Федеральное агентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образованияСанкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова
(технический университет)
А.П. Господариков, Г.А. Колтон,С.А. Хачатрян
Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционноеисчисление
Учебно-методическое пособие
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2005
УДК 512 + 517.2 (075.80)
ББК 22.161.5
Г723
Учебно-методическое пособие дает возможностьполучить практические навыки анализа функций с помощью разложения в ряд Фурьеили представления интегралом Фурье и предназначено для самостоятельной работыстудентов дневной и заочной форм обучения специальностей.
В пособии рассмотрены основные вопросыоперационного исчисления и широкий класс технических задач с применением основоперационного исчисления.
Научныйредактор проф. А.П. Господариков
Рецензенты:кафедра высшей математики № 1 Санкт-Петербургского государственногоэлектротехнического университета; доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков(Санкт-Петербургский государственный политехнический университет).
ГосподариковА.П.
Г723. РядыФурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Учебно-методическое пособие /А.П. Господариков,Г.А. Колтон,С.А. Хачатрян;Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет).СПб, 2005. 102 с.
ISBN5-94211-104-9
УДК 512 +517.2 (075.80)
ББК22.161.5
Введение
Из теорииФурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические идругие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала,отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (ихназывают собственными) система реагирует наиболее простым образом. Еслипроизвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, асистема линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть суммареакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можнополучить по «кирпичикам» – откликам системы на собственные входные сигналы. Такпоступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристикусистемы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных вовремени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальнымиуравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственнымифункциями являются гармоники вида />. Таким образом можно получить и результатпроизвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виделинейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интегралаФурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникаетпотребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) илиинтеграла Фурье.
Глава 1. Ряды Фурье
§ 1.Векторные пространства
Здесьприведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшегопонимания основных положений теории рядов Фурье.
Рассмотриммножество W геометрических векторов (векторное пространство), для которогообычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложениеи вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярногоумножения векторов.
Введем впространстве W ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональныхвекторов />,/> и />. Произвольныйвектор /> являетсялинейной комбинацией векторов базиса:
/>. (1.1)
Коэффициенты li (i = 1, 2, 3),называемые координатами вектора /> относительно базиса />, могут бытьопределены следующим образом. Скалярное произведение вектора /> и одного из векторовбазиса />
/>.
В силуортогональности базиса скалярные произведения /> при />, следовательно, в правой частипоследнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее />, поэтому />, откуда
/>, (1.2)
где />.
Если векторы /> и /> заданы своимикоординатами /> и />, то их скалярное произведение
/>.
Так как при />скалярноепроизведение />, то в двойной сумме отличны отнуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому
/>. (1.3)
В частностипри /> из(1.3) следует
/>. (1.4)
§ 2.Скалярное произведение и норма функций
Обозначимсимволом /> множествофункций, кусочно-непрерывных на промежутке [a, b], т.е.функций, имеющих на промежутке [a, b] конечное число точекразрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка.
Скалярнымпроизведением функций /> называется число
/>.
Свойстваскалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярногопроизведения векторов:
1. />.
2. />.
3. />.
4. />; />.
Такимобразом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Этосвойство называется билинейностью скалярного произведения.
Функции/> называютсяортогональными/> на [a, b], если/>.
Нормойфункции /> напромежутке[a,b] называется неотрицательное число />, квадраткоторого равен скалярному произведению функции /> на себя:
/>.
Свойстванормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора:
1. />.
2. Еслифункция /> непрерывнана [a, b] и />, то />. Так как />, то при />
/>,
откуда />.Дифференцируя последнее соотно- шение по /> и применяя теорему Барроу,получим /> и,сле-довательно, />.
3. теоремакосинусов
/>. />/>/> />/>.
Следствие. Если />, то /> (теорема Пифагора).
4. Обобщеннаятеорема Пифагора. Если функции />(k = = 1, 2, …, n)попарно ортогональны на промежутке />, то
/>.
Используясвойство билинейности скалярного произведения, получим
/>.
В силуортогональности функций /> скалярные произведения /> при />, поэтому
/>.
5. неравенствоКоши – Буняковского />, или, что то же самое,
/>.
При любыхвещественных />
/>.
Такимобразом, квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства сохраняетзнак на всей вещественной оси, следовательно, его дискриминант />.
Упражнение 1.Доказать свойства скалярного произведения функций 1-3.
Упражнение 2.Показать справедливость следующих утверждений:
а) функция /> ортогональнафункциям /> и/> напромежутке /> прилюбых целых k и m;
б) при любыхцелых k и m функции /> и />ортогональны на промежутке />;
в) функции /> и />, а также /> и /> при /> ортогональнына промежутках /> и />;
г) функции /> и /> не ортогональнына промежутке />.
Упражнение 3.Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника
/>.
§ 3.Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье
Счетноемножество непрерывных на промежутке /> функций /> образуют на этом промежутке ортогональнуюсистему, если
1. />, 2. /> при />.
Пусть /> – ортогональнаясистема функций на промежутке /> и />. По аналогии с (1.2) образуемвеличины
/>, (3.1)
где />.
Числа /> называютсякоэффициентами Фурье функции /> относительно ортогональнойсистемы />.
Ряд
/> (3.2)
называетсярядом Фурье для функции />.
В отличие оттого, что имеет место в векторной алгебре [см. (1.1)], здесь нельзя утверждатьни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция />, ни даже того, что ряд (3.2)вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемыеполиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции /> линейнымикомбинациями функций />.
Терминомаппроксимация будем обозначать замену заданной функции /> другой, близкой к />, функцией />, более простойили более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос овеличине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимацииобычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения
/>,
или болеепростой величины
/>.
Ясно, что чемменьше величина δ, тем ближе располагаются друг к другу графики функций /> и />, тем лучшефункция /> аппроксимируетфункцию />.
Определим,при каком наборе коэффициентов /> линейная комбинация
/>
первых пфункций ортогональной системы /> наилучшим образом аппроксимируетфункцию />,или, иначе говоря, при каких /> величина /> принимает наименьшее значение.
Преобразуемвыражение для dп, используя последовательно теорему косинусов, свойствобилинейности скалярного произведения, обобщенную теорему Пифагора и формулу (3.1)для коэффициентов Фурье:
/>
/>.
Применивтождество />,получим
/>
Из последнеговыражения сразу следует, что /> принимает наименьшее значение
/>, (3.3)
при />
Такимобразом, именно частичная сумма/>ряда Фурье является наилучшейаппроксимацией функции /> по сравнению с другими линейнымикомбинациями функций />
Упражнение.Показать, что, во-первых, система функций /> ортогональна на промежутке />, и, во-вторых,системы функций /> /> и /> ортогональны на промежутке />.
Указание. Воспользоватьсясвойствами скалярного произведения функций.
