СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
1. Основні поняття і теореми
Постановказадачі. Потрібно знайти значення х1, х2, …, хn, щозадовольняють таким співвідношенням: />.
Тут aij(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) і bk (k= 1, 2, …, m) – задані числа.
При цьому: />; />; />.
МатрицяА називається головною матрицею системи, вектор b –вектором-стовпцем правих частин, вектор x – вектором-стовпцемневідомих.
Використовуючиці позначки, можна систему записати в матричній формі: Ах = b.
Якщо b1= b2 = ¼ = bm = 0, то система рівняньназивається однорідною. Якщо хоча б одне з bk (k = 1, 2, ¼, m)відмінне від нуля, то система називається неоднорідною.
/>.
Матриця/> називаєтьсярозширеною матрицею системи.
Якщосистема має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною.
Прицьому система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною, а більшеодного розв’язку – невизначеною.
Якщосистема не має розв’язків, то вона називається несумісною.
Прирозв’язуванні систем лінійних рівнянь має бути знайдена відповідь на тризапитання:
А. Чисумісна система?
В. Чивизначена система?
С. Якзнайти розв’язок (чи розв’язки) системи, якщо вони існують?
ПравилоКрамера. Якщо неоднорідна система рівнянь невироджена (detА ¹ 0), то системавизначена, тобто має єдиний розв’язок, і його можна знайти за формуламиКрамера: /> (k= 1, 2, …, n) де Dk – визначникматриці, яку можна одержати, якщо в матриці А системи k-йстовпець замінити на стовпець вільних членів.
Рангматриці. З розв’язуванням систем рівнянь безпосередньо пов'язане поняттярангу матриці.Ранг матриці – це найвищий порядок її мінора, відмінноговід нуля.
Для того щоб знайти ранг матриці, важливо орієнтуватися втому, які перетворення з матрицею можна робити, не змінюючи при цьому її ранг:
1) транспонування;
2) перестановкадвох рядків (стовпців);
3) множеннявсіх елементів рядка (або стовпця) на число a ¹ 0;
4) додаваннядо всіх елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка(стовпця);
5) вилученнянульового рядка (стовпця);
6) викресленнярядка (стовпця), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців).
Одноріднісистеми. Розглядається однорідна система лінійних рівнянь з nневідомими: Ах = 0.
ЯкщоrangА = n (detА ¹ 0), то системавизначена і має тільки тривіальний розв’язок: x1 = x2 = … = xn= 0.
Якщо rangА n (detА = 0), тосистема має не тільки тривіальні розв’язки. При цьому всі розв’язки однорідноїсистеми рівнянь утворюють лінійний простір L і dimL = n –rangА.
Щоб знайти базис простору розв’язків однорідної системирівнянь, треба:
1.Знайтибазисний мінор матриці А.
2.Якщорядок не входить до базисного мінора, то рівняння, яке йому відповідає, єлінійною комбінацією інших рівнянь, і його можна не брати до уваги.
3.Якщостовпець не входить у базисний мінор, то невідома з відповідним номером призначаєтьсявільною. Усього знайдеться (n – rang A) вільних невідомих.
4.Нехайвільні невідомі хr+1, хr+2, …, хn. Якщо дати вільнимневідомим довільні значення, то одержимо неоднорідну систему рівнянь відносно хr+1,хr+2, …, хn ,у якої визначник не дорівнює нулю, і, отже, система має єдиний розв’язок.
5.Дамовільним невідомим значення (1, 0, 0, 0, …, 0), потім (0, 1, 0, 0, …, 0) і т. д.Розв’язуючи системи, що утворюють, одержимо відповідно вектори />. Ці вектори й утворюютьбазис простору L розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь.
6.Загальнийрозв’язок лінійної системи однорідних рівнянь у цьому випадку є лінійноюкомбінацією базисних векторів:
/>.
Неоднорідні системи. Теорема Кронекера – Капеллі: система неоднорідних лінійнихрівнянь Ах = b сумісна тоді і тільки тоді, коли rangА =rang/>.
