Зміст
Вступ
1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методомЖордана-Гауса
2. Метод Гауса
3. Метод Жордана-Гауса
Висновки
Список використаних джерел
/>Вступ
При розв’язуваннісистеми лінійних алгебраїчних рівнянь можливі такі випадки:
а) система маєєдиний розв’язок;
б) система маєбезліч розв’язків;
в) система не має розв’язків.
У випадках а) і б)систему називають сумісною, а у випадку в) — несумісною.
Якщо системасумісна і має єдиний розв’язок то її називають визначеною, а коли безлічрозв’язків — невизначеною. Випадок, коли система має кінцеве число розв’язківбільше одного неможливий.
Позначимо через /> матрицюсистеми.
/>.
Через /> позначимоматрицю, яка одержується із матриці /> шляхом приєднання стовпцявільних членів
/>.
Матрицю /> називаютьрозширеною матрицею системи (1).
Для того, щобсистема рівнянь із /> невідомих і /> рівняньбула сумісною необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи /> дорівнюваврангу розширеної матриці />:
/>.
Зауваження. У випадку сумісності системи система має єдиний розв’язок (визначена),коли /> інескінченну кількість розв’язків (невизначена), коли />, де /> - кількістьневідомих.
Однорідна система /> лінійнихрівнянь з /> невідомими має вигляд:
/>
Однорідна системазавжди сумісна, так як вона має розв'язок />, який називається нульовим аботривіальним.
Якщо визначниксистеми />, то тривіальний розв’язокбуде єдиним розв’язком системи (3). Відмітимо, що ранг матриці системи і рангрозширеної матриці рівні.
Якщо />, тодіранг матриці системи і ранг розширеної матриці системи (3) менше числа />. Припустимо,що вони дорівнюють />. Тоді система (3) маєнескінченну множину розв’язків
/>,
де /> - довільнедійсне число, а /> - алгебраїчні доповненняелементів />-го рядка матриці системи. Дійсно,підставляючи ці числа в ліві частини рівнянь системи (3), одержимо:
/>
Рівняння системиперетворились в тотожності, так як якщо />сума
/>
дорівнює нулеві (цясума є сумою добутків елементів />-го рядка визначника наалгебраїчні доповнення другого />-го рядка визначника). Якщо /> сума
/>
також дорівнюєнулеві, так як вона дорівнює визначнику системи />, який дорівнює нулеві.
Відмітимо, що припобудові розв’язку системи беруться алгебраїчні доповнення того рядка, де хочби одне із /> не дорівнювало б нулю.
/>1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса
1. Основніозначення та результати
Розглянемо системуm лінійних рівнянь з n невідомими:
/> (1)
Означення. Розв’язком системи (1) називається сукупність значень невідомих
/>
що задовольняютьусі рівняння системи (1).
Означення. Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має принаймніодин розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.
Система рівняньназивається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок, і невизначеною, якщовона має безліч розв’язків.
Дві системирівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожнийрозв’язок однієї системи є розв’язком іншої системи або якщо ці системи рівняньнесумісні.
У результатіеквівалентних перетворень системи рівнянь завжди дістаємо рівносильну системурівнянь. До еквівалентних перетворень системи належать:
1) переставленнямісцями рівнянь;
2) множення абоділення рівнянь на число, що не дорівнює нулю;
3) додавання додеякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.
Будь-який методрозв’язування системи рівнянь (1) передбачає виконання еквівалентних їїперетворень, завдяки яким вона зводиться до такого вигляду, що розв’язок уже легкознайти.
Запишемовектори-стовпці
/>. (2)
Для того щобсистема рівнянь (1) була сумісною, тобто мала принаймні один розв’язок,необхідно і достатньо, щоб вектор />був лінійною комбінацією векторів />, тобто щобранг r системи векторів /> дорівнював рангу розширеноїсистеми векторів />.
Звідси дістаємоумову Кронекера-Капеллі сумісності системи рівнянь.
Для того щобсистема (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг r матриці
/> (3)
/>
дорівнював рангурозширеної матриці
/>.
Нехай системарівнянь (1) сумісна, тобто виконується рівність
/>.
Якщо, />, то всі рівняння системи (1)лінійно незалежні. У матриці А візьмемо мінор порядку />, відмінний від нуля. Цеймінор називається базисним.
