) – произвольный характерпо модулю m,а б – некоторое положительное число. Так как /c(n)/ £ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство
/>
Следовательно,ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, c) по теореме Вейерштрассао сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций являетсяаналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второеутверждение Леммы.
Для неглавныххарактеров c(n)потребуется более сложное исследование ряда (1).
Лемма 4(преобразование Абеля).
Пусть an, n=1,2,…, – последовательностькомплексных чисел, c>1,
А(c)=/>
а q(t) – комплекснозначная функция,непрерывно дифференцируемая на множестве 1£t£¥
Тогда
/> (2.2)
Если же
/>
то
/> (2.3)
при условии,что ряд в левой части равенства сходится.
Доказательство.Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любомнатуральном N
/>
так какА(0)=0. Далее
/>
посколькуфункция А(х) постоянна на каждом полуинтервале n£t
пусть х³1 – произвольное число.Положим N=[x]; значит, N£x£N+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), а
/>
Следовательно,
/>
Тем самымдоказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.
Равенство(2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х®¥. Лемма доказана.
Воспользовавшисьлеммой 4, получим следующее равенство
/> (2.4)
где
/>
функция,введенная Лемме 4.
Для s = p+it из области ReS = s, где s – некотороеположительное число, пользуясь леммой 4, находим
/>
Поэтомуинтеграл
/>
сходится вобласти ReS > s. Поскольку в этой области выполняется неравенство
/>
то изравенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > s. Эти рассуждениясправедливы для любого положительного числа s. Значит, ряд (1)сходится в полуплоскости ReS > 0.
Из равенства(2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавномухарактеру c(n),справедливо представление
/>
/> (2.5)
так как
/>
Интеграл,стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде
/> (2.6)
Члены ряда (2.6)являются аналитическими функциями в области ReS >s, что следует из равенств
/>
При этомиспользовано, что на полуинтервале n£х
/>
то ряд (2.6)равномерно сходится в области ReS >s. Отсюда, как и выше,получаем, что сумма его, т.е.
/>
являетсяаналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >s.
Изпредставления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическаяфункция в полуплоскости ReS >s, а ввиду произвольностиS – sи b полуплоскости ReS > 0.
Следствие.Пусть c(n) – произвольныйхарактер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство
/> (2.7)
Это следуетиз того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+s, где s>0. Следовательно, потеореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этойобласти ряд (2.1) можно почленно дифференцировать
/>
Поэтому вполуплоскости ReS>1+s выполняется равенство (2.7). Так как в этомрассуждении s-любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо вполуплоскости ReS>1.
Для L-функцийимеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам,аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.
Лемма 5.Пусть функция f(n) вполне мультипликативнаи ряд
/> (2.8)
абсолютносходится. Тогда выполняется равенство
/> (2.9)
Доказательство.Отметим прежде всего, что /f(n)/1. В противном случаепри каждом mÎN
/f(n)m/=/f(n)/m³1,
чтопротиворечит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд
/>
абсолютносходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессииравна (1-f(р))-1.Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножаяконечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполнемультипликативная функция, получим
/>
где ne= pa … pas и в сумме в правой частиравенства содержатся такие и только такие слагаемые f(ne), что все простыделители neне превосходят х. Следовательно, в разности
/>
остаются те итолько те слагаемые f(me), для которых у числа me имеется хотя бы одинпростой делитель р>x. Тогда оценим разность
/S-S(x)/£/>
и изабсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что
/>
Этодоказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняетсяутверждение Леммы.
Лемма 6. Длякаждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо представление
/>
Доказательство.Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция c(n) вполнемультипликативна, то есть c(АВ)= c(А) c(В), и выполняется неравенство/c(n)/£ 1 по теореме 1.
Следствие 1.В области ReS > 1 для главного характера c1(n) по модулю m справедливо равенство
/> (2.10)
и поэтомуфункция L (S,c1) может быть аналитически продолжена в область ReS > 0, где она имеетединственный полюс (первого порядка) в точке S=1.
Действительно,по определению главного характера c1(n) имеет место равенство
/>
Поэтому
/>
Пользуясьтеперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10).Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функцияявляется аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка вточке S= 1.
