Функциональные ряды (ФР). Степенныеряды (СтР)
Функциональный ряд– ряд вида
/>,
члены которого являются функциями от х.
Придавая х различные числовые значения, получаем различныечисловые ряды, которые могут сходиться или расходиться.
Совокупность тех значений х, при которых ФР сходится,называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости ФР чащевсего служит какой-нибудь промежуток оси ОХ.
Частным случаем ФР является степенной ряд.
СтР – ФР вида
/>,
где а, С0, С1,…, Сn – постоянные числа,называемые коэффициентами ряда. При а=0 СтР принимает вид:
/>
Для всякого СтР существует такой интервал, которыйназывается интервалом сходимости, внутри которого ряд сходится абсолютно; внеэтого интервала ряд расходится.
Задан СтР, надо найти интервал сходимости для этого ряда.Находим так:
/> — радиуссходимости ряда СтР.
-R
a-R
Если взять любое значение х из интервала сходимости(расходимости) и подставить его в СтР вместо х, то получим сходящийся(расходящийся) числовой ряд.
В частном случае R может быть равен0 (R=0) или />(R=/>).
Если R=/> тоинтервал сходимости будет от -/> до +/> (-/>;+/>), т.е. ряд сходится навсей числовой оси.
Если R=0 то ряд расходится на всейчисловой оси, кроме точки х=а (в этой точке ряд сходится).
Для нахождения R СтР применяемформулы Да Ламбера или Коши:
/> - формула ДаЛамбера
/> — формула Коши
На концах интервала сходимости, т.е. в точках х=а-R и х=а+R вопрос осходимости/расходимости данного ряда решается индивидуально для каждогоконкретного ряда. Для этого необходимо подставить с СтР вместо х числа х=а-R и х=а+R и исследовать полученныечисловые ряды на сходимость или расходимость. Если ряд сходится (расходится),то интервал сходимости будет закрытым (открытым).
ИТОГ. Задан СтР. Найти интервал сходимостиСтР.
1. Найти R. 2. определить интервалсходимости. 3. исследовать на сходимость концы интервалов.
Ряды Тейлора и Макларена
Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале /> (т.е. a-Rх-а, который называется рядом Тейлора и имеетвид:
/>
Это равенство справедливо лишь в том случае, если остаточныйчлен (остаток ряда) формулы Тейлора стремится к нулю (Rn(x)/>0) принеограниченном возрастании n (/>), т.е. />.
В этом случае написанный справа ряд сходится и его суммаравна данной функции f(x).
f(x)=Sn(x)+Rn(x) /> Rn(x)=f(x)-Sn(x)
Sn(x)-суммапервых членов; Rn(x)-остатокряда.
Для оценки остатка ряда можно пользоваться формулой:
/>
остаток ряда в формуле Ла-Гранда, где «с» заключено между«а» и «х» (а
Если в ряде Тейлора а=0, то ряд примет вид:
/>
Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Макларена.
1. Разложим в ряд Макларена (то есть по степеням х)функцию ex.
Получаем разложение функции в ряд Макларена.
f(x)=ex, f’(x)=ex,…,f(n)(x)=ex,…; a=0, f(0)=1, f’(0)=1,… f(n)(0)=1
Получаем разложение функции f(x)=ex в ряд Макларена:
I. />
a=0, Cn=1/n!
/>
Приведем разложение в ряд Макларена следующих функций.
II. />
III. />
IV. />
V. />
Приближенные вычисления значений спомощью рядов.
ПРИМЕР. Вычислить с точностью до 0,001 число />.
/>;
/>;
/>;
e1/2=1+0.5+0.125+0.0208+0.0026+0.0003=1.648
Приближенные вычисления интегралов спомощью рядов.
Пример. Функция />,с точностью до 0,001.
/>/>
Ряды Фурье
Теорема Дерихле: функция f(x) удовлетворяет условиям Дерихлев интервале (а, в), если в этом интервале функция удовлетворяет трем условиям:
1). Равномерно ограничена (при x/>(a;b), т.е. a, M=const).
2). Имеет не более чем конечное число точек разрыва первогорода.