§ 4.Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля
Из формулы (3.3)с учетом того, что величина /> по определению не отрицательна,следует
/>. (4.1)
Левая частьнеравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числовогоряда
/>. (4.2)
Положительныйряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно,сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при />, получим неравенство Бесселя
/>. (4.3)
Возвращаясь кформуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина /> уменьшается, оставаясьнеотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательнаяпоследовательность /> сходится. из (3.3) получим еепредел
/>. (4.4)
Если />, где /> – частичнаясумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции />. В этом случаеиз (4.4) следует
/> (4.5)
Соотношение (4.5)называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модулявектора.
Замечание. Из сходимости ряда всреднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова.
Еслиравенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества />, или, что то же самое,для любой функции из /> ряд Фурье сходится в среднем кэтой функции, то ортогональная система /> называется замкнутой, асоотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например,являются системы функций из упражнения в §3. Доказательство этого фактавыходит за рамки настоящего пособия.
Свойствазамкнутых систем следующие:
1. Еслинепрерывная функция /> ортогональна всем функциямзамкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случаевсе коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что />, и тогда (см. § 2, свойствонормы 2) />
Такимобразом, к замкнутой системе функций />нельзя присоединить никакой новойфункции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем />. Это свойствозамкнутой системы функций называют ее полнотой.
Следствие. Если две непрерывныефункции /> и/> имеютодни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательствоэтого утверждения следует найти самостоятельно.
2. Пусть /> и /> – коэффициентыФурье функций /> и /> относительно замкнутойортогональной системы />. Тогда
/> (4.6)
где, как иранее, />
Соотношение(4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) дляскалярного произведения векторов.
Так как дляфункций /> коэффициентыФурье, очевидно, равны />, в силу замкнутости системы из(4.5) следует
/>
Вычитаяпочленно эти равенства и используя тождества
/>
получимравенство (4.6).
3. Если /> – замкнутаяортогональная система функций, то
/>, (4.7)
т.е. интегралот функции /> можнополучить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточноприменить формулу (4.6) к функциям /> и
/>
и учесть, чтов этом случае />. Тогда
/>
Отметим, чтосправедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимостиряда Фурье.
Упражнение.Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке [а, b] к функции />, то он сходится всреднем к этой функции.
§ 5.Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L, L]
Системафункций
/> (5.1)
ортогональнана промежутке [–L, L] (см. упражнение в § 3).
Показать, что/> следуетсамостоятельно.
Каждойфункции />,кусочно-непрерывной на промежутке [–L, L], сопоставим ее рядФурье:
/>/>. (5.2)
КоэффициентыФурье />, всоответствии с (3.1), определятся формулами
/>
/>
/> (5.3)
Ряд (5.2)называется тригонометрическим рядом Фурье.
Какотмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любойкусочно-непрерывной функции /> ее ряд Фурье (5.2) сходится всреднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперьобозначениях примет вид
/>. (5.4)
Левая частьпоследнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднеезначение квадрата функции /> на промежутке [–L, L].
Частичныесуммы
/>
тригонометрическогоряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3)следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции/> еетригонометрическим полиномом Фурье,
/>/>. (5.5)
§ 6.Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле
Функция /> называетсякусочно-монотонной на промежутке />, если этот промежуток можноразделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.
Если функциякусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке />, то говорят, что на этомпромежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедливапринимаемая нами без доказательства следующая теорема.
ТеоремаДирихле.Если функция /> удовлетворяет условиям Дирихле напромежутке [–L, L], то ее ряд Фурье (5.2)сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точкахпромежутка сумма ряда Фурье />, если в точке х функциянепрерывна; в точках разрыва />; на концах промежутка />, где /> –односторонние пределы в точке а.
Еслидоопределить (или переопределить) функцию />, полагая /> в точках разрыва и f(–L) = =/>на концах промежутка, то всоответствии с теоремой Дирихле
/>, (6.1)
гдекоэффициенты /> по-прежнему определяются формулами(5.3).
Соотношение(6.1) обычно называется разложением функции /> в тригонометрический ряд Фурье.Члены ряда (6.1)
/> (6.2)
называютсягармониками. Введем в рассмотрение величины /> и />, связанные с коэффициентами Фурье/> и /> соотношениями /> и />. Тогдагармоника (6.2) запишется в виде />, где /> – амплитуда гармоники; /> – ее частота; /> – начальнаяфаза. Множество частот /> образует дискретный частотныйспектр функции /> на промежутке [–L, L]. Формула (6.1) приметвид
/>, (6.3)
т.е. функция,удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложениябесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемыхгармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всехфункций, заданных на одном и том же промежутке.
Из равенстваПарсеваля (5.4) следует
/>, (6.4)
где />.
Такимобразом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значениюквадрата функции /> на промежутке [–L, L]. Соотношение (6.4) частоназывают энергетическим равенством.
В силупериодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [–L, L] следует его сходимостьвсюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2L-периодическаяфункция />,которая на промежутке [–L, L] совпадает с заданнойфункцией />.Функция />,определенная указанным образом, называется периодическим продолжением/>.
Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция /> удовлетворяетусловиям Дирихле на промежутке [–L, L], то тригонометрическийряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.
Замечание. Если функция />, заданная длявсех />,является 2L-периодической, то ее периодическое продолжение совпадает ссамой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию /> на всейчисловой оси. В этом случае можно
получить другие, иногда болееудобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:
/>
/>, (6.5)
где с– любое число.
Вместо того,чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общееутверждение: если функция /> имеет период Т, тоинтеграл /> независит от а. Действительно,
/>
/>
Выполнив всреднем интеграле замену переменной /> и воспользовавшись периодичностьюподынтегральной функции, получим
/>
/>
Последнийинтеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.
Такимобразом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах />, убеждаемся втождественности выражений (5.3) и (6.5).
Если функция /> не являетсяпериодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции /> должно входитьее периодическое продолжение />.
Упражнение.Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2L,т.е. /> />.
§ 7. Разложениев тригонометрические ряды четных и нечетных функций
Функция />, областьопределения /> которойсимметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если />. Тогда /> или [/>]. Так, например, функции /> и /> нечетны, а /> и /> четны. Легковидеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четнаяфункция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Предлагаемдоказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла:
а) еслифункция /> четна,то
/>; (7.1)
б) еслифункция /> нечетна,то
/>. (7.2)
Указание. Представить интеграл /> в виде суммыинтегралов: /> и в первом из них выполнитьзамену />.
Пусть четнаяфункция /> удовлетворяетусловиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Произведение /> будет нечетнойфункцией, и, поэтому, в силу (7.2)
/>.
Такимобразом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:
/>. (7.3)
Так как /> – четнаяфункция, то вследствие (7.1)
/> />. (7.4)
Подобным жеобразом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:
/> (7.5)
где
/>. (7.6)
§ 8. РядФурье для функции, заданной на промежутке [0, L]
Пусть функция/>удовлетворяетна промежутке [0, L] условиям Дирихле. Построим четное продолжениеданной функции на промежуток [–L, 0], полагая /> для />. Полученную четнуюфункцию разложим в тригонометрический ряд Фурье (7.3), содержащий толькокосинусы:
/>. (8.1)
Коэффициентыразложения можно вычислять по формулам (7.4), в которые входят только значенияпервоначально заданной функции:
/>. (8.2)
Аналогично,если функцию /> продолжить на промежуток [–L, 0] нечетным образом,полагая /> для/>, иразложить полученную функцию в ряд Фурье на промежутке [–L, L], то в этом разложениибудут содержаться только синусы:
/> (8.3)
где
/>. (8.4)
На промежутке[0,L]ряды (8.1) и (8.3) представляют одну и ту же функцию />, но вне этого промежутка эти рядыведут себя по-разному. Так на промежутке [–L, 0] ряд (8.1) сходится кчетному, а ряд (8.3) к нечетному продолжению функции />.