Следствие 2.Для каждого характера c функция L (S, x) не обращается в нульв области ReS > 1.
Доказательство.
Если s = ReS > 1. то
/>
Пользуясьнеравенством для дзета-функции Римана, находим
/>
Получаем:
L (S,c) ≥/>/>> 0
Теперьдокажем утверждения, что L – функция, соответствующая неглавному характеру c, точке S =1 отлична от нуля.
Теорема 2.Если c – неглавный характер, тоL (1, c)≠0
Длядоказательства рассмотрим 2 случая
1. Пустьхарактер c – комплексное число, не является действительным. Тогда характер c2(n) не является главным. Вэтом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что идоказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.
Лемма7. Пусть 0ч1,а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 –ч)3(1 –чеix)4 (1 –че2ix)/-1 ≥ 1
Доказательство.
Для всех z из круга /z/
– ln (1 – z) =/> (2.11)
Так как ln(t) = Re lnt, то обозначая М (чφ), левую часть неравенства (2.11), получим
lnM (ч φ) = 3ln (1 –ч) – 4 ln (1 –чеi4) – ln (1 –че2i4) = – 3ln (1-ч) – 4Reln/1 –чеi4/ – Reln/1 –че2i4/=/>rc (3+4e)inl/1-rei4/=/>(3+4cosnl+2cos2nl)= />(2+4cosa+1+cos2a)=/>1 (1+cosa)2³0
ln=M (r, l)=³0
Следовательно,M (r, l)=³1 доказана.
Из леммы 7следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:
|L3(8, c1) L4(S, c) 4 (S, c4) 1 = П (1- />)3(1- />)4(1-/>)|-1 (2.12)
Получая влемме ч = р-s, т.е.
0ч= c1(р)
0р-s
c(р) р-s = чеi4, в силу того что c(р) – комплексное
c(р) р-s= че2i4
Получаем, чтокаждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и,следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:
|L3(Sc1) · L4(Sc) L (Sc2)| ≥ 1 (2.13)
Допустим, чтодля некоторого характера c (c2≠c1) выполняется равенство
L (1, c) = 0 (2.14)
Оценим сверхулевую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана
ξ(S) ≤ />, следует, что при S € R, S>1 выполняетсянеравенство
а) 0
получили0
б) Функция L (S, c) разложим в ряд Тейлора
L (S,c) = Cp + C1 (S – 1) + C2(S – 1)2+… + Cn(S – 1)n +…
Предположим,что у нее есть нуль L (1, c) = 1; тогда С0 = 0
Перепишемразложение L– функции в ряд
L(Sc) = Cк (S – 1)к + Ск+1(S – 1)к+1 = (S – 1)1(Cк + Ск+1(S -1)+….),где к≥1, Ск ≤0, т. к. S>1
| L(S, c)| = |S – 1|k| Ck + Ck+1(S – 1) +….|≤ 2 Ck|S – 1)k, при |S – |
Функция L (S, c2) в точке S = 1 не имеет полюса,следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c2≠c1
Получаемнеравенство:
L (S, c2) ≤ C,
При условии |S – 1|
Учитывая всенеравенства и оценки
|L3 (S, c) L4(S, c) L (S, c2)| = (/>)3 ·24 |Ck|4 (S – 1)4k· C≥1
Следовательно,это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученноепротиворечие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.
2. Рассмотримc– вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения,несовпадающий с главным характером
Лемма 8. Пусть c – вещественный характер.
Рассмотримфункцию
F(S) = ξ(S) L (S, x) (2.15)
Докажем, чтоесли Re S>1, то
/> (2.16)
представляетсярядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:
1) Всекоэффициенты аn≥ 0
2) при n=k2, k € / N(N)/ аn≥1
3) В области ReS
F (k) (S)= />(-1)k(ln n)k/> k=1,2…; (2.17)
4) Ряд (1) вточке S=1/2расходится.