3). Имеет не более чем конечное число точек экстремума.
Теорема Дерихле утверждает, что если функция f(x)удовлетворяет в интервале (/>)условиям Дерихле, то во всякой точке (х) этого интервала функцию f(x) можноразложить в тригонометрический ряд Фурье.
/>
/>,
где an и bn называются коэффициентами Фурье и вычисляютсяпо формулам:
/>
Для разложения функции в ряд Фурье надо вычислитькоэффициенты а0, аn, bn.
Неполные ряды Фурье
Если функция f(x) четная, т.е. f(-x)=f(x), то в формулах (1)bn=0 (n=1,2,…),
/>
Если функция f(x) нечетная, т.е. f(-x)=-f(x), то an=0 (n=0,1,2…), />.
Ряды Фурье периода 2l.
Если f(x) удовлетворяет условиям Дерихле в некотороминтервале (-l;l)длины 2l, то справедливо следующее разложение вряд Фурье:
/>
ряд Фурье периода 2l, т.е. винтервале (-l;l),где коэффициенты вычисляются:
/>
Замечание: в случае разложения функции f(x) в рядФурье в произвольном интервале (a; a+2l) длины 2l пределыинтегрирования в формулах (2), у коэффициентов Фурье нужно заменитьсоответственно на (а) и (a+2l).
/>
Теория вероятностей
Основным понятием в теории вероятностей являются понятия событияи вероятности события, которые бывают трех видов:
-Достоверные- событие, которое обязательно произойдет.
-Невозможное- событие, которое заведомо не произойдет.
-Случайное- событие, которое может либо произойти, либо непроизойти.
События обозначаются буквами А, В, С и т.д.
Вероятность события – буквой Р.
Вероятность события А называется равенство Р(А)=m/n, n-общеечисло возможных элементарных исходов; m-числоэлементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. Следовательно:
1. вероятность достоверного события есть 1 (m=n).
2. вероятность невозможного события есть 0.
3. вероятность случайного события есть положительное число,заключенное между 0 и 1, т.е. 1>=Р(А)>=0. Следовательно, какое бы ни былособытие, его вероятность заключена в промежутке [0;1].
События называются несовместимыми, если появлениеодного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Например, брошена монета. Событие А-выпал герб,В-выпала решка. События А и В – несовместимые, т.к., если при одном бросаниивыпал герб, то решки уже не будет, т.е. несовместимые события не могутпоявиться одновременно. При одном бросании монеты не могут одновременно…
События равновозможны, если нет никаких причинсчитать, что одно из них может наступить чаще чем другое.
Например, появление герба или решки при бросаниимонеты. Или бросании игральных костей. Найти вероятность выпадения 6.Р(А)=1/6-равновозможные несовместимые события.
События образуют полную группу, если в результате испытанияпроизойдет хотя бы одно из них.
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна1.
Например, герб или решка при выпадении.
В дальнейшем при решении многих задач, а так же в некоторыхформулах будет присутствовать понятие из комбинаторики, называемое «сочетание» /> — сочетание из n по m элементов.
/>
число сочетаний из n элементов по m. Это число способов, которыми можно взять mэлементов из n.
Теоремы сложения и умножениявероятностей.
Суммой А+В двух событий А и Вназывается событие, состоящее в появлении события А или В или ихобоих.
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна суммевероятностей этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Эта теорема распространяется и на nслагаемых, когда события попарно несовместимы.
Пример.
В ящике 10 деталей, из которых … окрашены. Взяли 3 детали.Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
А- хотя бы одна окрашена.
Первый способ.
В- одна деталь окрашена (2 не окрашены).
С- две детали окрашены (1 не окрашена).
Д- три детали окрашены.
Интересующее событие произойдет, если произойдет одно изтрех событий В, С или Д.
А=В+С+Д.
Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(Д)=/>=5/6
Второй способ.
Рассмотрим понятие противоположных событий.
Событием, противоположным событию А называется событие />, состоящее вненаступлении события А. Очевидно, что события А и /> несовместны.
Например: А- стрелок поразил мишень; /> — стрелок промахнулся. Вдальнейшем вероятность появления события А будем обозначать р, а вероятностьпоявления противоположного события — q.