Очевидно, що вибірбазисного мінора неоднозначний. Якщо />, торівняння, коефіцієнти яких входять до базисного мінора, лінійно незалежні,причому решта /> рівнянь єлінійними комбінаціями лінійно незалежних рівнянь.
Якщо />, то всі шукані змінні /> визначаються єдиним чином.Якщо />, то змінні, коефіцієнтипри яких входять до базисного мінора, називаються базисними.
Решту зміннихназивають вільними. Значення таких змінних можна вибирати довільно. Якщо вільнізмінні вибрано, то базисні змінні можна вибрати єдиним чином. Якщо вільніневідомі дорівнюють нулю, то відповідний розв’язок системи (1) називаєтьсябазисним.
Розглянемооднорідну систему рівнянь, що відповідають системі (1):
/> (4)
Вона сумісна, бозавжди має нульовий розв’язок /> />. Якщо />, то система (4) має єдинийнульовий розв’язок. Якщо />, тосистема (4) має /> лінійнонезалежних ненульових розв’язків:
/>. (5)
Будь-яка лінійнакомбінація розв’язків
/> (6)
також є розв’язкомсистеми рівнянь (4).
Якщо всі розв’язки(5) лінійно незалежні, тобто ранг матриці
/>
дорівнює (/>), то система розв’язків (5)називається фундаментальною.
Будь-якийрозв’язок системи рівнянь (4) можна подати у вигляді (6), тобто у вигляділінійної комбінації розв’язків (5), які утворюють фундаментальну системурозв’язків.
При цьомурозв’язок (6) системи рівнянь (4) називається загальним розв’язком однорідноїсистеми (4). Загальний розв’язок системи (1) є сумою деякого частинногорозв’язку цієї системи, наприклад базисного розв’язку, і загального розв’язкуоднорідної системи рівнянь (4).
Приклад. Розглянемосистему п’яти лінійних рівнянь з чотирма невідомими
/> (7)
Можнапереконатися, що ранг матриці коефіцієнтів і ранг розширеної матриці дорівнюютьr = 2. За базисний мінор візьмемо визначник
/>,
елементи якоговходять до перших двох рівнянь і є коефіцієнтами при />. Отже, базисниминевідомими є />, вільними невідомими — />.
Замість системи (7)можна розв’язати систему, утворену з двох перших рівнянь:
/> (8)
Візьмемо вільніневідомі /> і />, а далі знайдемо базиснийрозв’язок системи рівнянь (7): />.
Вважаючи х3і х4 довільними змінними, із системи рівнянь
/>
знайдемо розв’язки
/>
Нехай />, де С1, С2 — довільні сталі. Тоді загальний розв’язок
/>
Запишемо одноріднусистему рівнянь
/> (9)
Вона має лінійнонезалежні розв’язки:
/>
які утворюютьфундаментальну систему розв’язків системи (5).
Отже, системарівнянь (7) має загальний розв’язок
/>
де С1, С2- довільні сталі.
Загальнийрозв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь подається не в одному й томусамому вигляді.
2. Метод Гауса
Метод Гаусарозв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовномувиключенні змінних і перетворенні системи рівнянь
/> (1)
до трикутноговигляду
/> (2)
Припустимо, що всистемі (1) коефіцієнт />. Якщо ця умова не виконується, тона перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова />.
За допомогоюпершого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:
/>
Іноді вводятьконтрольний стовпець />, що дає змогувиявляти помилки. Поділивши перший рядок на а11, позначимо
/>.
Далі перший рядокмножимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31і віднімаємо від третього рядка і т.д. Позначивши
/>,
дістанемо таблицюкоефіцієнтів:
/>
Для невідомих /> маємо систему /> рівнянь. Міркуючи, як іраніше, виключимо х2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цьогоспочатку поділимо другий рядок на />. Якщокоефіцієнт />, то переставимо рівняннятак, щоб виконувалася умова />.
Позначивши
/>,
помножимо другийрядок послідовно на /> і віднімемо відтретього рядка; на /> і віднімемо відчетвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:
/>
Продовжуючи процесвиключення невідомих, дістаємо нарешті таблицю:
/>
Таблицякоефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналівсі елементи />. Запишемо відповіднусистему рівнянь:
/> (3)
/>
Цю системурозв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходять /> і підставляють впередостаннє рівняння, з якого визначають />, і т.д.
