Задача 1 (5)
Производится контроль партии из 4 изделий. Вероятностьизделия быть неисправным равна 0,1. Контроль прекращается при обнаружениипервого неисправного изделия. Х – число обследованных приборов. Найти: а) рядраспределения Х б)функцию распределения F(X), в ответ ввести F(3.5). в) m(x) г) d(x) д) p(1.5
Решение
Пусть событие А – состоит в том, что изделие исправно, исоответственно /> — неисправно. Поусловию, вероятность />, значит p(A)=1-/>.Случайная величина Х – число обследованных приборов – может принимать значения0(если первый же прибор неисправен),1,2,3,4.
Найдем соответствующие вероятности:
/>
Составим ряд распределения Х:Х 1 2 3 4 р 0,1 0,09 0,081 0,0729 0,6561
Х – дискретная случайная величина. Найдем функциюраспределения F(x)=P(X/>
/>
Значение F(3.5)=0.34391
Математическое ожидание дискретной случайной величины />
/>
/>
Дисперсия />
/>
Вероятность />
Задача 2(2). События А и В независимы. Вероятностьнаступления хотя бы одного из них равна 0,94. Найти Р(А), если Р(В)=0,7. Ответзаписать в виде десятичной дроби.
Решение.
Вероятность наступления суммы событийР(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Но так как события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Имеем Р(А+В)=0,94 (наступает событие А или событие В илиоба); Р(В)=0,7
0,94=Р(А)+0,7- Р(А)/>
0,3Р(А)=0,94-0,7=0,24
Р(А)=/> -вероятность наступления А.
Задача 3(6). Дана плотность распределения случайнойвеличины Х:
/>
Найти а)константу А б)функцию распределения F(x), в ответ ввести F(0); F(0.5) в) m(x) г)d(x)
д) P(0
Решение.
Константу А найдем из условия для р(х) :/>
Имеем />
/> Отсюда />.
Функция распределения непрерывнойслучайной величины />
Для /> p(x)=0, F(x)=0
Для -/>
Для />
/>
Математическое ожидание непрерывной случайной величины />
Имеем />
/>
Дисперсия непрерывной случайной величины />
Имеем/>
/>
Вероятность/>
Задача 4(2). Дана плотность распределениявероятностей системы (X,Y).
/>
Найти а)константу С; б)р1(х), р2(у); в) mx;г)my; д)Dx; е)Dy;ж)cov(X,Y); з)rxy; и)F(-1,5);к) M(X|Y=1)
Решение. Плотность системыслучайных величин должна удовлетворять условию:
/>
Внашем случае />; />; />; />
/>
/>/> Y
/>/> B 4
-3 A 0 X
б) Плотности р1(х), р2(у):
/>
/>
в) Математические ожидания:
/> />
г) Дисперсии:
/> />/>/>ж) Ковариация
/>/>з) Коэффициент корреляции
/>/>
и) Значение F(-1,5)
Функция распределения системы случайных величин
/>. (1)
/> (-1,5) Y
/>/>/>/> 5
B
/>/> D4 4
D1 D0
/>/> A X
/> -3 -1 O
D2 D3
В областях D1,D2,D3,D4 которые не пересекаются стреугольником АВО значениеP(x,y)=0
Вычисляя F(-1,5) представим двойнойинтеграл в виде суммы интегралов:
/>
/>
к) Математическое ожидание M(x|y=1)
/>