Функции
/>; (8.5)
/>, (8.6)
участвующие вразложениях (8.1) и (8.3), образуют ортогональные системы на промежутке [0, L]. Кроме того, какнетрудно проверить, />. Поэтому величины /> и />, определяемые формулами(8.2) и (8.4), представляют собой коэффициенты Фурье функции /> относительноортогональных систем (8.5) и (8.6) соответственно, и, следовательно, ряды (8.1)и (8.3) являются рядами Фурье на промежутке [0, L] для этой функции.
Замечание. Если функцию />, заданную на [0, L], продолжить произвольнымобразом на промежуток [0, L], например, простоположив /> для/>, то ееразложение в тригонометрический ряд будет содержать и синусы, и косинусы:
/>. (8.7)
На промежутке[0,L]этот ряд будет представлять заданную функцию, но, в отличие от рядов (8.1) и(8.3), ряд (8.7), вообще говоря, не является рядом Фурье для функции /> на указанномпромежутке, так как система функций
/>,
участвующая вразложении (8.7), не ортогональна на [0, L] (см § 2, упражнение 2, д).
§ 9. РядыФурье для комплексных функций
Рассмотримэлементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида />, где i– мнимая единица, /> – вещественные функции вещественногоаргумента. Обозначим символом /> множество комплексныхкусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке />.
Скалярнымпроизведением функций /> назовем комплексное число
/>,
где /> – функция,комплексно сопряженная с функцией />.свойства скалярногопроизведения комплексных функций следующие:
1. />
2. билинейность
/>, />.
Доказатьсвойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.
Как и ранее,функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярноепроизведение равно нулю.
Определениенормы функции оставим прежним, так что
/>.
Свойстванормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций ккомплексным, следующие:
1. теоремакосинусов. />
или в болееобщем виде
/>. (9.1)
2. Обобщеннаятеорема Пифагора. Если />, то
/>.
Доказатьсвойства 1 и 2 следует самостоятельно.
3. НеравенствоКоши – Буняковского. Если функции /> и /> непрерывны, то />.
В самом деле,если />, то /> на />, и доказываемоенеравенство выполняется. Пусть />. Число /> очевидно, не отрицательно. Сдругой стороны, по формуле (9.1), где /> и />, имеем
/>
/>.
Такимобразом, />,а так как />,то />, чтои требовалось доказать.
Пусть теперьсистема комплексных функций
/> (9.2)
ортогональнана промежутке />. Сопоставим функции /> ее ряд Фурье
/> (9.3)
гдекоэффициенты Фурье
/>.
Введемобозначения: /> – частичная сумма ряда Фурье; /> –произвольная линейная комбинация функций /> где />.
Тогда, также, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство
/> (9.4)
где />, причемравенство имеет место тогда и только тогда, когда />, т.е. среди всех функций /> функция /> дает наилучшеесреднеквадратическое приближение к функции />.
Сходимостьряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в §3:
а) если длянекоторой функции /> выполняется равенство Парсеваля
/>, (9.5)
то ряд (9.3)сходится в среднем к />, т.е. />;
б) ортогональнаясистема функций (9.2) называется замкнутой на промежутке />, если равенствоПарсеваля выполняется для каждой функции из />.
Введем врассмотрение систему комплексных функций
/>. (9.6)
Свойствасистемы функции (9.6) следующие:
1. />.
2. Функции /> являются 2L-периодичными:/> />.
3. Системафункций (9.6) ортогональна на промежутке [–L, L]. Действительно, при />
/>
/>.
Здесьиспользована формула />.
4. />.
Ряд Фурье дляфункции /> посистеме функций (9.6) имеет вид
/>, (9.7)
гдекоэффициенты Фурье
/>. (9.8)
Системафункций (9.6) замкнута на [–L, L] (принимаем бездоказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:
а) ряд (9.7)сходится в среднем к />,
б) для любойфункции из /> выполняетсяравенство Парсеваля />,
в) среднеквадратическаяпогрешность, возникающая при замене функции /> частичной суммой /> ее ряда Фурье,
/>.
ТеоремаДирихле.Если вещественная и мнимая части функции /> удовлетворяют на промежутке [–L, L] условиям Дирихле, тофункция /> являетсясуммой своего ряда Фурье:
/>. (9.9)
При этомпредполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функциив точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).
Упражнение 1.Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следуетнеравенство Бесселя />.
Упражнение 2.Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.
§ 10. Комплекснаяформа тригонометрического ряда Фурье
Пустьвещественная функция /> удовлетворяет условиям Дирихле напромежутке [–L, L]. Запишем ее разложение втригонометрический ряд Фурье:
/>, (10.1)
где
/>
/>. (10.2)
Если в (10.1)выразить /> и/> черезпоказательную функцию от мнимого аргумента:
/> />
то получимряд
/>, (10.3)
где в силу(10.2)
/>;
/>;
/>
=/>
Последние триформулы можно объединить:
/>. (10.4)
Ряд (10.3) скоэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплекснойформе.
Пример 1. Разложить функцию />, где /> – комплексноечисло, в ряд Фурье на промежутке />.
Решение. Найдем коэффициентыФурье:
/>
/>.
Поскольку />, то
/>, />/>
=/>/>.
Искомоеразложение будет иметь вид
/>, (10.5)
где учтено,что
/>.
Применяя кряду (10.5) равенство Парсеваля
/>, (10.6)
можно найтисумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае
/>;
/>/>.
Тогда из(10.6) следует
/>.
Упражнение 1.Доказать, что
/>; />.
Указание. Положить в (10.5) х= 0 и х = p.
Упражнение 2.Доказать, что при />
/>; />.
Глава 2. ИнтегралФурье
§ 11.Сходимость интеграла Фурье
Пусть функция/> определенана всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [–L, L] заданная функцияудовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье вкомплексной форме:
/>, (11.1)
где
/>; (11.2)
/> –частота k-й гармоники; /> />.
Введя в(11.1) выражения (11.2), получим
/>. (11.3)
При /> величина />. Правая частьформулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции /> по переменной w в промежутке />. Поэтому можноожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при /> вместо ряда получим интеграл
/>. (11.4)
Формула(11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интеграломФурье.
Рассуждения,с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишьнаводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формулаФурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.
Теорема. Пусть функция />, во-первых,абсолютно интегрируема на промежутке />, т.е. интеграл /> сходится, и, во-вторых,удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (–L, L).Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к />, т.е.равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка />. Здесь, по-прежнему,предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее одностороннихпределов в этой точке.
