к/р № 1
1. Решить матричныеуравнения и сделать проверку.
/>
Решение:
/>
/>
/>
Найдём обратную матрицу />.
Обратной для матрицы А есть матрица />, где /> - определительматрицы А, а элементы матрицы A* являются алгебраическимидополнениями соответствующих элементов матрицы А.
Тогда:
/>.
Найдем элементы матрицы А*:
/> /> />
/> /> />
/> /> />
Тогда:
/> и для Х получим следующеевыражение:
/>
/>
Выполним проверку:
/>
/>
/>
/> - верное равенство.
Ответ: />.
2. Даны координаты точек А, В, С.Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиантреугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найтиуравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС. Вариант
А
В
С
19 (-3;1) (-1;-3) (1;3)
Решение:
Уравнение прямой, проходящей черездве точки можно записать как />.
Тогда:
— уравнение стороны АВ: />
— уравнение стороны АС: />
— уравнение стороны ВС: />
Найдем уравнение медианыВМ, проведенной к стороне АС. Точка М – середина отрезка АС, следовательнокоординаты /> или/>
— уравнение медианы ВМ: />
Найдём уравнение высоты АH, проведенной к стороне ВС. Уравнениестороны ВС /> скоэффициентом пропорциональности />. Коэффициент пропорциональностиперпендикулярной прямой будет /> и тогда уравнение высотыпринимает вид />, где К – некая константа,значение которой найдем исходя из условия принадлежности точки А(-3; 1)уравнению высоты AH: />
— уравнение высоты АН: />
Будем искать уравнение биссектрисыугла С.
Прямые АС: /> и ВС: /> наклонены под острым углом к осиабсцисс (коэффициенты пропорциональности положительны), тогда угол междупрямыми АС и ВС будет равен />, где /> угол между прямыми ВС и АС и осьюОХ соответственно.
По формуле тангенса разностиполучаем, что
/>
Половина угла С будет />
Тангенс угла наклона биссектрисы коси ОХ тогда составит:
/>
Уравнение биссектрисы примет вид: />, где К некаяконстанта, значение которой определим из условия принадлежности точки С(1; 3)биссектрисе, т.е.
/>
Уравнение биссектрисы CL принимает вид />
Для нахождения площадитреугольника АВС воспользуемся формулой:
/>.
Тогда:
/> кв.ед.
Выполним чертеж:
/>
Ответ: АВ: /> АС: /> ВС: /> - стороны треугольника
ВМ: /> - медиана треугольника; АН:/> - высотатреугольника;
СL: — биссектриса треугольника; S = 10 кв.ед.
3. Даны координаты точек А1 ,A2, А3 ,A4
Найти длину ребра А1А2.Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3.Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3.Найти площадь треугольника А1A2A3.Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4N Координаты точек Вар
A1
A2
A3
A4 2.19 (8;6;4) (10;5;5) (5;6;8) (8;10;7)
Решение:
Воспользуемсяформулой для вычисления расстояние между двумя точками:
/>
Нашиточки А1(8; 6; 4) и A2(10; 5; 5):
/> ед.
Длина ребра А1А2 равна /> ед.
Составим уравнение прямойпроходящей через точки А1(8; 6; 4) и A4(8; 10; 7).
Для этоговоспользуемсяуравнением:/>
/>, т.е. А1А4:/>.
Найдемуравнение плоскости, проходящей через точки А1(8; 6; 4), A2(10;5; 5), А3(5; 6; 8).
Воспользуемсяформулой: />
Подставимданные:
/> или />
Т.е. уравнение грани А1А2А3:/> или/>
Искомая высота проходит через точку A4(8;10; 7)иперпендикулярна плоскости />, имеющей вектор нормали />.
Направляющий векторвысоты совпадает с вектором нормали плоскости, к которой проведена высота,следовательно, т.к. каноническое уравнение прямой />, то /> уравнение искомой высоты.
Площадь треугольника А1А2А3можно найти по формуле: />, где /> - векторное произведение двухвекторов
/> и />.
/>
/>кв.ед.
Объем пирамиды можно найти поформуле: />,где /> -смешанное произведение трех векторов />, /> и />
/>
Тогда /> куб.ед.
Ответ:
/>ед.; А1А4: />; А1А2А3:/>
h: />; />кв.ед.; />куб.ед.
4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицыА.
/>;
Решение:
Найдем характеристическоеуравнение матрицы А – определитель матрицы А -/>Е, где Е –единичная матрица, /> – независимая переменная.
А –/>Е = /> – />/>= />.
/>
Найдем теперь собственныечисла матрицы А – корни характеристического уравнения />. Получаем:
Получаем:
/>, />, />.
Далее найдем собственныевекторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.
Пусть Х = /> – искомыйсобственный вектор.
Тогда система однородныхуравнений (А -/>Е) = выглядит так:
/> или />
Эта однородная системалинейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.
При /> система принимает вид:
/>
Общее решение этойсистемы />,где /> любоечисло.
В качестве собственноговектора достаточно взять любое частное решение.
Пусть, например, />, тогдасобственный вектор, соответствующий собственному числу />, имеет вид: />.
При /> система принимает вид:
/>
Общее решение этойсистемы />,где /> любоечисло.
Пусть, например, />, тогдасобственный вектор, соответствующий собственному числу />, имеет вид: />.
Аналогично при /> получаемсистему
/>
общее решение которой />, где /> любое число.
Пусть />, тогда собственныйвектор, соответствующий собственному числу />, имеет вид: />.
Ответ: /> />, /> />, /> />.
5. Решить систему методом Жорданa — Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделатьпроверку общего решения.
/>
Решение:
Преобразуем расширенную матрицусистемы к диагональному виду:
/>
/>
/>
откуда получаем следующую систему
/> и
/> - общее решение исходной системыуравнений.