Якщо системарівнянь з n невідомими має єдиний розв’язок, то ця система завжди можебути перетворена до трикутного вигляду.
Приклад. Знайдеморозв’язок системи рівнянь
/>
за методом Гауса.
Складемо таблицю
/>
Перший рядоквіднімемо від другого. Далі помножимо перший рядок на другий і віднімемо відтретього рядка. Дістанемо таблицю
/>
Помножимо другийрядок на третій і додамо до третього рядка:
/>
Поділивши останнєрівняння на 14, дістанемо систему
/>
Послідовнознайдемо: />. ·
У загальномувипадку метод Гауса застосовується для дослідження та розв’язування системирівнянь з n невідомими
/> (4)
Утворимо таблицюкоефіцієнтів:
/>
Скориставшисьметодом виключення Гауса і переставивши перші n стовпців, перетворимотаблицю до такого вигляду:
/>
/>.
Якщо хоча б одиніз коефіцієнтів /> відмінний віднуля, то система рівнянь (4) несумісна і не має розв’язків. Якщо всікоефіцієнти />, то система рівнянь (4) сумісна.У такому разі маємо r базисних невідомих, що відповідають першим rстовпцям, решта /> невідомих є вільними.
Приклад. Знайдеморозв’язок системи рівнянь
/> (5)
Утворимо таблицюкоефіцієнтів системи:
/>
Помноживши перший рядокна 2, віднімемо його від другого рядка. Потім перший рядок віднімемо відтретього й дістанемо таблицю:
/>
Віднімемо другийрядок від третього й запишемо таблицю
/>,
яка відповідаєнесумісній системі рівнянь.
Система рівнянь (5)не має розв’язків. Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь:
/> (6)
Утворимо таблицюкоефіцієнтів:
/>
Виключившиневідомі х1 за допомогою першого рядка, дістанемо таблицю:
/>
Віднявши другий ітретій рядки від четвертого, дістанемо таблицю:
/>
Система рівняньсумісна, але розв’язок не є єдиним. Поміняємо місцями третій і п’ятий стовпці. Тодімаємо:
/>
Цій таблицівідповідає система рівнянь
/>
Невідомі /> - базисні, невідомі /> - вільні. Із системирівнянь (6) знайдемо загальний розв’язок:
/>
де С1 і С2- довільні сталі. ·
3. Метод Жордана-Гауса
МетодЖордана-Гауса є модифікацією методу Гауса і часто застосовується в економічнихрозрахунках. Сутність методу полягає в тому, що кожне невідоме виключається нетільки з розміщених нижче, а з усіх рівнянь. У такому разі зростає обсягобчислень. Якщо система n рівнянь з n невідомими
/> (1)
має єдиний розв’язок,то вона перетворюється до вигляду
/>.
Приклад. Знайдеморозв’язок системи рівнянь
/>
Утворимовідповідну таблицю коефіцієнтів:
/>
Поділивши першийрядок на 2, дістанемо таблицю:
/>
Перший рядокдодамо до другого. Далі помножимо перший рядок на 3 і віднімемо від третьогорядка. Утворимо таблицю:
/>
Поділимо другийрядок на 7/2:
/>
Помножимо другийрядок на 1/2, віднімемо від першого рядка і додамо до третього. Дістанемо:
/>
Поділивши третійрядок на 4/7, запишемо:
/>
Помножимо третійрядок на 4/7 і віднімемо від першого рядка.
Далі помножимотретій рядок на 1/7 і додамо до другого, утворивши заключну таблицю:
/>
Звідси знаходиморозв’язок />.
МетодЖордана-Гауса застосовується також для розв’язування складних систем mрівнянь з n невідомими:
/> (2)
Якщо ранг матрицікоефіцієнтів при невідомих дорівнює r, то таблиця коефіцієнтів набираєвигляду:
/> (3)
Якщо хоча б одиніз членів /> відмінний від нуля, тосистема рівняння несумісна. Якщо />, тосистема сумісна і має m базисних невідомих, які відповідають першим rстовпцям і /> вільним невідомим.