§ 12.Преобразование Фурье
Интегральнуюформулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим
/>. (12.1)
Если функция /> непрерывна иабсолютно интегрируема на всей оси, то функция />непрерывна на промежутке />.Действительно, так как />, то
/>, (12.2)
и, посколькуинтеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в(12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех />, поэтому интеграл(12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, чтофункция /> непрерывна(точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывныхфункций, следует непрерывность его суммы).
Из (11.4)получим
/>. (12.3)
Комплекснаяфункция />,определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье илиФурье-образом функции />. В свою очередь, формула (12.3)определяет /> какобратное преобразование Фурье, или прообраз функции />. Равенство (12.3) при заданнойфункции /> можнорассматривать, как интегральное уравнение относительно функции />, решение которогодается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1)относительно функции /> при заданной /> дает формула (12.3).
В формуле(12.3) выражение /> задает, условно говоря, пакеткомплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке /> и суммарнойкомплексной амплитудой />. Функция /> /> называется спектральнойплотностью. Формулу (12.2), записанную в виде
/>,
можнотрактовать, как разложение функции /> в сумму пакетов гармоник, частотыкоторых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке />.
РавенстваПарсеваля.Пусть />и /> – Фурье-образывещественных функций /> и /> соответственно. Тогда
/>; (12.4)
/>, (12.5)
т.е.скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразованияФурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем />. Заменивфункцию /> еевыражением (12.3) через Фурье-образ />, получим
/>.
В силу (12.1)
/>.
Поэтому />, т.е. формула(12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при />.
Косинус- исинус-преобразования Фурье. Если вещественная функция /> четна, то ее Фурье-образ, которыйздесь будем обозначать />, также является вещественнойчетной функцией. Действительно,
/>/>
/>.
Последнийинтеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль.Таким образом,
/>. (12.6)
Здесьиспользовано свойство (7.1) четных функций.
Из (12.6)следует, что функция /> вещественна и четным образомзависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус.
Формула(12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает
/>
=/>.
Так как/>и /> –соответственно четная и нечетная функции переменной w, то
/>. (12.7)
Формулы(12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.
Аналогично,если вещественная функция /> нечетна, то ее преобразованиеФурье />,где /> – вещественнаянечетная функция от w. При этом
/>; (12.8)
/>. (12.9)
Равенства(12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.
Заметим, чтов формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции /> только для />. Поэтому косинус- исинус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной наполубесконечном промежутке />. В этом случае при /> интегралы в формулах(12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при /> к ее четному и нечетномупродолжениям соответственно.
Покажем, какс помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся»интегралы.
Пример 1. Вычислить интегралЛапласа />.
Решение. Найдем Фурье-образфункции /> где/>:
/>/>
/>
/>.
С помощьюформулы обратного преобразования Фурье
/>
получим
/>
или
/>.
Здесь первоеслагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулювследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому
/>.
Пример 2. Вычислить разрывноймножитель Дирихле />, если />.
Решение. Применивкосинус-преобразование Фурье к четной функции
/>
получим
/>;
/>.
Такимобразом,
/>
В частностиинтеграл Дирихле
/>.
Пример 3. Вычислить интегралЭйлера-Пуассона />.
Решение. Сначала вычислиминтеграл />,применив к функции />, где />, преобразование Фурье и введязамену />
/>
=/>;
/>
/>.
Отсюда />, и,следовательно, с заменой /> можно записать
/>.
Упражнение 1.Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы
/>; />.
Упражнение 2.Доказать, что
/>,
используяравенство Парсеваля.
§ 13.Основные сведения из теории преобразования Фурье
Тот факт, чтофункция /> являетсяФурье-образом функции />, будем обозначать в дальнейшемодним из следующих способов: />.
Свойствапреобразования Фурье:
1. Теоремалинейности. /> />, где />. Это свойство сразу следует изопределения (12.1) и линейности операции интегрирования.
2. Теоремаподобия. />, где />. Обозначив />, получим
/>
3. Теоремасмещения. />, где />. Введя замену />, получим
/>
/>.
Следствие.
/>, (13.1)
где />.Действительно,
/>
/>.
4. Теоремао свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций /> и /> называетсяфункция
/>.
Фурье-образсвертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов,умноженному на />: />.
Так как поопределению
/>/>
/>,
то, выполнивво внутреннем интеграле замену />, получим
/>/>=
=/>=/>,
что итребовалось доказать.
5. Теоремаоб образе производной. Пусть функция /> и ее производная /> абсолютно интегрируемына промежутке />. По формуле Ньютона – Лейбница
/>.
Так какпроизводная /> интегрируемана всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный пределпри />.Следовательно, существует конечный предел /> />. При этом />, ибо в противном случаефункция /> былабы неинтегрируемой на промежутке />. Точно также доказывается, что />.
Введем врассмотрение Фурье-образ производной
/>.
Выполнивинтегрирование по частям, получим
/>.
Так каквнеинтегральный член равен нулю, то
/>.
Такимобразом, операции дифференцирования функции /> соответствует операция умноженияее Фурье-образа на множитель />. Аналогично, если функция /> имеетабсолютно интегрируемые производные до n-го порядка включительно, то
/>
/>, />.
Следствия. 1. Обыкновенноелинейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентамипреобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.
2. Линейноеуравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумянезависимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменныхпереводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.
Пример 1. Доказать, что
/>, (13.2)
где />.
Решение. Положим
/>
Тогда
/>
/>
Такимобразом,
/>,
и по теоремео свертке
/>
/>.
Пример 2. Найти решение уравнения
/> (13.3)
при />,удовлетворяющее начальному условию
/>. (13.4)
Замечание. Уравнение (13.3)называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываютсяодномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.
Решение. Применим к уравнению(13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на />, проинтегрируемего по х от /> до />. Тогда
/>
или
/>, (13.5)
где /> – Фурье-образфункции />.
Здесьиспользовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:
/>.
Равенство(13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядкаотносительно функции /> переменной t, где w – параметр.
Переходя кФурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):
/>. (13.6)
Решениемзадачи Коши (13.5), (13.6) является функция
/>.
С помощью(12.3) находим /> – прообраз функции />:
/>/>. (13.7)
Последнийинтеграл в (13.7) равен />. Поэтому
/>.
По теореме освертке
/>,
или
/>. (13.8)
Решениеуравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интеграломПуассона.
Пример 3. Найти решение волновогоуравнения
/>, (13.9)
удовлетворяющееначальным условиям
/>. (13.10)
Замечание. Задача Коши(13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов всплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесногосостояния, описывается функцией />, физический смысл которойопределяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечныхколебаниях струны /> – это отклонение струны от ееравновесного положения, функции j(х) и /> задаютсоответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальныймомент времени. Константа />, где />и r – натяжение и плотностьструны в положении равновесия. В задачах акустики /> – скорость возмущенного движенияв точке /> вмомент времени />; /> – скорость звука в невозмущеннойсреде и т.д.
Решение. Преобразуя по Фурьеуравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши дляобыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
/>
где w – параметр.
