Вариант 1
№ 1
Три стрелка делают поодному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равнысоответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.
Найти вероятности того,что:
а) все три стрелкапопадают в цель;
б) только один из нихпопадает в цель;
в) хотя бы один стрелокпопадает в цель.
Обозначим события: А –все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С –хотя бы один стрелок попадает в цель.
Вероятности промаховравны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.
а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.
б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7= 0,092.
в) Событие />– все три стрелка промахиваются.Тогда
Р(С) = 1 – Р(/>) = 1 – 0,1∙0,2∙0,3= 1 – 0,006 = 0,994.
№ 11
Вероятность наступлениясобытия в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найтивероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас n достаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02= 3 . Таким образом, />
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Хопределить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднееквадратическое отклонение σ(Х).
хі 1 2 3 4 5
рі 0,05 0,18 0,23 0,41 0,13
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хірі = 0,05 + 2∙0,18 +3∙0,23 + 4∙0,41+ 5∙0,13 = 3,39.
i=1
5
D(X) = ∑ xi²pi – M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 +4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1
1,1579.
/>/>σ(Х) = √D(X) = √1,1579= 1,076.
№ 31
Случайная величинаХ задана интегральной функцией/>
а) дифференциальнуюфункцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическоеожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
/>;
г) построить графики функцийF(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) /> ;
/>
в) Р(a = F(1) – F/>= />– 0 = />.
Графики функций поданыдалее.
/>
/>
№ 41
Определить вероятностьтого, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащееинтервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднееквадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10;σ = 4.
Используем формулу Р(α
Имеем: Р(2 = Ф/>–Ф(–2).
Поскольку функцияЛапласа есть нечетная, можем записать:
Ф/>– Ф(–2) = Ф/>+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.
№ 51По данномустатистическому распределению выборки
хі 4 5,8 7,6 9,4 11,2 13 14,8 16,6
mі 5 8 12 25 30 20 18 6
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочнуюдисперсию; в)выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введёмусловную переменную
/>, где С – одно из значений хі,как правило, соответствующее наибольшему значению mі, а h – это шаг (у нас h = 1,8).
Пусть С = 11,2. Тогда />.
Заполним таблицу:
xi
mi
xi´
ximi
(xi´)²mi 4 5 – 4 – 20 80 5,8 8 – 3 – 24 72 7,6 12 – 2 – 24 48 9,4 25 – 1 – 25 25 11,2 30 13 20 1 20 20 14,8 18 2 36 72 16,6 6 3 18 54 ∑ = 124 ∑ = – 19 ∑ = 371
Используя таблицу, найдём/>;
/>D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² = /> – (– 0,1532)² =2,9685.
Теперь перейдем кфактическим значениям х и D(x):
_
x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;
/>/>σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.
№ 61
По даннойкорреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.
/>
у х 6 9 12 15 18 21
ny 5 4 2 6 15 5 23 28 25 18 44 5 67 35 1 8 4 13 45 4 2 6
nx 4 7 42 52 13 2 n = 120
Для упрощениярасчетов введем условные переменные
u = />, v = />. Составим таблицу:v u – 3 – 2 – 1 1 2
nv
nuvuv – 2
4 6
2 4 6 32 – 1
5 2
23 1 28 33
18 0
44 0
5 0 67 1
1 –1
8 0
4 1 13 3 2
4 2
2 4 6 16
nu 4 7 42 52 13 2 n = 120 ∑ = 84
Последовательно получаем:
/>;
/>;
/>;
/>;
/>/>σu² = />– (u)² = 1,058 – (– 0,425)² = 0,878; σu = √0,878 = 0,937;
/>/>σv² = />–(v)² = 0,742 – (– 0,125)² =0,726; σv = √0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённойвыше, получаем ∑nuvuv = 84.
Находим выборочный коэффициенткорреляции:
/>
Далее последовательно находим:
x = u∙h1 + C1 = – 0,425∙3 + 15 = 13,725; y = v∙h2 + C2 = – 0,125∙10 + 25 = 23,75;
σx = σu∙h1 = 0,937∙3 = 2,811; σy = σv∙h2 = 0,8521∙10 = 8,521.
Уравнение регрессии вобщем виде: /> Таким образом,
/> упрощая, окончательно получим искомое уравнениерегрессии: />
Необходимо произвестипроверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значенияхх.
1) при х = 12 по таблице имеем
/>
по уравнению:
ух=12 = 2,457∙12– 9,968 = 19,516; ε1 = 19,762 – 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблице имеем
/>
по уравнению:
ух=18 = 2,457∙18– 9,968 = 34,258; ε2 = 34,258 – 34,231 = 0,027.