Теорема: сумма вероятностей противоположных событийравна 1.
Р(А)+Р(/>)=1 или p+q=1
А- хотя бы одна из деталей окрашена. Тогда /> — ни одна из трех деталейне окрашена.
Р(А)+Р(/>)=1.Р(А)=1-Р(/>)=5/6
Два события называются независимыми (зависимыми),если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или непоявления другого.
Произведением А*В двух событий А и В, называетсясобытие, состоящее в совместном наступлении события А и В.
Теорема умножения вероятностейнезависимых событий.
Вероятностью совместного наступления двух независимыхсобытий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
Эта теорема распространяется и на nсомножителей, когда события попарно независимы.
Пример 1(51).
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятное попадание в мишеньпри одном выстреле равна 0,7 и 0,8 соответств. Найти вероятность того, что приодном залпе в мишень попадет:
А). только 1 из стрелков.
Б). Оба попадут.
В). оба промажут.
A- первый попал. В- второйпопал.
Р(А)=р1=0,7 Р(В)=р2=0,8
/> — первый промах. /> — второй промах.
Р(/>)=q1=0,3 Р(/>)=q2=0,2
А). Р(A)Р(/>)+Р(/>)Р(B)=p1q1+p2q2=0,38
Б). Р(А)*Р(В)=p1*p2=0,56
В). Р(/>)*Р(/>)=q1*q2=0,6.
Проверка: 0,38+0,56+0,6=1.
Пример 2. Пример 3 (55). Пример 4 (56).
Вероятность события А при условии, что произошло событие В,называется условной вероятностью события А и обозначается РВ(А)– вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.
Теорема умножения вероятностейзависимых событий.
Вероятность совместного проявления двух зависимых событийравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго.
Р(А*В)=Р(А)*РА(В)
Р(А*В)=Р(А)*РВ(В)
Вероятность появления хотя бы одногособытия.
Пусть в результате испытаний может произойти n независимых событий А1, А2…, либо некоторые из них Р(А1)=р1,Р(/>)=q1…Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?
Теорема.
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2…,независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведениемвероятностей противоположных событий, т.е.
Р(А)=1-q1q2…qn
Замечание.
Если все события имеют одинаковую вероятность Р, то
Р(А)=1-qn.
Примеры 82, 87, Д/з.
Формула полной вероятности.
События В1, В2,…, Вn являются несовместимыми и образуют полную группу,т.е. Р(В1)+ Р(В2)+…+ Р(Вn)=1.И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В1, В2,…, Вn. Тогда вероятность события А равна сумме вероятностейкаждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.
Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+…+ Р(Вn)РВn(А)
Формула Бейеса
События В1, В2,…, Вn являются несовместимыми и образуют полную группу,т.е. Р(В1)+ Р(В2)+…+ Р(Вn)=1.И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В1, В2,…, Вn. Тогда вероятность события А находится по формулеполной вероятности.
Пусть событие А уже произошло. Тогда вероятности гипотез В1, В2,…, Вn могут быть переоценены по формуле Бейеса:
/>
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом изкоторых событие А может или наступить или не наступить. Вероятность наступления(не наступления) события А одна и та же и равна p (q=1-p).
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие Анаступит ровно к раз (по фиг, в какой последовательности), находится по формулеБернулли:
/>
Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие наступит:
а). Менее к раз Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k-1).
б). Более к раз Pn(k+1)+Pn(k+2)+…+Pn(n).
в). не менее к раз Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n).
Г). не более к раз Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k).
Локальная и интегральная теоремыЛапласа.
Этими теоремами мы пользуемся в том случае, когда n достаточно большое.
Локальная теорема Лапласа
Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие наступит ровно ‘к’ раз, приближенно равно:
/>,
/>
Таблица функций /> дляположительных значений (х) приведена в задачнике Гмурмана в Приложении 1,стр.324-325.
Так как /> четная(/>), то для отрицательныхзначений (х) пользуемся той же самой таблицей.
Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие наступит не менее ‘к’ раз, приближенно равно:
/>,
/>
Функция Лапласа
/>
Таблица функций /> дляположительных значений [5
Так как функция Лапласа нечетная Ф(-х)=-Ф(х), то дляотрицательных значений (х) пользуемся той же самой таблицей, только значенияфункции берем со знаком минус.
Закон распределения вероятностей дискретной случайнойвеличины
Биноминальный закон распределения.
Дискретная – случайная величина, возможные значениякоторой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает сопределенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретнойслучайной величины можно пронумеровать.
Число возможных значений дискретной случайной величины можетбыть конечным или бесконечным.
Дискретные случайные величины обозначаются большими буквамиХ, а их возможные значения – маленькими х1, х2, х3…
Например.
Х – число очков, выпавших на игральной кости; Х принимаетшесть возможных значений: х1=1, х2=1, х3=3, х4=4, х5=5, х6=6 с вероятностямир1=1/6, р2=1/6, р3=1/6 … р6=1/6.
Законом распределения дискретной случайной величиныназывают перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения может быть задан:
1. в виде таблицы.
2. Аналитически — в виде формулы.
3. графически. В этом случае в прямоугольной системекоординат ХОР строятся точки М1(х1, р1), М2(х2, р2), … Мn(хn, рn). Эти точки соединяют отрезкамипрямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Для написания закона распределения дискретной случайнойвеличины (х), надо перечислить все ее возможные значения и найтисоответствующие им вероятности.
Если соответствующие им вероятности находятся по формулеБернулли, то такой закон распределения называется биномиальным.
Пример №168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Числовые значения дискретныхслучайных величин.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичноеотклонение.
Характеристикой среднего значения дискретной случайнойвеличины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайнойвеличины называется сумма произведений всех ее возможных значений на ихвероятности. Т.е. если задан закон распределения, то математическое ожидание
/>
Если число возможных значений дискретной случайной величиныбесконечно, то
/>
Причем ряд, стоящий в правой части равенства, сходитсяабсолютно, и сумма всех вероятностей рi равна единице.
Свойства математического ожидания.
1. М(С)=С, С=пост.
2. М(Сх)=СМ(х)
3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)
4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).
5. Для биноминального закона распределения математическоеожидание находится по формуле:
М(х)=n*р
Характеристикой рассеяния возможных значений случайновеличины вокруг математического ожидания служат дисперсия и среднееквадратичное отклонение.
Дисперсией дискретной случайной величины (х) называютматематическое ожидание квадрата отклонения. Д(х)=М(х-М(х))2.
Дисперсию удобно вычислять по формуле: Д(х)=М(х2)-(М(х))2.
Свойства дисперсии.
1. Д(С)=0, С=пост.
2. Д(Сх)=С2Д(х)
3. Д(х1+х2+…+хn)=Д(х1)+Д(х2)+…+Д(хn)
4. Дисперсия биноминального закона распределения
Д(х)=nрq
Средним квадратичным отклонением случайной величиныназывают квадратный корень из дисперсии.
/>
примеры. 191, 193, 194, 209, д/з.
Интегральная функция распределения(ИФР, ФР) вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ). Непрерывная– величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного илибесконечного промежутка. Число возможных значений НСВ есть/>и его невозможноперенумеровать.
Например.
Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле, есть НСВ.
ИФР называют функцию F(x), определяющую для каждого значениях вероятность того, что НСВ Х примет значение Х
Часто вместо ИФР говорят ФР.
Геометрически, равенство F(x)=Р(X
Свойства ИФ.
1. Значение ИФ принадлежит промежутку [0;1], т.е. F(x)/>.
2. ИФ есть неубывающая функция, т.е. х2>х1,/>.
Следствие 1. Вероятность того, что НСВ Х примет значение,заключенное в интервале (а; в), равна приращению интегральной функции на этоминтервале, т.е.
P(a
Следствие 2. Вероятность того, чтоНСВ Х примет одно определенное значение, например, х1=0, равна 0, т.е.Р(х=х1)=0.
3. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а; в), то F(x)=0при xв.
Следствие 3. Справедливы следующие предельные отношения.
Дифференциальная функцияраспределения (ДФР) вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ)(плотность вероятности).