Решениезадачи имеет вид
/>
Используя(13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера
/> (13.11)
Для выясненияфизического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим
/>.
Тогда
/>. (13.12)
При /> возмущение /> сохраняетпостоянное значение />, если переменные /> и /> связаны зависимостью: />. Инымисловами, возмущенное состояние /> переносится в положительномнаправлении оси абсцисс со скоростью />. Поэтому говорят, что функция /> определяетбегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция/> задаетволну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом,выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а– это скорость распространения возмущений в среде.
Из формулы(13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени /> есть результат сложенияволн /> и />, вышедших вмомент времени /> из точек с координатами /> и /> соответственно.
Итак, привесьма общих предположениях установлено следующее:
1. Произвольнуюфункцию /> можнопредставить в виде «суммы» гармоник; если /> задана на конечном интервале (илипериодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если /> задана на всей числовойоси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зренияприложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости,скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виделинейной суперпозиции гармонических колебаний.
2. Впредставлении формулы /> в виде ряда или интеграла Фурьеестественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции /> и который, всвою очередь, однозначно определяет саму функцию />.
3. Результатыспектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или инойзависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этомслучае достаточно изучить поведение системы при воздействии на неегармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий сучетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.
Упражнение.Доказать, что, если на всей оси функция y(х)дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11)действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).
Глава 3. Операционноеисчисление
§ 14. ПреобразованиеЛапласа
Понятиеоригинала.Кусочно-непрерывная функция /> называется оригиналом, есливыполняются следующие условия:
1) /> для всехотрицательных t;
2) при /> />растет не быстрееэкспоненты, т.е. существуют такие постоянные M > 0 и c > 0,что /> длявсех t.
Число сназывается показателем роста />. очевидно, что для ограниченныхоригиналов показатель роста можно считать равным нулю.
Простейшиморигиналом является единичная функция Хевисайда
/>
Если функция /> удовлетворяетусловию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение/>будет удовлетворять и условию 1,т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H(t) опускать,считая, что все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю приотрицательных значениях t.
Легко видеть,что оригиналами являются такие функции, как /> и т.п.
Можнодоказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются оригиналами ичто оригиналом является функция /> при /> (доказательства следует найтисамостоятельно).
Замечание. Из этих утвержденийследует, что многочлены произвольной степени />, а также функции вида /> являютсяоригиналами.
ИнтегралЛапласа.Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственныйинтеграл вида
/>, (14.1)
где /> – комплексныйпараметр.
Теорема. Интеграл Лапласаабсолютно сходится в полуплоскости Пс: />, где с –показатель роста f(t). В самом деле, по определениюоригинала имеем />. Таким образом, интеграл (14.1)мажорируется сходящимся интегралом />, и, следовательно, сходится абсолютнов Пс.
Замечание. При доказательстветеоремы получено используемое в дальнейшем неравенство:
/> (14.2)
ПреобразованиеЛапласа.Интеграл Лапласа
/> (14.3)
представляетсобой функцию параметра p, определенную в полуплоскости Пс:/>. Функция /> называетсяЛаплас-образом (изображением по Лапласу) оригинала />. Тот факт, что /> есть Лаплас-образ />, обозначается /> или />.
Соотношение(14.3), устанавливающее связь между оригиналом и его Лаплас-образом, называетсяпреобразованием Лапласа.
Свойствапреобразования Лапласа следующие:
1. Теоремалинейности. При любых постоянных /> и />
/>.
Этоутверждение вытекает из определения (14.3) и свойств интегралов.
2. Имеетместо />,что непосредственно следует из неравенства (14.2).
3. Теоремаподобия. Для любого />
/>.
Действительно,полагая />,получим
/>.
4. теоремасмещения. Для любого а />. Действительно,
/>.
5. теоремазапаздывания. Для любого /> /> />. По определению преобразованияЛапласа имеем
/>.
Здесь учтено,что /> при />. Выполнив впоследнем интеграле замену />, получим
/>.
Обратноепреобразование Лапласа. Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Таккак при /> оригинал/>, то
/>/>
где /> /> – показательроста />.
Интеграл вправой части последней формулы есть интеграл Фурье для />. Таким образом, Лаплас-образфункции /> являетсяФурье-образом функции />. Из формулы обратного преобразованияФурье получим, что в точках непрерывности />
/>.
Отсюда
/> (14.4)
Если в точке tфункция /> терпитразрыв, то значение интеграла в (14.4) равно полусумме односторонних пределов /> в этой точке.
Формула(14.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с помощью которого оригиналоднозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до значений вточках разрыва.
§ 15.Изображения простейших функций
Единичнаяфункция Хевисайда. Имеем:
/>
Так как при />, то
/>.
Для функцииХевисайда с запаздывающим аргументом />по теореме запаздывания получим
/>
Экспонента.Потеореме смещения
/>
Гиперболическиеи тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем
/>;
/>;
/>;
/>.
Степеннаяфункция с натуральным показателем. Положим />, где />. Тогда при />
/>.
При />, поэтому
/>
Отсюда
/>.
Так как />, то
/>
Упражнение 1.Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов />
Периодическиефункции. Еслиоригинал /> являетсяТ-периодической функцией, то его изображение по Лапласу
/> (15.1)
Действительно,в этом случае
/>.
Выполнивзамену />, всилу периодичности /> будем иметь
/>
/>.
Ряд в правойчасти последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрическойпрогрессии со знаменателем /> Так как при /> />, то ряд сходится, и егосумма равна />,откуда и следует доказываемое утверждение.
Пример. Найти Лаплас-образоригинала /> спериодом Т = 1).
Решение. Имеем
/>/>
Следовательно,в силу (15.1)
/>.
Ступенчатые(кусочно-постоянные) функции. Ступенчатая функция />, где />, а числа /> образуют возрастающуюпоследовательность, может быть представлена в виде
/>, />,
где />
Тогда
/>
Упражнение 2.Найти изображение кусочно-постоянной функции />
Импульсныефункции.Импульсной функцией будем называть функцию вида
/>
где /> – функция,определенная для всех />
Используяфункцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем записать
/>.
Введемфункции />,где />.Тогда /> />, и по теоремезапаздывания
/>.
Пример. Найти Лаплас-образимпульсной функции
/>
Решение. Так как
/>;
/>;
/>,
то
/>.
Дельта-функцияДирака.Рассмотрим семейство ступенчатых импульсных функций
/> (15.2)
и семействоих изображений по Лапласу
/>. (15.3)
При /> семействофункций /> расходится,так как
/>
Введемусловную функцию /> – дельта-функцию Дирака, которуюбудем считать пределом семейства (15.2): />. Таким образом, дельта-функцияравна нулю всюду, кроме точки />, где она равна />.
Изображениемдельта-функции условимся считать предел семейства (15.3) при />:
/>.
Далее поопределению положим
/>; />.
Можнодоказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость следующихутверждений:
/> (15.4)
/> (15.5)
/> /> (15.6)
Выражения(15.5) и (15.6) корректны только при условии непрерывности функции f(t).
Замечание 1. Из утверждения (15.6)следует, что
/>
что полностьюсоответствует теореме запаздывания.
