/>МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИБЕЛАРУСЬ
Учреждениеобразования
«Гомельскийгосударственный университет
имениФранциска Скорины»
Математическийфакультет
Кафедрадифференциальных уравнений
Допущена кзащите
Зав. кафедрой
СТАРШИЙ ИВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Дипломнаяработа
Исполнитель:
студенткагруппы М-51 Абраменко Т. Ф.
Научныйруководитель:
доценткафедры дифференциальных
уравнений, к.ф.-м. н. Зверева Т.Е.
Рецензент:
доценткафедры ВМ и
программирования,к. ф.-м. н. Смородин В.С.
Гомель 2003
Содержание
/>
ВВЕДЕНИЕ
1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2 СООТНОШЕНИЕ />
3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
3.1 Старший и верхний центральный показатели длядиагональной системы с произвольными коэффициентами
3.2 Старший и верхний центральный показатели длядиагональной системы с постоянными коэффициентами
4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ />
4.1 Старший показатель некоторой линейной однороднойдиагональной системы
4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейнойоднородной диагональной системы
5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В данной дипломной работепроводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы,характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношениямежду старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то естьрассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равенверхнему центральному показателю.
В дипломной работепроводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы:вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы,старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой жесистемы, устанавливается соотношение /> Наконкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенныхсистем
/>
играет число />, а не />.
1. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕСВЕДЕНИЯ
Определение 1.1 [1, с.123]. Наибольший из частичныхпределов a функции /> при/> называется ее верхнимпределом:
/>.
Определение 1.2 [1, с.125]. Число (или символ /> или />), определяемое формулой
/>.
будем называтьхарактеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).
Для показательной функции/> , очевидно, имеем
/>.
Лемма 1.1 [1, с.132]. Характеристическийпоказатель конечномерной матрицы /> совпадаетс характеристическим показателем ее нормы, то есть
/>.
Для вектор-столбца
/>
будем использовать однуиз норм [1, с.20]:
/> = />/>; /> = />; /> = />.
Свойствахарактеристического показателя функции [1, с.126,128]:
1) />/> =/>/> ,/>/>;
2) />/> />.
Замечание 1.1 [1, с.130]. Если линейная комбинацияфункций
/>, />,
где /> постоянны, содержит лишьодну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то
/>/> = />.
Определение 1.3 [1, с.142]. Система ненулевыхвектор-функций
/> />
обладает свойствомнесжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейнойкомбинации
/>, />,
где /> постоянны, совпадает снаибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, тоесть для всякой комбинации yимеем
/>/> = />.
Определение 1.4 [1, с.137]. Множество всехсобственных характеристических показателей (то есть отличных от /> и />) решений дифференциальнойсистемы будем называть ее спектром.
Теорема 1.1 [1, с.143].Фундаментальная система линейной системы
/> />,/>
где /> и /> />─ спектр системы />, является нормальной тогдаи только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.
Замечание 1.2 [1, с.142]. Совокупностьвектор-функций с различными характеристическими показателями, очевидно,обладает свойством несжимаемости.
Следствие 1.1 [1, с.145]. Всякая нормальнаяфундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.
Определение1.5 [2, с.71]. Наибольший верхнийпоказатель
/>
системы
/>/>
будем называть старшимпоказателем.
Определение 1.6 [2, с.7]. Пусть />─ функция. Тогдаверхнее среднее значение функции /> есть:
/> = />/>.
Рассмотрим какое-либосемейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:
P = />,/>,
зависящие от параметра /> непрерывна в том смысле,что из /> следует />/> равномерно,по крайней мере, на каждом конечном отрезке />.
Определение 1.7 [ 2, с.103]. Ограниченная измеримаяфункция /> называется верхней или C-функцией для семейства P, если все функции этого семействаравномерно не превосходят в интегральном смысле функции />:
/>,
то есть, если
/>,
где />─ константа, общаядля всех /> и />, но, вообще говоря,зависящая от выбора /> и />.
Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всехверхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства P, и обозначим через
/>/>(P).
Определение 1.9 [2, с.103]. Число
/>
назовем верхнимцентральным или C-числом семействаP. Оно обозначается также через /> или />.
Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция />,что
/>
для всех />, то эта функция однаобразует верхний класс и C-числосовпадает с />:
/>.
Замечание 1.3 [2, с.102]. Для упрощения записивведем обозначение
/>
Определение 1.10 [2, с.115]. Центральное числосемейства P будемназывать центральным показателем системы
/>.