Приклад. Знайдемометодом Жордана-Гауса розв’язок системи рівнянь
/>
Утворимо таблицюкоефіцієнтів системи:
/>
Перший рядоквіднімемо від другого, далі перший рядок помножимо на 2 і віднімемо відтретього. Остаточно дістанемо:
/>
Другий рядокпомножимо на -2 і віднімемо від першого рядка. Третій рядок віднімемо відпершого. У результаті запишемо таблицю:
/>
Підставивши другийстовпець на останнє місце, дістанемо таблицю виду (3):
/>
Невідомі /> - базисні,невідоме х2 — вільне. Відповідна система рівнянь така:
/>
Її загальнийрозв’язок:
/>
де С — довільнастала.
Досі ми розглядалилише навчальні приклади зі сталими коефіцієнтами й цілочисловими розв’язками. Розглянемоскладніший приклад.
Приклад. Розв’яжемоза методом Жордана-Гауса систему
/>
Утворимо таблицюкоефіцієнтів:
/>
Поділивши першийрядок на 21, дістанемо таблицю:
/>
Помножимо першийрядок на 2 і віднімемо від другого. Далі перший рядок помножимо на 4 і віднімемовід третього:
/>
Поділимо другийрядок на 7,142857142:
/>
Помножимо другийрядок на 0,571428571 і додамо до першого рядка; далі помножимо другий рядок на2,714285716 і додамо до третього:
/>
Поділимо третійрядок на 12,72666667:
/>
Помножимо третійрядок на 0,04 і додамо до першого рядка; потім помножимо третій рядок на0,486666667 і додамо до другого рядка:
/>
Звідси дістанеморозв’язок:
х1 = 0,449973808, х2 =0,308014618, х3 = 0,249345207,
який можнаокруглити згідно з точністю початкових даних.
/>Висновки
МетодЖордана-Гауса називають також методом послідовного виключення невідомихсистеми. Ідея методу Гауса полягає в наступному: за допомогою елементарнихперетворень система приводиться до ступінчатої системи наступного вигляду
/>
де />.
Якщо />, тоступінчату систему називають трикутною, якщо />, то систему називають трапецевидною.
Ступінчату системулегко дослідити сумісна вона чи ні. Якщо ступінчата система містить хоч би однерівняння виду />, то система несумісна.
Елементарніперетворення зручно виконувати не над самою системою (1), а над її розширеноюматрицею. Слід звернути увагу, щоб елементарні перетворення над розширеноюматрицею співпадали з елементарними перетвореннями над системою. Так,наприклад, не можна до елементів стовпця матриці додавати відповідно елементидругого стовпця, помножені на деяке число, так як такого елементарногоперетворення системи не існує.
Трикутна системамає єдиний розв’язок. Із останнього рівняння знаходимо />, потім,підставляючи його значення в попереднє рівняння, знаходимо />. Далі аналогічнимшляхом знаходимо />.
Трапецевиднасистема має нескінченну множину розв’язків. В цьому випадку змінні /> вважаютьсявільними і їх переносимо в праві частини рівнянь, тоді головні змінні /> впроцесі розв’язку системи будуть лінійними функціями змінних />.
Слід відмітити, щометод Гауса застосовується і для розв’язку однорідних систем у випадку, коли /> і рангматриці системи менше />, а також для розв’язкусистем, у яких число рівнянь більше числа невідомих.
МетодЖордана-Гауса полягає у зведенні системи до діагонального вигляду. Отримуємоодразу значення всіх (якщо система визначена) або базисних (якщо системаневизначена) невідомих змінних.
Якщо в отриманомурозв'язку сумісної невизначеної системи надати довільні числові значення незалежнимневідомим і обчислити залежні, то отримаємо частинний розв'язок системи.
/>Списоквикористаних джерел
1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. — К.: А.С.К., 2006. — 648 с.
2. Зеленський К.Х. Вища математика. — К.: Університет «Україна»,2006. — Ч.2 — 212 с.
3. Коваленко І.П. Вища математика. — К.: Вища школа, 2006. — 343 с.
4. Лавренчук В.П., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С. Вища математика.- Вид. 3-тє, випр. — Чернівці: Рута, 2007. — 175с.
5. Макаренко В.О. Вища математика для економістів. — К.: Знання, 2008. — 517с.
6. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. — К.: Техніка,2007. — 600c.