Замечание 2.В силу (15.4) имеем
/>.
Такимобразом, дельта-функцию формально можно рассматривать как производную единичнойфункции Хевисайда.
В прикладныхдисциплинах дельта-функции широко используются для моделирования ударных сил,сосредоточенных нагрузок и тому подобных явлений.
§ 16. Основные теоремы операционного исчисления
Сверткаоригиналов. Сверткой оригиналов /> и /> называется функция
/>.
Функции f (t)и g(t) называются компонентами свертки.
Найдем дляпримера свертку произвольного оригинала /> и единичной функции /> Имеем />. Так как /> при /> то
/>. (16.1)
Доказать, чтосвертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. />, следуетсамостоятельно.
Теорема 1. Если /> и />, то
/>.
Действительно,по определению (14.3) имеем
/>
/>,
где D– треугольная область, задаваемая системой неравенств
/>
Изменивпорядок интегрирования в двойном интеграле, получим
/>.
Введем вместоt новую переменную />. Тогда
/>
/>,
что итребовалось доказать.
Пример 1. Найти оригинал />, если егоЛаплас-образ />.
Решение. Представим данныйЛаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известныоригиналы:
/>.
Так как
/>,
то по теореме1 имеем
/>
/>.
Упражнение 1.Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:
/>,
где а иb – постоянные.
Упражнение 2.Найти свертку функций /> и />.
Интегрированиеи дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцированияоригиналов справедливы следующие теоремы.
Теорема 2. Если />/> то />.
Длядоказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда
/>.
Теорема 3. Если />и /> – оригиналы и/>, то
/>. (16.2)
В самом деле,исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь
/>.
Тогда потеореме 1
/>.
Отсюда />, что итребовалось доказать.
Применивформулу (16.2) дважды, получим
/>
/>
и т.д. Вчастности, если />, то />, т.е. в этом случаедифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.
Дифференцированиеи интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойствапреобразования Лапласа:
1. Если /> – оригинал споказателем роста />, то его изображение /> имеет вобласти /> производныелюбых порядков.
2. При том жеусловии пределы, производные и интегралы от /> в области /> можно находить,выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).
Теорема 4.Если />, то />, т.е.дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на />. Действительно,дифференцируя (14.3) по параметру p, получим
/>.
Справа стоитинтеграл Лапласа для функции />, следовательно,
/>,
что итребовалось доказать.
Применивнесколько раз теорему 4, получим
/>.
Теорема 5. Если /> – оригиналы и />, то
/>,
т.е.интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на/>. Так как всилу (14.3) имеем />, то
/>
/>.
Поскольку при/> и />, то
/>.
Рассмотримфункции
/>.
По теореме 4имеем
/>
/>.
Так как />, то потеореме 5
/>.
Точно так жеполучим
/>.
Применяятеорему 2, найдем изображение интегрального синуса
/>.
Следствия изтеорем 1-5 приведем с доказательствами.
Следствие 1. Если сходитсяинтеграл
/>, (16.3)
то
/>. (16.4)
Из сходимостиинтеграла (16.3) следует, что изображение /> непрерывно в замкнутой области />. Переходя кпределу в (14.3) при />, приходим к требуемомурезультату.
Следствие 2. Если сходитсяинтеграл />,то
/>.
Так как />, то в силу(14.4)
/>.
Для /> справедливоравенство
/>.
Следствие 3. Если /> – оригиналы, то />.Действительно, по теореме 3
/>. (16.5)
С другойстороны, /> (см.§ 14). Переходя к пределу в (16.5) при />, получим требуемый результат.
Следствие 4. Если /> – оригиналы исуществует конечный предел />, то
/>. (16.6)
Исходим изравенства
/>. (16.7)
В силу (14.4)и теоремы 3
/>. (16.8)
Из (16.7) и(16.8) получаем (16.6).
Формула(16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при />, имея в своем распоряжении толькоих изображения.
Упражнение.Вычислить несобственный интеграл />, где />.
§ 17. Формуларазложения Хевисайда
Пустьизображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию.
Теорема. Пусть/>, где />и /> – дифференцируемыефункции. Введем /> как полюсы функции />, т.е. корни (нули) еезнаменателя. Тогда, если /> />, получим формулу Хевисайда:
/>. (17.1)
Доказательствопроведем для случая, когда /> и /> – многочлены степеней т и псоответственно, при этом т п. Тогда /> – правильнаярациональная дробь. Представим /> в виде суммы простейших дробей:
/>. (17.2)
Отсюда /> Коэффициенты /> найдем изтождества (17.2), переписав его в виде
/>,
где
/>.
Умножим обечасти последнего равенства на /> и перейдем к пределу при />. Учитывая, что/> и />, получим
/>,
откуда иследует (17.1). Теорема доказана.
Замечание 1. Если коэффициентымногочленов /> и/> вещественны,то комплексные корни многочлена /> попарно сопряжены. Следовательно,в формуле (17.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые,соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена />, и формула Хевисайда приметвид
/>, (17.3)
где перваясумма распространена на все вещественные корни многочлена />, вторая – на все егокомплексные корни с положительными мнимыми частями.
Замечание 2. Каждый член формулы(17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание />, где />. Такимобразом, вещественным корням (/>) соответствуют апериодическиеколебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями /> – затухающиеколебания, чисто мнимым корням /> – незатухающие гармонические колебания.
Еслизнаменатель /> неимеет корней с положительными вещественными частями />, то при достаточно большихзначениях /> получимустановившийся режим:
/>, (17.4)
где
/>;
/> – чисто мнимыекорни многочлена />с положительными мнимыми частями.
Колебания,соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциальнозатухают при />и поэтому не входят в установившийсярежим.
Пример 1. Найти оригинализображения
/>.
Решение. Имеем />. Выпишем корнимногочлена />:/>.
По формуле(17.1)
/>.
Здесь />, />, так какчисла /> –корни уравнения />. Следовательно,
/>.
Пример 2. Найти оригинализображения
/>,
где а > 0;/>.
Решение. Здесь функция />, помимоочевидного корня />, имеет бесконечно много корней,являющихся нулями функции />. Решая уравнение />, получим />, откуда
/>/>/>.
Такимобразом, корни знаменателя /> имеют вид /> и />, где />
Далее запишем
/>;
/>
/>;
/>
По формуле(17.3) находим оригинал
/>
§ 18.Операторный метод решения дифференциальных уравнений
Дифференциальныеуравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения
/> (18.1)
(здесь />) с начальнымиусловиями
/>. (18.2)
Переходя в(18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь
/>. (18.3)
Изображенияпроизводных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем ввиде
/>. (18.4)
Подставив(18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение
/>, (18.5)
где /> (характеристическиймногочлен); /> />.
Из уравнения(18.5) найдем операторное решение
/>. (18.6)
Решениемзадачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):
/>
Для задачиКоши /> впринятых обозначениях можно записать
/>;
/>;
/>.
Операторноеуравнение имеет вид
/>.
разложимоператорное решение на простейшие дроби:
/>
/>.