При цьому якщо rangА = rang/>= n, то система має єдинийрозв’язок і він може бути знайдений за правилом Крамера.
Якщо rangА = rang/>n, то система має нескінченно багаторозв’язків, які утворюють лінійний многовид. При цьому підпростір зсуву – цепростір L розв’язків однорідної системи рівнянь, і його базис можнапобудувати способом, який було розглянуто вище. Вектор зсуву – це частиннийрозв’язок неоднорідної системи рівнянь. і він може бути знайдений, якщо внеоднорідній системі вільні невідомі покласти рівними деяким довільнимзначенням (наприклад, нульовим).
Загальний розв’язок неоднорідної системи – це загальнийрозв’язок відповідної однорідної системи плюс деякий частинний розв’язокнеоднорідної системи. Останнє твердження можна записати через абревіатуривідповідних термінів: З.Р.Н.С. = З.Р.О.С. + Ч.Р.Н.С.
Обернена матриця. Запишемо систему в матричному вигляді Ах = b.Якщо detА ¹ 0 (така матриця Аназивається невиродженою), то для матриці А існує матриця А–1така, що А–1А = АА–1 = Е.Така матрицяназивається оберненою до матриці А, і розв’язок системи можназаписати за допомогою оберненої матриці у вигляді: А–1Ах = А–1bÞ х = А–1b.
Таким чином, у випадку існування оберненої матриці А–1розв’язок системи має вигляд: х = А–1b.
Як же знайти обернену матрицю А–1 до невиродженоїматриці А?
I спосіб.
1) Складемо матрицю Аikз алгебраїчних доповнень до елементів аik матриці А;
2) транспонуємо матрицю залгебраїчних доповнень;
3) кожен елемент матриці, щоутворилась, ділимо на detА.
В результаті маємо обернену матрицю – А-1.
II спосіб.
1) Запишемо матрицю А, аправоруч від неї, через вертикальну риску, –одиничну матрицю Е. Одержимоматрицю яка має n рядків та 2n стовпців;
2) у матриці, що утворилась, задопомогою застосування до рядків (і тільки до рядків) перетворень, що незмінюють ранг матриці, утворимо на місці матриці А одиничну матрицю.
На місці одиничної матриці тепер стоїть А–1.
III спосіб. Праворучвід матриці припишемо одиничну матрицю Е, а знизу припишемо матрицю (–Е).У правому нижньому куті поставимо нульову матрицю. Використовуючи операціїтільки над рядками матриці, що утворилась, на місці матриці (–Е)утворимо нульову матрицю. Тоді у правому нижньому куті буде стояти А–1.
IV спосіб. Дляобернення матриці, що має блокову структуру, тобто матриці вигляду: />, де А –квадратна матриця порядку n ´ n, а D – квадратна матриця q ´ q, справедливі дві формули Фробеніуса:
1.Перша формулаФробеніуса (якщо detА ¹0):
/>, де H = D – CA–1B.
2.Друга формулаФробеніуса (якщо detD ¹0):
/>, де K = A – BD–1C.
2. Контрольні питання і завдання
1. Що таке рангматриці і її базисний мінор? Чи визначаються вони однозначно?
1.2. Знайти ранг і всібазисні мінори матриці: />.
1.3. Як пов'язані рангматриці і вимірність лінійної оболонки її рядків.
1.4. Чому дорівнюєвимірність простору розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь, якщо всистемі 10 рівнянь, 16 невідомих і ранг матриці системи дорівнює 6?
1.5. Чи утворює множинарозв’язків неоднорідної системи лінійний простір? Яка з властивостей лінійногопростору не виконується?
1.6. Згадайтевизначення лінійного многовиду. Що називається його базисом і вимірністю?
1.7. Як визначаєтьсявектор зсуву для лінійного многовиду, що є множиною розв’язків неоднорідноїсистеми?