Определение 1.11 [2, с.106]. Разобьем полуось /> точками 0,T,2T,… на промежутки
/>.
Пусть
/>.
Найдем
/>.
Замечание 1.4 [2, с.106]. Число
/>
совпадает с /> и знак />можно заменить на /> , то есть
/>./>
Определение 1.12 [2, с.107]. Пусть /> ─ любая ограниченнаякусочно непрерывная функция, для которой
/> />.
Замечание 1.5 [2, с.107]. Такие функции существуют:достаточно положить /> на /> равной одной из техфункций/>, для которых достигаетсямаксимальное значение
/>.
Утверждение 1.2 [2, с.537]. Верхнее среднее значение любойограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции />, где /> произвольное, равно
/>.
Утверждение 1.3 [2, с.114]. Пусть
/> ,
/>─ ее решение и
P = /> ─
семейство кусочнонепрерывных и равномерно ограниченных функций, где
/>.
Тогда старший показательэтой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций /> семейства P, то есть
/> .
2. СООТНОШЕНИЕ />.
Рассмотрим какое-либосемейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:
P = />,/>,
зависящее от параметра /> непрерывно в том смысле,что из /> следует /> равномерно, по крайнеймере, на каждом конечном отрезке />.
Для доказательствасоотношения /> нам потребуется доказатьнесколько утверждений и следствий.
Утверждение 1.
Если семейство сужается,то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, тоесть из
P’/> P
следует
/>(P’)/>/>(P)
и
/>/>/>.
Доказательство.
Всякая верхняя функция /> для семейства P является верхней и для P’, так как P’/> P. Значит,
/>(P)/>(P’).
По определению 1.9
/>
/>/>.
Из того, что
/>(P)/>(P’)
следует
/>/>.
А значит,
/>/> .
Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2.
Если семейство P’ состоит из одной функции />/>,то есть P’=/>,то верхнее среднее значение функции />/> совпадает с верхнимцентральным числом семейства P’, то есть
/>
Доказательство.
Для доказательстваравенства
/>
докажем два неравенства:
1) />;
2) />.
1) Из определения 1.7 следует, что />/> являетсяверхней функцией, то есть
/> , />= 0;
итак,
/>(P’).
Следовательно, />.
2) Пусть />─любая верхняя функция семейства P’:
/>
для любой />(P’).
Тогда по определению 1.6
/>
/>.
Так как />─ любое, то
/>
для любой функции />(P).
Следовательно,
/>.
Тем самым утверждение 2доказано.
Следствие 1.(из утверждений 1 и 2)
Пусть P =/>─семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогдаесли семейство P’ состоит из одной функции />, тоесть P’=/> ,и P’/> P, то верхнее среднее значениефункции /> не превосходит верхнегоцентрального числа семейства P, то есть
/> .
Доказательство.
Так как P’/> P, то из утверждения 1 следует, что
/>(P’)/>/>(P)
и
/> />/> .
Так как P’ состоит из одной функции, то есть P’= />,то из утверждения 2 следует, что
/> />.
Следовательно,
/>/>,
то есть
/>.
Следствие 1 доказано.
Следствие 2.(из следствия 1)
Пусть P = />─семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций. Тогда
/>.
Доказательство.
Из следствия 1 вытекает,что для любого /> выполняется
/>.
Следовательно,
/>.
Следствие 2 доказано.
Воспользуемсядоказательством следствия 2 для доказательства следующего утверждения.
Утверждение 3.
Пусть /> ─
некоторая линейнаясистема дифференциальных уравнений и
P = />─
семейство кусочнонепрерывных и равномерно ограниченных функций, где
/>.
Тогда старший показательЛяпунова /> не превосходит верхнего центрального числа /> семейства P, то есть
/>.
Доказательство.
Так как />,
то
/>.
Выразим из последнегоравенства />:
/>/>, />/>.
Тогда из определения 1.2 следует,что
/>
/>[определение 1.6]/>,
то есть
/>.
Из этого следует, что
/>.
Так как по определению1.5
/>,
то
/>.
Тогда из следствия 2получаем, что
/>.
Так как по определению1.9
/>,
то />.
(утверждение 3 доказано)
3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
3.1 Старший и верхнийцентральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами
Исследуем случай, когдаматрица системы с произвольными коэффициентами является диагональной. Найдемдля нее /> и />.
Рассмотрим диагональнуюсистему
/> ,
где />─ вектор-функцияразмерности />. Она имеет матрицу Коши
/>,
то есть
/>,
с нормой
/>, где />.
