Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. />.
Найдем производную, когда />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как
/>, а />, то
/>
Отсюда /> и />,
то есть />. Если />, результат тот же.
2. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и />, то есть />.
3. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и />, то есть />.
4. />.
По определению />. Будем дифференцировать /> как частное:
/>, то есть />.
5. />.
По определению />. Будем дифференцировать /> как частное:
/>, то есть />.
6. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и
/>,
то есть />. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
7. />.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />.
8. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то />. Отсюда
/>и />, то есть />.
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9. />.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />.
Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если />, то />.
Теорема. Если для некоторой функции /> существует обратная ей />, которая в точке /> имеет производную не равную нулю, то в точке /> функция /> имеет производную /> равную />, то есть />.
Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: />. Так как функция /> имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть />, откуда />. Значит, />.
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. />.
В данном случае обратной функцией будет />. Для нее />. Отсюда
/>,
то есть />.
11. />.
Так как
/>, то />. />.--PAGE_BREAK--
В данном случае обратной функцией будет />. Для нее
/>.
Отсюда />, то есть />.
13. />.
Так как
/>, то />.
2. Производная сложной функции
Пусть дана функция /> и при этом />. Тогда исходную функцию можно представить в виде />. Функции такого типа называются сложными. Например, />.
В выражении /> аргумент /> называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция /> имеет производную в точке />, а функция /> имеет производную в соответствующей точке />. Тогда сложная функция /> в точке /> также будет иметь производную равную производной функции /> по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по />, то есть />.
Для доказательства дадим приращение аргументу />, то есть от /> перейдем к />. Это вызовет приращение промежуточного аргумента />, который от /> перейдет к />. Но это, в свою очередь, приведет к изменению />, который от /> перейдет к />. Так как согласно условию теоремы функции /> и /> имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если />, то и />, что, в свою очередь, вызовет стремление /> к нулю.
Составим />. Отсюда,
/>
и, следовательно, />.
Если функция /> имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде />, где />, а />, или />, то, соответственно, /> и так далее.
3. Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение />связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая />, получаем значение />, то есть пару чисел, являющихся координатами точки />. При изменении /> меняется />, точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные /> и /> связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: /> где />. Для каждого значения /> из данного промежутка будет своя пара чисел /> и />, которой будет соответствовать точка />. Пробегая все значения, /> заставляет меняться /> и />, то есть точка /> движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная /> – параметром.
Если функция /> взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти />. Подставляя /> в />, получим />, то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям /> и /> в зависимости от времени />, то есть в виде параметрически заданной функции /> Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение />.
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку /> на окружности с радиусом />. Выражая /> и /> через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:
/>
Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности />.
/>
Рис. 3.1
2. Эллипс.
Известно, что уравнение эллипса – />. Отсюда />. Возьмем две точки /> и /> на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу /> (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что />. Подставим это выражение в />: />. Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид
/>
/>
Рис. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом />. Зафиксируем точку Oее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:
/>
Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:
/>
/>
Рис. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса /> без скольжения катится другая окружность радиуса />. Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:
/>
/>
Рис. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция /> от /> задана параметрически: /> где />. Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом />. Найдем />.
Составим отношение />. Тогда
/>.
Следовательно, />. Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.
Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.
Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.