3. Приклади розв’язування задач
Задача 1. Знайтиранг матриці />.
Розв’язання. Насампередвідзначимо, що четвертий рядок матриці є сумою другого і третього рядків і томупри вилученні цього рядка ранг матриці не зміниться.
1.Відкинемочетвертий рядок.
2.Здругого і третього рядків матриці віднімемо перший рядок, помножений,відповідно, на 2 та 3.
3.Вотриманій матриці з третього рядка віднімемо другий, помножений на 2.
Одержимо ланцюжок перетворень:
лінійний рівняння матриця
/>.
У матриці, що утворилась, мінор, який стоїть в перших трьохстовпцях, не дорівнює нулю. Отже, ранг вихідної матриці дорівнює 3 і мінор 3-гопорядку, що стоїть в перших трьох стовпцях, є базисним мінором матриці А.
Задача 2.Знайти матрицю, яка є оберненою до матриці
/>.
Розв’язання. Знайдемообернену матрицю за визначенням. Нехай обернена матриця має вигляд: />. Тоді, за визначенням,
АА–1 = Е,тобто />.
Знаходячи добуток матриць, одержимо рівності:
/>.
Із цих співвідношень одержуємо: g = 0, d = 0,a = 1; далі: h = 0, e =1, b = –3. І нарешті: m= 1, f = –2, c = 11. У підсумку дійдемо висновку, що:
/>.
Задача 3.Знайти матрицю, яка є оберненою до матриці />.
Розв’язання.Побудуємо матрицю 6 ´ 6, дописавшиправоруч від А одиничну матрицю Е, внизу матрицю (– Е), аінші місця заповнимо нулями.
/>.
За допомогою операцій над рядками матриці А¢ утворимо на місці (–Е) нульову матрицю.Тоді в правому нижньому куті буде стояти матриця А–1.
1.До всіхрядків матриці А¢ додамотретій рядок з деяким множником, домагаючись того, щоб всі елементи першогостовпця, крім а31, дорівнювали нулю.
2.Першийрядок отриманої матриці поділимо на (–3) і, додаючи до інших рядків матриціотриманий перший рядок з деякими множниками, досягаємо того, щоб у другомустовпці стояли нулі, крім елемента а12.
3.Задопомогою другого рядка утворимо нулі в третьому стовпці, крім елемента а23.
Одержимо ланцюжок перетворень:
/>/>
Звідси укладаємо, що />.
Задача 4.Знайти матрицю, яка є оберненою до />.
Розв’язання.Для обернення матриці застосуємо першу формулу Фробеніуса. Позначимо: />, />, />, />.
Знаходимо послідовно:
/>;
/>;
/>;
/>.
І тоді />. Привабливість зазначеногоспособу полягає в тому, що для обернення матриці 4-го порядку ми маємо справу зоберненням матриць лише 2-го порядку, що істотно простіше.
Задача 5. Задопомогою правила Крамера розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь: />.
Розв’язання. Головнаматриця системи має вигляд: />.
Розв’язок системи може бути знайдений за правилом Крамера,тому що detА = D = 18 ¹ 0. Для цього побудуємо визначники Dх, Dу, Dz, яківідрізняються від головного визначника тим, що в ньому стовпець коефіцієнтівпри, відповідно, х, у та z замінено на стовпець вільнихчленів, тобто:
/>.
Обчислюючи їх, знаходимо, що Dх =18, Dу =36, Dz =54.
Отже />.
Задача 6.Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь:
/>
Розв’язання.Насамперед відзначимо, що система напевне сумісна, оскільки однорідна системазавжди має щонайменше нульовий розв’язок.
Почнемо пошук загального розв’язку даної системи. Головнаматриця системи має вигляд: />.
Знайдемо ранг матриці А. Перший рядок матриці звідповідними множниками додамо до інших рядків матриці так, щоб елементипершого стовпця обернулися на нуль, крім елемента а11. Вийде матриця А1така, що
rangА1 = rangА і />.