С помощьюформул, полученных в § 15, получим оригиналы:
/>.
Такимобразом, решение задачи Коши будет иметь вид
/>.
Пример 1. Решить задачу Коши длядифференциального уравнения />с начальными условиями />, где />.
Решение. Запишем операторноеуравнение
/>.
Его решениеимеет вид
/>.
Используятеорему 2 § 16, последовательно найдем:
/>
/>
/>.
Пример 2. Решить задачу Коши длядифференциального уравнения /> с нулевыми начальными условиями,где /> –ступенчатая импульсная функция.
Решение. Запишем операторноеуравнение
/>
и его решение
/>.
Из теоремы 2§ 16 следует
/>;
всоответствии с теоремой запаздывания (§ 15)
/>.
Окончательно,
/>.
Пример 3. На точку массой т,прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальнойплоскости, действует периодически меняющаяся сила />. В момент времени t точка подверглась удару,несущему импульс />. Пренебрегая сопротивлением,найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась вначале координат.
Решение. Уравнение движениязапишем в виде
/>,
где /> – упругаясила; /> –функция Дирака. Решим операторное уравнение
/>,
где />. При />
/>
/>.
Если /> (случайрезонанса), то
/>.
По теоремезапаздывания
/>.
Окончательно,
/>
Интеграл(формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях/> />. Операторноерешение в этом случае имеет вид
/>.
Пусть весоваяфункция /> –оригинал для />. тогда по теореме 1 § 16 получим
/>. (18.7)
Соотношение(18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.
Замечание. При ненулевых начальныхусловиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимопредварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми)начальными условиями. Для этого введем новую функцию />, полагая
/> (18.8)
где /> – начальныезначения искомого решения />.
Как легковидеть, />,и следовательно, />.
Такимобразом, функция /> – решение уравнения (18.1) справой частью />, полученной в результатеподстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.
Используя(18.7), найдем /> и /> />.
Пример 4. С помощью интегралаДюамеля найти решение задачи Коши
/>
с начальнымиусловиями />.
Решение. Начальные данныененулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), />. Тогда /> />, и для определения /> получим уравнение /> с однородныминачальными условиями.
Длярассматриваемой задачи характеристический многочлен />, весовая функция />. По формуле Дюамеля
/>
/>.
Окончательно,
/>.
Системылинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системылинейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид
/>, (18.9)
где /> – векторискомых функций; /> – вектор правых частей; /> – матрицакоэффициентов; /> – вектор начальных данных.
Переходя в(18.9) к изображениям, получим операторную систему
/>, (18.10)
где /> – Лаплас-образывекторов искомых функций и правых частей соответственно.
Из (18.10)находим операторное решение
/>, (18.11)
где />; Е –единичная матрица.
Оригинал /> операторногорешения/>(18.11)является решением исходной задачи Коши (18.9).
Обозначим /> весовуюматрицу, т.е. матрицу-оригинал для />, где /> Тогда из (18.11) в соответствии стеоремой 1 § 16 будем иметь
/>. (18.12)
При нулевыхначальных условиях
/>. (18.13)
Соотношение(18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля.
Пример 5. Найти решение задачиКоши
/>
с начальнымиусловиями />.
Решение. Запишем систему и начальныеусловия в матричной форме:
/>,
где />. Тогда
/>
/>;
/>
/>
/>.
Окончательно,по формуле (18.12) получим
/>
или
/>
Замечание. Формулы (18.12) и(18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследоватьповедение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальныхданных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы малопригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных свычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практикеобычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системыуравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенностиисследуемой задачи.
Пример 6. Решить задачу Коши:
/>
с начальнымиусловиями />.
Решение. Перейдем в даннойсистеме к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь
/>
Запишемрешение операторной системы
/>.
Тогда
/>.
§ 19.Приложения
Электрическиецепи.Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивностии емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником,поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсамидругих элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый моментвремени /> определяетсядвумя величинами: силой тока (током) />, проходящего через двухполюсник,и падением напряжения (напряжением) />на его полюсах. Для каждогодвухполюсника функции /> и /> связаны некоторым соотношением,представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.
Длясопротивления имеет место закон Ома
/>,
где /> –сопротивление двухполюсника.
Дляиндуктивности справедливо соотношение
/>,
где /> –индуктивность двухполюсника.
Дляконденсатора выполняется соотношение
/>,
где С– емкость конденсатора; /> – начальный заряд на его обкладках.
В дальнейшембудем считать, что в начальный момент времени /> цепь была свободна от токов изарядов, что соответствует задачам включения.
Если ввестиоператорный ток /> и операторное напряжение /> какизображения функций /> и /> соответственно, товышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:
/>.
Последниесоотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома
/>,
гдеоператорное сопротивление (импеданс) />в случае активного сопротивления,индуктивности и емкости принято в виде соответственно />. Величину, обратную />, /> называютоператорной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.
Припоследовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями /> и /> имеем />; /> и />, откуда />, и следовательно,импеданс цепи />. Аналогично, при параллельномсоединении двух элементов с адмитансами /> и /> получим />, />, />, откуда />, и следовательно, адмитанс цепи />.
Такимобразом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепейрассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например,если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления />, индуктивности /> и емкости />, шунтированнойсопротивлением />, то ее импеданс />.
Еслиэлектрическая цепь с адмитансом /> включена на эдс />, то операторный ток вней определяется соотношением />, />.
Как правило,операторная проводимость цепи /> представляет собой рациональнуюдробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости />, что, как следуетиз теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключаетвозможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.
Если эдс /> являетсяограниченной функцией времени, то полюсы функции /> имеют неотрицательныевещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), поистечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливаетсястационарный режим, при котором ток
/>,
где />; /> – чисто мнимыеполюсы функции /> с положительными мнимыми частями;/> – мнимаяединица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция /> не имеет кратных полюсов.
Представимэдс тригонометрическим рядом Фурье />. Тогда
/>;
/>;/>,
следовательно,
/>.
Положим
/>,
где /> – амплитудагармоники с частотой />, bk – ее начальная фаза;
/>; g/>. Тогда
/>. (19.1)
Функции /> и /> называютсяамплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) системы.
Будемтрактовать функции /> и />, как входной и выходной сигналысоответственно. Из формулы (19.1) следует, что, если на вход системы поступаетсигнал с частотой w, амплитудой а и начальной фазой b, то по завершениипереходных процессов на выходе формируется сигнал той же частоты w с амплитудой /> и с фазой,сдвинутой относительно фазы входного сигнала на величину/>. Таким образом,амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики представляют собойсоответственно коэффициент усиления (ослабления) и сдвиг фазы сигнала при егопрохождении через систему. То значение w, при котором АЧХ /> достигаетмаксимума, называется резонансной частотой системы.
Пример. Колебательный контурсостоит из последовательно соединенных активного сопротивления />, индуктивности /> и емкости C.Найти резонансную частоту.
Решение. Импеданс контура/>, его адмитанс/>.Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно
/>
/>;
/>. (19.2)
Из формулы(19.2) следует, что АЧХ достигает наибольшего значения, если />.