Доказательство.В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L (S,c), абсолютно сходятся,поэтому их можно перемножить:
где
/> (2.19)
Пусть /> — расположение числа n в произведение простыхсомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид
/> />
поэтому изравенства (14) находим, что
/>
где ani= 1+ c (pi)+ … +cLi (pi), i=1,…, m (2.21)
так как c – вещественный характер,то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21)следует, что
/> (2.22)
Во всехслучаях числа ani³0, а значит, и an=an1 … anm³0
Если же числоп является полным квадратом, то
N=k2=p/2g … pm2g,
и из равенств(2.20) и (2.22) следует, что аn ³1
При любом s > 0 в области ReS> 1 +s выполняется неравенство
/>
Ряд (2.18)сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходитсяравномерно в области ReS > 1 + s, а по теореме Вейерштрассаего можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз.Следовательно, в области ReS > 1 +s выполняется равенство (2.17), а в силу произвольности s оно выполняется и в области ReS > 1.
Однако ряд(39) расходится, так как по второму утверждению леммы
Ряд (2.16)при S= /> имеет неотрицательныечлены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд
/> (2.23)
Следовательно,ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.
Переходим непоредственнок доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,c) = 0. Тогда полюсдзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, c) нулем функции L (S, c).
Поэтомуфункция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F(z) – устраненная особаяточка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:
/> (2.24)
радиус сходимостикоторого не меньше 2 R³2/
Из равенств (2.17),в частности S=2,находим
/> (2.25)
В радиусесходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS=s S=sÎ(0,2). Пользуясьразложениями (18) и (19), находим
/>
Членыдвойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можнопоменять порядок суммирования. Тогда
/>
Следовательно,ряд (2.16) сходится во всех точках, s , а это противоречитчетвертому утверждению леммы. Поэтому L (S,c)¹0/
Этимзавершается доказательство теоремы
По следствию2 леммы 2 функция /> является аналитическойв области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будетнеобходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).
Лемма. Длякаждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо равенство
/> (2.26)
/>
Доказательство.
Так как S=s+it имеет место неравенство
/>
получаем, чторяд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области s>1. Умножим этот рядна ряд определяющий L (S,c). Получили
/>
Предпоследнее равенствоимеет место ввиду равенства />), а последнее– по следствию из леммы 3, равенство 2.7.
3. Доказательство теоремы Дирихле
Теорема. Еслиразность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральныечисла, то она содержит бесконечное множество простых чисел.
Доказательство.
Рассмотримравенство (2.26), которое справедливое по Лемме в области ReS > 1. Поскольку />(n) = 0 для всех n, не являющихся степенямипростых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (2.26) имеютвид
/>
где р – простоеи k – натуральное числа. Ряд(2.26) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойногоряда) и, значит, в области ReS > 1
/> (3.1)
Второеслагаемое в правой части этого равенства равномерно ограничено по s в области ReS³3/4. Действительно, если S=p+it, p³3/4, то
/>
Следовательно,при S®1+0 для каждого характера c имеет место равенство
/> (3.2)
Здесь и вдальнейшем s ® 1 + o обозначает, что S стремится к 1 по действительнойоси справа.
Пусть u – некоторое натуральноечисло, удовлетворяющее сравнению
/> (3.3)
Умножим обечасти равенства (3.2) на c(u) и просуммируем получившиеся равенства по всемчисловым характерам c. Тогда получим
/> (3.3)
Если простоечисло р удовлетворяет сравнению р ºl (mod m), то pu ≠ 1 (mod m), и потеореме 1
/>
Если же p≠l (mod m), то pu≠ 1 и по той жетеореме
/>
Такимобразом, равенство (3.3) можно переписать в виде
/> (3.4)
По лемме 3 итеореме 2 для неглавного характера c функция /> является аналитическойв точке S= 1. Поэтому для таких характеров при S ®1 + 0 имеем
/> (3.5)
По следствию1 леммы 4 функция L (S,c1) имеет в точке S=1 полюс первого порядка. Значит, при S®1+0
/> (3/6)
Учитываяравенства (3.5) и (3.6.) из равенства (26) получаем, что
/>
Так как числоuудовлетворяет сравнению (3.3), то (u, m) = 1 и c0(u)=1. Итак, при S®1+0
/> (3.7)
Правая частьравенства а (3.7) при S®1+0 имеет бесконечныйпредел. Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечноемножество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел,удовлетворяющих сравнению
pºe (mod m)
ТеоремаДирихле доказана.