ДФ f(x) распределения вероятностей НСВ называютпервую производную от ИФР:
f(x)=F’(x)
Часто вместо ФДР говорят плотность вероятности (ПВ).
Из определения следует, что, зная ИФ F(x) можно найти ДФ f(x).Но выполняется и обратное преобразование: зная ДФ f(x), можно найти ИФ F(x).
/>;
/>;
/>
Вероятность того, НСВ Х примет значение, принадлежащее(а; в), находится:
А). Если задана ИФ – следствие 1.
Б). Если задана ДФ
/>
Свойства ДФ.
1. ДФ – не отрицательная, т.е. />.
2. несобственный интеграл от ДФ в пределах (/>), равен 1, т.е. />.
Следствие 1. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат(а; в), то />.
Примеры. №263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/з.
Числовые характеристики НСВ.
1. Математическое ожидание (МО) НСВ Х, возможныезначения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется по формуле:
/>
Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а; в), то МОопределяется по формуле:
/>
Все свойства МО, указанные для дискретных величин,сохраняются и для непрерывных величин.
2. Дисперсия НСВ Х, возможные значения которойпринадлежат всей оси ОХ, определяется по формуле:
/>
Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а; в), тодисперсия определяется по формуле:
/>
Все свойства дисперсии, указанные для дискретных величин,сохраняются и для непрерывных величин.
3. Среднее квадратичное отклонение НСВ Х определяетсятакже, как и для дискретных величин:
/>
Примеры. №276, 279, Х, д/з.
Операционные исчисления (ОИ).
ОИ представляет собой метод, позволяющий свести операциидифференцирования и интегрирования функций к более простым действиям: умножениеи деление на аргумент так называемых изображений этих функций.
Использование ОИ облегчает решение многих задач. Вчастности, задач интегрирования ЛДУ с постоянными коэффициентами и систем такихуравнений, сводя их к линейным алгебраическим.
Оригиналы и изображения.Преобразования Лапласа.
f(t)-оригинал; F(p)-изображение.
Переход f(t)/>F(p)называется преобразование Лапласа.
Преобразование по Лапласу функции f(t) называется F(p),зависящая от комплексной переменной и определяемая формулой:
/>
Этот интеграл называется интеграл Лапласа. Для сходимостиэтого несобственного интеграла достаточно предположить, что в промежутке />f(t) кусочно непрерывна ипри некоторых постоянных М>0 и /> удовлетворяетнеравенству
/>
Функция f(t), обладающая такими свойствами, называется оригиналом,а переход от оригинала к его изображению, называется преобразованием Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа.
Непосредственное определение изображений по формуле (2)обычно затруднено и может быть существенно облегчено использованием свойствпреобразования Лапласа.
Пусть F(p) и G(p) являются изображениями оригиналов f(t) иg(t) соответственно. Тогда имеют место следующие свойства-соотношения:
1. С*f(t)/>С*F(p),С=const -свойство однородности.
2. f(t)+g(t)/>F(p)+G(p)–свойство аддитивности.
3. f(t)/>F(p-/>) -теорема смещения.
4. />
переход n–ой производной оригинала визображение (теорема дифференцирования оригинала).
/>
/>
/>
5. y”+py’+qy=0; f(x)=eaxPn’(x)
/>
Теорема дифференцирования изображения
Таблица изображений основных элементарных функций.Нахождение изображений по оригиналу (переход от оригинала к изображению).
/>
/>
/>
1
1/>1/p
5
tn/>n!/p(n+1)
9
/>
2
C/>C/p
6
/>
3
/>
7
/>
10
/>
4
t/>1/p2
8
/>
Нахождение оригинала по изображению(обращение изображения — ОИ).
Отыскание оригинала по известным изображениям называетсяобращением изображения.
В простейших случаях эта операция выполняется с помощьютаблицы и свойств преобразования Лапласа. При интегрировании дифференциальныхуравнений возникает необходимость обращать правильные рациональные дроби.Всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей вида:
/>
А).A/(p-a); Б).A/(p-a)n;В).(Ap+B)/(p2+pa+b); Г). (Ap+B)/(p2+pa+b)2