Такимобразом, колебательный контур резонирует на частоту />, наибольший коэффициент усилениясигнала равен />, сдвиг фазы на резонанснойчастоте равен нулю.
Расчетдлинных электрических линий. Обозначим /> – удельные сопротивление,индуктивность и емкость провода соответственно; /> – коэффициент утечки тока; /> и /> – ток инапряжение в точке с координатой х в момент времени />. Тогда для участкалинии между точками х и /> по известным законам физикибудем иметь
/>;
/>. (19.3)
Разделивуравнения (19.3) на Dх и перейдя к пределу при Dх ® 0, получим системууравнений в частных производных (телеграфную систему) для определения функций /> и />:
/>;
/>. (19.4)
Длязавершения постановки задачи систему (19.4) необходимо дополнить начальными икраевыми условиями. В задаче включения начальные условия имеют вид
/>. (19.5)
Далее примем,что правый конец провода заземлен, а на левом его конце поддерживается заданноенапряжение />.Тогда краевые условия запишутся в виде
/>, (19.6)
где /> – длина линии.
Применяя ксистеме (19.4) преобразование Лапласа по переменной /> с учетом начальных условий(19.5), получим операторную систему
/>, (19.7)
где /> и /> – изображениянапряжения и тока соответственно. Краевые условия (19.6) перейдут в
/>, (19.8)
где />.
Применяяснова преобразование Лапласа, на этот раз по переменной х, вместо (19.7)запишем алгебраическую систему
/>; />, (19.9)
где />; />; />; /> – параметрпреобразования Лапласа по переменной х.
В дальнейшем,чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся исследованием установившегосярежима в линии без искажений, т.е. линии, параметры которой удовлетворяютусловию />.
Решениесистемы (19.9) для линии без искажений имеет вид
/>,
где />.
Возвратимся коригиналам:
/>;
/>. (19.10)
С помощьювторого из краевых условий (19.8) найдем
/>. (19.11)
Из (19.10) и(19.11) следует, что
/>;
/>. (19.12)
При отысканиифункций /> и/> будемиспользовать теорему разложения Хевисайда, для чего необходимо найти полюсы изображений(19.12). Нули гиперболического синуса определяются из уравнения />, откуда /> и />, /> Следовательно, нулифункции /> –это числа />,расположенные в левой полуплоскости />. Поэтому, если /> – ограниченная функция,то, как следует из (19.12), напряжение и ток в установившемся режимесоответственно
/>
/>
где /> – чистомнимые полюсы функции /> с положительными мнимыми частями.
В частности,если />,то />, иследовательно, в установившемся режиме
/>;
/>.
Примерыдля самостоятельного решения
Задание 1. Разложить в ряд Фурьефункции, заданные на интервале [–p, p]:
1./>/>2./>
3./>. 4./>.
5./>6./>
7./>8./>
9./>
10./>
11. /> 12./>
13. /> 14./>
15. /> 16. />
17. /> 18. />
19./>20. />
21. />
22. />
23. />
24. />
25./>26./>
27. /> 28./>
29./>30./>
31. />
Задание 2. Разложить в ряд Фурьефункции, заданные на интервале />:
1. /> 2./>
3. /> 4. />
5. /> 6. />
7. /> 8. />
9. />
10. />
11. />
12. />
13./>14./>
15./>16./>
17./>18./>
19./>20./>
21. /> 22. />
23. /> 24. />
25./>26. />
27. /> 28. />
29 /> 30. />=/>
Указание. Для решения примера 15воспользоваться формулами [6]
/>
/>
Задание 3. Представить интеграломФурье следующие функции:
1./>2./>
3./>4./>
5./>6./>
7./>8./>
9./>10./>
11./>12./>
13./>. 14./>. 15./>.
16./>. 17./>. 18./>.
Указание. При решении следуетвоспользоваться формулами
/>;
/>;
/> />;
/> />;
/>;/>
/>.
Задание 4. Найтикосинус-преобразование Фурье /> следующих функций:
1./>2./>. 3./>.
4./>. 5./>.
Задание 5. Найтисинус-преобразование Фурье /> следующих функций:
1. /> 2./>
3./>4./>.
5. />. 6. />. 7. />.
Ответы
Задание 1
1. />. 2. />.
3. />. 4. />.
5. />. 6. />.
7. />.
8. />.
9. />.
10. />.
11. />.
12. />.
13. />. 14. />.
15. />. 16. />.
17. />. 18. />.
19. />.
20. />.
21. />.
22. />.
23. />.
24. />. 25. />.
26./>.
27. />.
28. />.
29. />.
30. />.
31. />.
Задание 2
/>.
2. />.
3. />.
4. />.
5. />. 6. />. 7. />.
8. />
/>.
9. />.
10. />. 11. />.
12. />.
13. />.
14. />.
15. />.
16. />. 17. />
18. />. 19. />.
20. />.
21. />.
22. />. 23. />.
24. />. 25. />.
26. />.
27. />.
28. />.
29. />.
30. />.
Задание 3
1. />.
2. />.
3. />.
4. />.
5. />.
6. />. 7. />.
8. />. 9. />. 10. />.
11. />. 12. />. 13. />.
14. />. 15. />. 16. />.
17. />. 18. />.
Задание 4
1. />. 2. />.
3. />. 4. />. 5. />.
Задание 5
1. />. 2. />.
3. />. 4. />.
5. />. 6./>. 7./>.
Рекомендательный библиографический список
Основной:
1. Демидович Б.П.Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.
2. Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисления. Часть II. М.: Наука, 1985.
3. Шипачев В.С.Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.
Дополнительный:
4. Данко П.В.Высшая математика в упражнениях и задачах / П.В.Данко, А.Г.Попов,Г.Н.Кожевникова. М.: Высшая школа, 1997. т.2.
5. Минорский В.П.Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.
6. Прудников А.П.Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1981.
Оглавление
Введение
Глава 1. Ряды Фурье
§ 1. Векторныепространства
§ 2. Скалярноепроизведение и норма функций
§ 3. Ортогональныесистемы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье
§ 4. Сходимость всреднем. Равенства Парсеваля
§ 5. Тригонометрическийряд Фурье на промежутке [–L,L]
§ 6. Сходимостьтригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле
§ 7. Разложение втригонометрические ряды четных и нечетных функций
§ 8. Ряд Фурье дляфункции, заданной на промежутке [0,L]
§ 9. Ряды Фурье длякомплексных функций
§ 10. Комплексная форматригонометрического ряда Фурье
Глава 2. Интеграл Фурье
§ 11. Сходимостьинтеграла Фурье
§ 12. ПреобразованиеФурье
§ 13. Основные сведенияиз теории преобразования Фурье
Глава 3. Операционноеисчисление
§ 14. ПреобразованиеЛапласа
§ 15. Изображенияпростейших функций
§ 16. Основные теоремыоперационного исчисления
§ 17. Формула разложенияХевисайда
§ 18. Операторный методрешения дифференциальных уравнений
§ 19. Приложения
Примеры длясамостоятельного решения
Ответы
Рекомендательныйбиблиографический список