СФЕРА />
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ… 3
МНОЖЕСТВО /> И РАССТОЯНИЕ В НЁМ… 4
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВАВ />… 5
СФЕРА />… 6
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ />… 7
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ… 11ВВЕДЕНИЕ
Многиевеличины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многихфакторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторов могут бытьохарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому,что упорядоченному набору /> чисел,каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится всоответствие значение /> исследуемойвеличины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величинуфакторов.
Например,площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объём данногоколичества газа вычисляется по формуле
/>,
где /> – постоянная, /> – масса, /> – абсолютная температура и /> – давление газа. Такимобразом, значение /> зависит отпеременной упорядоченной тройки чисел /> или,как говорят /> есть функция трёх переменных/>.
Мы ставимсебе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мынаучились исследовать функции одного переменного.
Как и в случаефункции одного переменного, изучение функции многих числовых переменныхначинается с описания их области определения.
МНОЖЕСТВО/> И РАССТОЯНИЕ В НЁМ.
Условимсячерез /> обозначать множество всехупорядоченных наборов />, состоящих из /> действительных чисел /> />.
Каждый такойнабор будем обозначать одной буквой /> и в соответствиис удобной геометрической терминологии называть точкой множества />.
Число /> в наборе /> называют />-й координатой точки />.
Геометрическиеаналогии можно продолжить и ввести на множестве /> расстояниемежду точками />, /> по формуле
/> (1)
Функция
/>,
определяемаяформулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:
a) />;
b) />;
c) />;
d) />.
Последнеенеравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенствомтреугольника) есть частный случай неравенства Минковского.
Функцию,определённую на парах /> точек некоторогомножества /> и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в />.
Множество /> вместе с фиксированной внём метрикой называют метрическим пространством.
Таким образом,мы превратили /> в метрическоепространство, наделив /> метрикой,заданной соотношением (1).
Из соотношения(1) следует, что при />
/> (2)
т. е.расстояние между точками /> мало втом и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координатыэтих точек.
Из (2), как ииз (1), видно, что при /> множество /> совпадает с множествомдействительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартнымобразом посредством модуля разности чисел.ОТКРЫТЫЕИ ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В />
Определение 1.При /> множество
/>
называетсяшаром с центром /> радиуса /> или также />-окрестностью точки />.
Определение 2.Множество /> называется открытым в />, если для любой точки /> найдётся шар /> такой, что />.
Пример 1. /> – открытое множество в />.
Пример 2. /> – пустое множество – вообщене содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е./> – открытое множество в />.
Пример 3. Шар /> – открытое множество в />.
Действительно,если />, т. е. />, то при /> будет />, поскольку
/>.
Пример 4.Множество />, т. е. совокупность точек,удалённых от фиксированной точки /> нарасстояние больше чем /> являетсяоткрытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенствотреугольника для метрики.
Определение 3.Множество /> называется замкнутым в />, если его дополнение /> в /> является множеством,открытым в />.
Пример 5.Множество />, т. е. совокупность точек,удалённых от фиксированной точки /> небольше чем на />, является замкнутым,что следует из определения 3 и примера 4. Множество /> называютзамкнутым шаром с центром /> радиуса />.СФЕРА/>.
Сфера –множество /> точек /> евклидова пространства />, находящихся от некоторойточки />(центр сферы) на постоянномрасстоянии />(радиус сферы), т. е.
/>.
Сфера />– пара точек, сфера />– это окружность, сферу /> при /> иногда называютгиперсферой. Объём сферы />(длинапри />, поверхность при />) вычисляется по формуле
/>,
в частности,
/>, />, />, />.
Уравнениесферы /> в декартовых прямоугольныхкоординатах в /> имеет вид
/>
(здесь />, />, />, – координаты />, /> соответственно), т. е.Сфера – (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида.
Положениекакой-либо точки в пространстве относительно сферы характеризуется степеньюточки. Совокупность всех сфер, относительно которых данная точка имеетодинаковую степень, составляет сеть сферы. Совокупность всех сфер, относительнокоторых точки некоторой прямой (радикальной оси) имеют одинаковую степень(различную для различных точек), составляет пучок сферы.НЕКОТОРЫЕСВОЙСТВА СФЕРЫ />.