По определению 1.2 найдемдля каждой функции /> еехарактеристический показатель Ляпунова, используя определение 1.6:
/>
/>.
Получаем, что
/>.
Из утверждения 1.3 иопределения 1.5 вытекает, что
/>,
так как матрицаконечномерная.
По определению 1.9
/>P/>,
где />(P).
3.2 Старший и верхнийцентральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами.Случай />.
Исследуем случай, когдаматрица системы с постоянными коэффициентами является диагональной. Найдем длянее /> и />.
Рассмотрим диагональнуюсистему
/>,
где />─ вектор-функцияразмерности />, />─ некоторые числа, />.
Она имеет матрицу Коши
/>,
то есть
/> ,
с нормой
/>.
Рассмотрим следующуюлемму.
Лемма*.
Пусть />─ некоторое число.Тогда
/>.
Доказательство.
По определению 1.6
/>.
Имеем, />. Что и требовалосьдоказать.
На основании предыдущегопункта заметим, что
/>.
Тогда />.
Теперь покажем, что />.
Пусть />.
Так как для любого />
/>,
то по определению 1.7
/>(P).
Тогда по определению 1.9и лемме*
/>/>.
Так как />выполняется всегда, то
/>.
Следовательно, длядиагональной системы с постоянными коэффициентами всегда
/>.
4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАРШЕГОИ ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ />.
4.1 Вычислениестаршего показателя системы.
Рассмотрим систему
/> (1)
Решим ее.
/>,
/> ,
получили уравнение сразделяющимися переменными.
/>,
/>,
/>,
/> .
Общее решение системы (1)имеет вид:
/>
Возьмем 1) />
2) />
тогда получим два решениясистемы:
/>./>
Составим матрицу решенийсистемы (1).
/>./>
Проверим ее нафундаментальность:
/>/>.
Следовательно [1, с.70],матрица /> фундаментальна.
Перейдем к вычислениюпоказателей решений />.
По определению [1, с.20]вычислим норму:
/> ;
/>.
По определению 1.2вычислим характеристические показатели, используя лемму 1.1:
/> , />.
/>/>/>/>
/>,
так как функции /> и /> ограниченные.
/>.
Проверим на несжимаемостьсистему вектор-функций />, используяопределение 1.3.
Составим линейнуюкомбинацию
/>, где />,
и рассмотрим три случая: 1)/>
2)/> />
3)/>
В первом случае
/>.
Во втором случае
/> .
В третьем случае
/>.
Найдем нормы />:
/> ;
/>/>;
/>.
Итак,
/>,
/>.
В силу определения 1.2:
/>
/>
/>.
Так как />/> ─ограниченная величина, то
/>
А значит, />.
/>;
/>
/>;
По определению 1.3следует, что характеристический показатель линейной комбинации /> совпадает с наибольшим изхарактеристических показателей комбинируемых решений, то есть
/>
/>/>
/>
А это означает, чтосистема (1) обладает свойством несжимаемости. Тогда по теореме 1.1 нашафундаментальная система нормальная. По следствию 1.1 вытекает, что /> реализует весь спектрлинейной системы. Значит, спектр системы состоит из одного числа: />.
По определению 1.5старший показатель системы (1) равен нулю, то есть
/>.
4.2 Вычислениеверхнего центрального показателя системы
По-прежнему рассматриваемсистему (1):
/>.
Применительно к нашейсистеме семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций P состоит из двух функций /> и/>, то есть
P/>,
где
/>
Для вычисления верхнегоцентрального показателя /> нампонадобится функция
/> .
Докажем, что функция /> является верхней длясемейства P.
Доказательство:
По определению 1.7 />─ верхняя функция длясемейства P, если
/> .
Докажем, что />.
/>.
Следовательно,
/>.
Докажем, что />.
/>
Следовательно,
/>,
то есть для любого />
/>
Тогда по определениюверхней функции
/>(P) .
Вычислим />.
По определению 1.6верхнего среднего значения функции
/> />
Для всякого /> найдется такое />, что
/> .
Тогда
/>.
Вычислим отдельно />.
/>/>
/>
/>
/>
Итак,
/>.
Оценим сверху />.
/>. (*)
Учитывая (*) и оценивая />сверху, получаем
/>
/>./>
Тогда (при />)
/>,
то есть />.
Оценивая />снизу, получаем
/>,
где />.
Тогда
/>,
то есть />.
Следовательно, />.