Частные решения получим присвоивконкретные значения переменной х4:
/> тогда: />, т.е. решением будет вектор (0;-4; 0; -1)
/> тогда: />, т.е. решением будет вектор (0; 3;-1; 2).
Выполним проверку общего решения:
/>
/> — верные равенства.
Ответ: />; (0; -4; 0; -1); (0;3; -1; 2).
к/р № 2
1. Найти следующиепределы.
а) /> б) />
Решение:
а) /> - неопределенность сбесконечностью. Раскроем скобки, приведем подобные и разделим числитель изнаменатель дроби на максимальную степень х. Получим:
/>
/>
б) /> - неопределенность />. Избавимся отобнуляющего множителя, для этого числитель разложим на множители, а кзнаменателю применим эквивалентную бесконечно малую: при /> />. Получим:
/>
Ответ: а) 3; б) -2,5.
2. Найти производныефункций, заданных в явном и неявном виде.
а) /> б) />
Решение:
а) Перепишем функцию/>в виде экспоненты: />
/>
/>
/>
б) /> - продифференцируем обе частиравенства по х.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Ответ: решение выше.
3. Исследоватьфункцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.
/>
Решение:
1) Область определения функции: />.
2) Четность, периодичность: />, т.е. функциянечетная (симметричная относительно начала координат), не периодическая.
3) Пересечение с осями:
с осью ОY: х = 0 – не принадлежитобласти определения.
с осью OX: y = 0 /> - решения нет, точекпересечения с осью ОХ нет.
4) Асимптоты и поведение набесконечности:
/>
Наклонные асимптоты: y = kx + b, где /> b = />
/>
/>
т.е. существует наклонная асимптота y= 3х.
5) Поведение возле точки разрыва:
Наша точка разрыва x = 0.
/>
/>
6) Критические точки:
Найдем производную функции y и решимуравнение y´ = 0.
/>
/>/>
/>
/> />
т.е. точка: (-1; -4) – точка максимумаи (1; 4) — точка минимума.
7) Точки перегиба:
Найдем вторую производную функции y ирешим уравнение y´´ = 0.
/>, значит />/> - нет решений.
При x > 0 функция выпуклая, при x
8) Построим график функции:
/>
4. Найти /> /> /> /> /> /> /> />
градиент функции Z в точке М.
уравнениематрица функция вектор дифференциальный
/>
Решение:
Градиентом функции z в точке М является вектор grad (z) = />
/>
/>
/>
/>
Т.е. grad(z) = />.
Ответ: grad (z) = />.
5. Вычислитьнеопределенные интегралы.
а) /> б) /> с) />.
Решение:
а) />
/>
Рассмотрим интеграл />:
/>
Тогда />
б) Воспользуемся формулойинтегрирования по частям: />
/>
с) Разложимподинтегральное выражение на простые дроби:
/>
/>, т.е.
/>
Тогда:
/>
Ответ: решения выше.
6. Вычислить объемтела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг осиOY
/>
Решение:
Построим в координатной плоскостизаданную фигуру.
/>
Объем тела, полученного вращениемплоской фигуры около оси ОХ найдем по формуле:
/>
В нашем случае получаем:
/> куб.ед.
Ответ: /> куб.ед.
7.
А) Найти общее решение дифференциального уравнения.
Б) Найти решение задачи Коши
В) Найти общее решение дифференциального уравнения.
а) />; б) />; />; в) />.
Решение:
а) /> - уравнение с разделяющимисяпеременными.
/>
/>
Возьмем интегралы:
/>
/>
/>
Такимобразом
/> - общеерешение уравнения, где С – произвольная константа.
б) /> - уравнениеБернулли.
Решим его, выполнив замену />. Тогда /> и исходноеуравнение примет вид: /> - линейное неоднородное уравнениепервого порядка. Будем искать его решение в виде />, тогда /> и
/> />
Функцию u будем искать такую, что />, т.е.
/>
Тогда: />
В итоге /> и подставляя /> получаем /> - общеерешение уравнения.
Найдём решение задачи Коши для />:
/>
Искомое решение />.
в) /> - неоднородноеуравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его решение представляет собой сумму />, где /> - общеерешение однородного уравнения, /> - частное решение неоднородногоуравнения, зависящее от /> и вида правой части неоднородногоуравнения.
Решением уравнения вида /> будет />, где /> - корнихарактеристического уравнения />.
Запишем характеристическое уравнениедля />:
/> и найдем его корни: />
Тогда решение уравнения имеет вид: />, где С1и С2 – произвольные константы.
/> будем искать в виде />
Тогда:
/> /> и подставляя в уравнение /> получаем:
/>
откуда, приравнивая коэффициенты присоответствующих степенях х, получаем:
/>,
т.е. />
Общее решение неоднородного уравненияесть
/>
Ответ: а) />;
б) />;
с) />.
8.
а) Исследовать сходимость ряда.
б) Определить область сходимостиряда.
а) /> б) />.
Решение:
а) /> - рассмотрим ряд изабсолютных величин />.
Поскольку />, то />.
Ряд /> сходится как обобщенныйгармонический ряд степени р = 2 >1, следовательно и меньший ряд /> такжесходится.
Исходный ряд /> сходитсяабсолютно.
б) Для степенного ряда вида />интерваломсходимости будет интервал (x0– R; x0+ R), где /> - радиус сходимости степенногоряда.
Для нашего ряда /> получим: x0= 2 и общий член />.
Тогда: />
Получили интервал сходимости (2 – 2;2 + 2) или (0; 4).
Рассмотрим концыинтервала.
х = 4: /> - расходящийсягармонический ряд.
х = 0: /> - условно сходящийсяряд Лейбница.
Ответ: а) сходится абсолютно; б) [0;4).