Задача1
Решить систему линейных уравнений двумя способами: поформулам Крамера и методом Гаусса
/>
Решение:
1) решимнеоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера
/>
Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D1, D2, D3, если они неравны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
/>
/>
/>
Система 3 линейных уравнений с 3неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеетединственное решение, вычисляемое по формулам:
/> /> />
Ответ: получили решение: />
2) решим неоднородную систему линейных алгебраическихуравнений Ах = В методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы
/>
Примем первую строку за направляющую, а элемент а11= 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первомстолбце.
/>
Матрице /> соответствуетмножество решений системы линейных уравнений />
Ответ: получили решение: />
Задача2
Даны координаты вершин треугольника АВС
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до0,01
4) уравнениемедианы АЕ;
5) уравнениеи длину высоты CD;
6) уравнениепрямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М еепересечения с высотой CD;
7) уравнениеокружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Построитьзаданный треугольник и все линии в системе координат.
А(1; -1), В(4;3). С(5; 1).
Решение
1) Расстояние между точками А(х1; у1)и В(х2; у2) определяется по формуле
/>
воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;
/>
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1;у1) и В(х2; у2) имеет вид
/>
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:
/>
Угловой коэффициент kАВ прямой АВнайдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловымкоэффициентом у = kx— b.
У нас />, тоесть /> откуда />
Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловойкоэффициент.
Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:
/>
Угловой коэффициент kВС прямой ВСнайдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловымкоэффициентом у = kx— b.
У нас />, тоесть />
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до0,01
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольникавоспользуемся формулой:
/>
Отметим, что порядок вычисления разности угловыхкоэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимногорасположения прямых АВ и ВС.
Подставив ранее вычисленные значения kВС и kАВ в (3), находим:
/>
Теперь, воспользовавшись таблицами инженерныммикрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.
4) уравнениемедианы АЕ;
Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначалакоординаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС
/> />
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнениемедианы:
/>
5) уравнение и длину высоты CD;
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданнуюточку М(х0; у0)с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид
/>
и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kABkCD = -1, откуда kCD = -1/kAB = — 3/4
Подставив в (4) вместо k значение kСD = -3/4, а вместо x, yответствующие координаты точки С,получим уравнение высоты CD
/>
Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0;у0) до заданной прямой с уравнением Ax + By + С = 0, которая имеет вид:
/>
Подставив в (5) вместо х0; у0координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем
/>
6) уравнениепрямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М еепересечения с высотой CD;
Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF = kAB = 4/3. Подставив в уравнение (4)вместо х0; у0 координаты точки Е, а вместо kзначение kEF получаем уравнение прямой EF'.
/>
Для отыскания координат точки М решаем совместно уравненияпрямых EF и CD.
/>
Таким образом,М(5,48; 0,64).
7) уравнениеокружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходитчерез вершину В(4; 3), то ее радиус
/>
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0(х0;у0) имеет вид
/>
Имеем/>
Треугольник АВС, высота СD, медиана AE,прямая EF, точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.
/>
Рис. 1
Задача 3
Составитьуравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равнорасстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координатРешение
Пусть М (x, у) — текущаяточка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB, то
/>
Pиc. 2
/>
/>
/>
/>
/>
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точкеС(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).
Задача 4
Найти указанные пределы:
а) />
/>
Ответ: />
б)/>
/>
Ответ: />
Задача 5
Найти производные dy/dx, пользуясь правилами и формуламидифференцирования
Решение:
а)/>
/>
/>
Ответ: />
б)/>
/>
/>
/>
/>
Ответ: />
в) />
/>
/>
/>
Ответ: />Задача 6
Исследоватьзаданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
а) />; б) />Решение
а) />
1) Областью определения данной функции являются вседействительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х: хÎ(-¥, +¥)}, а это значит, что функциянепрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности.С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
/>
/>
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том,что функция имеет две критические точки первого рода х1 = 1, х2= 2.
Разбиваем областьопределения этими точками на части и по изменению в них знака производнойфункции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:х (-¥; 1) 1 (1; 2) 2 (2; ¥) f ’(x) + - + f(x)
/> max
/> min
/>
/>
/>
3) Определим точкиперегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этогонайдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
/>/>
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х =-1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой изкоторых установим знак второй производной:х (-¥; 1,5) 1,5 (1,5; ¥) f ‘’(x) - + f(x) Ç т. п. È
Значение х = 1,5 является абсциссой точки перегиба графикафункции, а ордината этой точки:
/>
4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Дляопределения параметров уравнения асимптоты y = kx – b воспользуемся формулами
/>
/>
Таким образом, уграфика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) построим график функции
/>
б)/>
1) Областью определения данной функции являются значенияаргумента х
D(y) = хÎ(-¥, 0) È (0, +¥).
2) Исследование на непрерывность и классификация точекразрыва
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0.Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
/>
/>
Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0– вертикальная асимптота.
3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности.С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
/>
Следовательно, функция не имеет критических точек первогорода.
Так как y’
4) Определим точкиперегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этогонайдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
/>
Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем областьопределения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной:х (-¥; 0) (0; ¥) f ‘’(x) - не существует + f(x) Ç не существует È
5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Дляопределения параметров уравнения асимптоты y = kx + b воспользуемся формулами
/>
/>
Таким образом, уграфика заданной функции есть наклонная асимптота
y = 0*x + 1 = 1.
6) построим график функции
/>