Теперь изобразим функции />, и /> на графике.
График функции />:
/>/>/>/>/>/>
График функции />:
/>/>/>
Очевидно, что на отрезках/> />,
а на отрезках /> /> для любого />.
Теперь покажем, чтоверхний центральный показатель /> совпадаетс />, то есть
/> .
Докажем следующимобразом:
1.Введем функцию />.
Разобьем ось /> на промежутки /> точками />
Используя определение1.12, положим
/>если />
Оценим />.
Возможны три случая:
1) если />, то />; значит,
/>.
2) если />, то />; значит,
/>.
2) если />, то />; значит,
/>.
Таким образом, />.
2.Докажем, что />.
Очевидно, что />─ функцияограниченная и
/>.
Отсюда следует, что
/>,
то есть
/>,
Так как
/>,
то
/>.
3.Докажем, что /> для любого />.
По определению 1.6вычислим />, используя утверждение1.2:
/>.
По определению 1.6вычислим />, используя утверждение1.2:
/>.
Теперь рассмотрим всевозможные случаи расположений отрезков /> поотношению к отрезкам /> и />.
I. Если />,где />, то
/>,
следовательно,
/>;
II. если />, где />, то
/>,
следовательно,
/>;
/>
III. если />,
то
/>;
IV. если />,
то
/>;
1) Для каждого /> найдется такое />, что выполняется
/>.
Тогда
/>;
2) Для каждого /> найдется такое />, что выполняется
/> .
Тогда
/>.
Из вышеперечисленныхслучаев 1) и 2) следует, что
/> , (**)
для любого /> такого, что
/> , />.
Учитывая неравенство(**), перейдем к непосредственному доказательству неравенства />:
/>
/>.
Теперь оценим выражение />.
Очевидно, выполняетсяследующее неравенство:
/> .
Перейдем к пределам:
/>,
/>.
Следовательно,
/>.
Значит,
/>,
то есть для любого /> />.
По определению 1.11
/>.
Таким образом,
/> для любого />.
По замечанию 1.4получаем, что
/>.
Следовательно,
/>.
Так как мы доказали, что />(P), то есть /> — верхняя функция длясемейства P, то,опираясь на определение 1.9, получаем, что
/>,
то есть
/>.
А значит,
/>.
Итак, в этом разделе былрассмотрен случай
/>.
5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВАВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
Р.Э. Виноград ввел[5]понятие верхнего центрального показателя /> системы
/>. (1)
Переход от невозмущеннойсистемы (1) к возмущенной системе
/>
сопровождается изменениемпоказателей. Верхний центральный показатель /> системы(1) и характеризует это изменение в определенном классе возмущений. Имеет местотеорема Р.Э. Винограда.
Теорема [2, с.164-166;3]. Длялюбого /> можно указать />, что при любых непрерывныхвозмущениях />,
/> ,
будут выполнятьсянеравенства
/>.
В.В. Миллионщиковымдоказано, что последняя оценка неулучшаема, а именно
Теорема [4]. Для любого /> найдется возмущение
/>Qe/>/>, ||Qe/>||/>,
такое, что система
/>Qe/>
имеет решение />, для которой
/>.
Значит, для рассмотреннойв дипломной работе системы наиболее быстро растущими решениями «руководит»показатель />, а не показатель />.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной дипломной работерассматриваются соотношения между старшим/>иверхним центральным/>показателямилинейной системы
/>
с кусочно непрерывнымиограниченными коэффициентами.
Показано, что существуетдва различных случая отношений между старшим /> иверхним центральным />показателямилинейных систем: />. На примерезаданной линейной однородной диагональной системы дифференциальных уравненийподробно рассмотрены вычисления характеристического показателя Ляпунова,спектра, старшего и верхнего центрального показателей.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХИСТОЧНИКОВ
1. Б.П. Демидович, Лекции по математическойтеории устойчивости.-
Москва, «Наука», 1967г.
2. Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В.Немыцкий, Теория
показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.-Москва, «Наука», 1966г.
3. Р.Э. Виноград, Оценка скачка старшегохарактеристического
показателя при малых возмущениях.-Докл. АН СССР,1957г., т.114, №3, с.459-461.
4. В.М. Миллионщиков, Доказательство достижимостицентральных показателей линейных систем.- Сиб. мат.ж., 1969г., т.10, №1,с.99-104.
5. Р.Э. Виноград, О центральномхарактеристическом показателе системы дифференциальных уравнений.- Матем.сб.,1957г., т.42(84), С.207-222.