Отмечаем хорошеесовпадение эмпирических и теоретических данных.
Вариант2
№ 2
Для сигнализацииоб аварии установлены 3независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равнысоответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85.Найти вероятности срабатывания при аварии:
а) только одногоустройства;
б только двух устройств;
в) всех трёх устройств.
Обозначим события: А –срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С –срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания)соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда
а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 +0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.
б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85= 0,24725.
в) Р(С) = р1р2р3= 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.
№ 12
В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того,что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.
По условию />n = 50, k = 3. Поскольку рмалó, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 .
Таким образом, />
№ 22
По данному закону распределения дискретной случайной величины Хопределить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднееквадратическое отклонение σ(Х).
хі
2 3 4 5 8
рі 0,25 0,15 0,27 0,08 0,25
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хірі = 2∙0,25 + 3∙0,15+ 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.
i=1
5
D(X) = ∑ xi²pi – M² = 2²∙0,25+ 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25– 4,43² /> і=1
= 5,0451.
/>σ(Х) =√D(X) = √5,0451 = 2,246.
№ 32Случайная величинаХ задана интегральной функцией />
а) дифференциальнуюфункцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическоеожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
/>;
г) построить графикифункций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) /> ;
/>
в) Р(a = F(1) – F/>= />
Графики функцийприводятся далее.
/>/>
/>/>
№ 42
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Хпримет значение, принадлежащее интервалу (α;β) если известныматематическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные:α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.
Используя формулу /> имеем
/>
Посколькуфункция Лапласа есть нечетная, можем записать:
/>
№ 52
По данному статистическомураспределению выборки
хі 7,6 8 8,4 8,8 9,2 9,6 10 10,4
mі 6 8 16 50 30 15 7 5
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочноесреднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введёмусловную переменную />
где С – одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі, а h – это шаг (у нас h = 0,4).
Пусть С = 8,8. Тогда />
Заполним таблицу:
xi
mi
xi´
ximi
(xi´)²mi 7,6 6 – 3 – 18 54 8 8 – 2 – 16 32 8,4 16 – 1 – 16 16 8,8 50 9,2 30 1 30 30 9,6 15 2 30 60 10 7 3 21 63 10,4 5 4 20 80 ∑ = 137 ∑ = 51 ∑ = 335
Используя таблицу, найдём
/>;
/>D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² = /> – 0,3723² = 2,3067.
Теперь перейдем кфактическим значениям х и D(x):
x = x´h + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x´)∙h² = 2,3067∙0,4² = 0,3961;
/>/>σ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075.
№ 62По данной корреляционнойтаблице
/>
у х 4 8 12 16 20 24
ny 10 2 5 7 20 6 8 4 18 30 8 46 10 64 40 5 20 4 29 50 3 14 2 5 22
nx 2 19 62 48 6 3 n = 140
найти выборочное уравнениерегрессии.Для упрощения расчетов введём условные переменные
/> Составим таблицу.
/>v u – 2 – 1 1 2 3
nv
nuvuv – 2
2 4
5 2 7 18 – 1
6 1
8 0
4 –1 18 2
8 0
46 0
10 0
64 1
5 0
20 1
4 2 29 28 2
3 0
14 2
2 4
5 6 22 66
nu 2 19 62 48 6 3 n = 140 ∑ = 114
Последовательно получаем:
/>;
/>;
/>;
/>;
/>/>σu² = />– (u)² = 0,9 – 0,329² = 0,792; σu = √0,792 = 0,89;
/>/>σv² = />–(v)² = 1,164 – 0,293² =1,079; σv = √1,079 = 1,0385;
По таблице, приведённойвыше, получаем ∑nuvuv = 114.
Находим выборочный коэффициенткорреляции:
/>
Далее последовательно находим:
x = u∙h1 + C1 = 0,329∙4 + 12 = 13,314; y = v∙h2 + C2 =0,293∙10 + 30 = 32,929;
σx = σu∙h1 = 0,89∙4 = 3,56; σy = σv∙h2 = 1,0385∙10 = 10,385.
Уравнение регрессии в общемвиде: /> Таким образом,
/> упрощая, окончательно получим искомое уравнениерегрессии: />
Необходимо произвестипроверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значенияхх.
1) при х = 12 по таблицеимеем />
по уравнению: ух=12= 2,266∙12 + 2,752 = 29,944; ε1 = 30,484 – 29,944 = 0,54;
2) при х = 16 по таблицеимеем />
по уравнению: ух=16= 2,266∙16 + 2,752 = 39,008; ε2 = 39,167 – 39,008 =0,159.
Отмечаем хорошеесовпадение эмпирических и теоретических данных.