С точки зрениядифференциальной геометрии, сфера /> –риманово пространство, имеющее постоянную (гауссову при /> и риманову при />) кривизну />. Все геодезические линиисферы замкнуты и имеют постоянную длину /> –это так называемые большие окружности, т. е. пересечения с /> двумерных плоскостей в />, проходящих через её центр.Внешнегеометрические свойства />: всенормали пересекаются в одной точке, кривизна любого нормального сечения одна ита же и не зависит от точки, в которой оно рассматривается, в частности имеетпостоянную среднюю кривизну, причём полная средняя кривизна сферы – наименьшаясреди выпуклых поверхностей одинаковой площади, все точки сферы омбилические.
Некоторые изтаких свойств, принятые за основные, послужили отправной точкой для обобщенияпонятия сферы. Так, например, аффинная сфера определяется тем, что все её(аффинные) нормали пересекаются в одной точке; псевдосфера – поверхность в /> постоянной гауссовойкривизны (но уже отрицательной); одна из интерпретаций орисферы (предельнойсферы) – множество точек внутри />,определяемое уравнением также второго порядка
/>.
На сферу /> дважды транзитивнодействует ортогональная группа /> пространства/> (2 – транзитивностьозначает, что для любых двух пар точек, с равными расстояниями, существуетвращение – элемент />, переводящая однупару в другую); наконец, сфера есть однородное пространство: />.
С точки зрения(дифференциальной) топологии, сфера /> –замкнутое дифференцируемое многообразие, разделяющее /> на две области и являющеесяих общей границей; при этом ограниченная область, гомеоморфная /> – это (открытый) шар, так,что сферу можно определить как его границу.
Группыгомологий сферы />, />:
/>
в частности /> не стягивается в точку самапо себе, т. е. тождественное отображение /> всебя существенно.
Группы гомотетийсферы />, />:
/>
Например, />, /> при />. В общем случае – для любых/> и />, />, группы /> не вычислены.
И здесьпонятие сфера получает обобщение. Например, дикая сфера – топологическая сферав />, не ограничивающая области,гомеоморфной />; Милнора сфера(экзотическая сфера) – многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное />.
Топологическоепространство, гомеоморфное сфере, называется топологической сферой. Одним изосновных здесь является вопрос об условиях того, что некоторое пространствоявляется топологической сферой.
Примеры.
а)Инвариантная топологическая характеристика сферы /> при/> не известна. О случае />см. Одномерное многообразие.Для того чтобы континуум был гомеоморфен сфере />,необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы однупростую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нём такая линия разбивала егона две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера).
б) Полноеодносвязное риманово пространство размерности /> кривизна/> которого для всехкасательных двухмерных плоскостей /> /> – ограничена />, т. е. /> гомеоморфно /> (теорема о сфере).
в) Односвязноезамкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии которого совпадают сгомологиями /> при /> (при /> – неизвестно). Если />, то оно также и гомеоморфно/>, при /> гипотеза остаётся, при /> диффеоморфизм не имеетместа.
Совершенноаналогично определяется сфера /> вметрическом пространстве />. Однакоэто множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или можетбыть пустым).
Внормированном пространстве /> с нормой/> сферой называется множество/>: это, по существу,произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, невсегда обладающая, например, гладкостью, округлостью и т. п. полезнымисвойствами обычной сферы. Один из вариантов, применяющихся в топологии, – текназываемая бесконечномерная сфера – строгий индуктивный предел /> последовательностивложенных сфер:
/>
другоеопределение: />, где /> – бесконечномерное многообразиеШтифеля. Для любого /> оказывается, что />.
Приложенияпонятия сфера чрезвычайно разнообразны. Например сферы участвуют в конструкцияхновых пространств или дополнительных структур на них. Так, например,проективные пространства />/> можно интерпретировать каксферу /> с отождествлённымидиаметрально противоположными точками; сфера с ручками и дырами используются втеории ручек.СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Буземан Г., Геометрия геодезических. – М., 1962.
2. Зорич В. А. Математический анализ. Ч.1. – М.: Наука,Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
3. Розенфельд Б. А., Многомерные пространства. М., 1966.
4. Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства. М., 1969.