Відзначаючи, що третій і четвертий рядки матриціпропорційні другому рядку, укладаємо, що rangА1 = rangА2, де />. Помножимодругий рядок матриці А2 на (–2) і додамо до першого рядка. Одержимо матрицюА3: />,таку, що rangА3 = rangА2 = 2. У підсумку rangА = rangА3= 2.
Тоді вийшла система двох рівнянь, з яких можна написати:
х1 = 14х3– 7х4 + 3х5 – х6, х2 = –7х3 + 2х4 – х5– 2х6 і змінні х3, х4, х5, х6 – будь-які. Цеі є розв’язок системи.
Однак можна (і необхідно) піти далі. Множина розв’язків лінійноїоднорідної системи утворює лінійний простір L вимірності dimL = n– rangА = 6 – 2 = 4. Для знаходження базисних векторів просторурозв’язків надамо вільним невідомим х3, х4, х5, х6значення: а) 1, 0, 0, 0; б) 0, 1, 0, 0; в) 0, 0, 1, 0; г) 0, 0, 0, 1. Одержимочотири вектори, що утворять базис L: е1 = (14, –7, 1, 0, 0, 0); е2= (–7, 2, 0, 1, 0, 0); е3 = (3, –1, 0, 0, 1, 0); е4 = (–1, –2, 0,0, 0, 1). У такий спосіб L = ℒ(е1, е2, е3, е4), і будь-якийрозв’язок вихідної системи може бути записаний у вигляді лінійної комбінаціїбазисних векторів, тобто у вигляді: с1(14, –7, 1, 0, 0, 0) + с2(–7,2, 0, 1, 0, 0) + с3(3, –1, 0, 0, 1, 0) + с4(–1, –2, 0, 0, 0, 1),де с1, с2, с3, с4 – будь-які значення. Це і єзагальний розв’язок вихідної лінійної однорідної системи рівнянь.
Задача 7.Розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь
/>
Розв’язання.Розширена матриця системи рівнянь має вигляд: />, причому до вертикальної рискизаписана головна матриця системи, а після вертикальної риски – стовпець вільнихчленів. Перетворюючи матрицю /> аналогічно до того, якперетворювалася матриця А в розв’язку попередньої задачі, одержимоматрицю А таку, що rang/>= rangА = 2 і />. Звідси можназаписати загальний розв’язок системи у вигляді: х1 = 1 + 14х3 – 7х4– 3х5, х2 = 2 – 7х3 + 2х4 – х5, де х3,х4, х5 – будь-які.
Це і є загальний розв’язок вихідної системи лінійнихрівнянь. Однак з метою прояснення алгебраїчної структури розв’язку системивідзначимо таке:
Враховуючи, що rang/>= rang A = 2 n= 5, можемо зазначити, що множина розв’язків системи являє собою лінійниймноговид. Вектором зсуву цього лінійного многовиду є частинний розв’язокнеоднорідної системи рівнянь, для знаходження якого дамо вільним невідомим х3,х4, х5 довільні значення (наприклад нулі) і одержимо: f =(1, 2, 0, 0, 0). Підпростором зсуву є простір розв’язків однорідної системи зматрицеюА2, яка збігається з головною матрицею вихідної системинеоднорідних рівнянь
/> .
Звідси х1 = 14х3 – 7х4 – 3х5, х2= – 7х3 + 2х4 – х5, де х3, х4, х5 –будь-які. Даючи вільним змінним х3, х4, х5 значення: а) 1,0, 0; б) 0,1,0; в) 0, 0, 1; одержимо, відповідно, базисні вектори простору Lрозв’язків однорідної системи рівнянь:е1 = (14, –7, 1, 0, 0), е2 = (–7, 2, 0, 1, 0), е3= (–3, –1, 0, 0, 1).
Отже, розв’язки вихідної системи утворюють лінійниймноговид М:
M = {x ½x = f+ c1e1 + c2e2 + c3e3}, де c1, c2,c3 – будь-які,