Министерство образования и науки Украины
Харьковскийнациональный университет радиоэлектроники
Факультет ПММ
Кафедра ПМ
КУРСОВАЯРАБОТА
Тема:Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий.
Дисциплина:Теория вероятностей и математическая статистика
Выполнил: Проверил:
ст. группы ******** проф. **********
*****************
Харьков 2007
РЕФЕРАТ
В данном курсовом проекте представлено описаниепонятий корреляционного момента и его свойств, коэффициента корреляции,случайных событий и их основных числовых характеристик, применения на практикекорреляции, а также приведено решение практических задач.
Пояснительная записка состоит из вступления, основной части,выводов, списка литературы.
Записка 28с.
Ключевые слова и выражения:
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ,ДИСПЕРСИЯ, НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ,КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ,ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАВИСИМОСТЬ.
СОДЕРЖАНИЕВведение………………………………………………………………………..….4
1 Теоретическаячасть……….……………………………………………………5
1.1 Доверительные оценки…………………………………………..……….….5
1.2 Метод наибольшего правдоподобия………………………………….…...10
1.3 Точечныеоценки…………………………………………………………..13
1.4 Критерий согласия…………………………………………………….……18
1.5 Теорема Чебышева…………………………………………...……….……19
1.6 Понятие доверительного интервала………………...……………….….…23
1.7 Сравнение средних………………………………………………………....25
1.8 Метод минимума X2 ……………………………………………………..…26
1.9 Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потокасобытий…..…28
2 Практическаячасть……………………………………………………………30
Выводы…………………………………………………………………………...37
Списоклитературы……………………………………………………………...38
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятности –математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Принаучном исследовании физических и технических задач, часто приходитсявстречаться с явлениями особого типа, которые принято называть случайными.Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократномвоспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному.
Очевидно, что в природенет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той илииной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированыусловия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опытарезультаты полностью и в точности совпадали.
Случайности неизбежносопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практическихзадач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместореального явления его упрощенную схему, т.е. модель, и предполагая, что вданных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этомиз бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяют самыеглавные, решающие. Влиянием остальных, второстепенных факторов простопренебрегают. Изучая закономерности в рамках некоторой теории, основныефакторы, влияющие на то или иное явление, входят в понятия или определения,которыми оперирует рассматриваемая теория.
Как и всякая наука,развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, теория вероятностей такжесодержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Естественно, что невсе основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие –это значит свести его к другим, более известным. Этот процесс должен бытьконечным и заканчиваться на первичных понятиях, которые только объясняются.1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.1 Доверительные оценки
Выборочная оценка,являясь точечной, дает оценочные значения соответствующего параметра из даннойвыборки, но ничего не дает для точности и достоверности оценки. Такие данныепоставляют доверительные оценки. Пусть /> случайная выборка из генеральнойсовокупности со случайной величиной />, распределение которой зависит отпараметра />.Пусть /> –такие функции выборок, что при произвольном /> выполняется равенство
/>. (1.1.1)
Тогда случайный интервал /> называетсядоверительной оценкой параметра /> с мерой надежности /> (с уровнем значимости />).
Если имеется реализация /> выборки />, то реализация доверительнойоценки дает доверительный интервал /> и в большом ряду выборок истинноезначение лежит примерно в /> случаев внутри вычисленныхдоверительных границ /> и />. Равенство (1.1.1) можно интерпретироватьи так: случайный интервал /> “покрывает” истинный параметр сдоверительной вероятностью />.
В математической статистикечасто используют понятие квантилей, процентных точек (односторонних критическихграниц и двухсторонних критических границ). Квантилью уровня p или p–квантилью/> случайнойвеличины /> сфункцией распределения /> называется решение уравнения />.
Односторонней критической границей, отвечающей уровню значимости />(процентной точкойуровня />), непрерывной случайной величины /> с функцией распределения /> называетсязначение случайной величины />, для которой />, или />. Нижней и верхнейкритическими границами, отвечающими уровню значимости /> непрерывной случайной величины /> с функциейраспределения /> называются значения случайнойвеличины /> и/>, длякоторых />;/>;
/>.
Для симметричныхслучайных величин, у которых плотности
распределения симметричны относительно некоторой точки/>, нижние и верхние критическиеграницы удовлетворяют условию />, что дает возможность приводитьтаблицы лишь для процентных точек или квантилей, больших />. Так, для стандартнойнормальной случайной величины с уровнем значимости /> />.
Квантиль, односторонние идвухсторонние критические границы изображены на рис.1.
/>
Рис.1. р-квантиль икритические точки для закона распределения />.
1.1.1 Доверительнаяоценка при неизвестной вероятности по большим выборкам
Частота /> являетсяточечной оценкой />, она асимптотически нормальнораспределена с /> и />.
Если />, то />. Зададим />. Величина /> такая, что/>может бытьнайдена из уравнения /> при помощи таблиц для функцийЛапласа. Эти же рассуждения применим к />. По заданному /> можно найти /> так, чтобы />. Изнеравенства /> следует, что />, откуда можно вычислитьоба значения /> и />, которые представляютдоверительные оценки для />. Если /> выбрано достаточно малым, тослучайный интервал /> “покрывает” /> почти наверное.
1.1.2 Доверительныеоценки для параметров нормального закона
1.1.2.1 Доверительнаяоценка /> приизвестном />
/>,/>, тогда />.
Соответственно,
/>.
Для стандартнойнормальной случайной величины с уровнем значимости /> нижняя и верхняя критическиеграницы соответственно равны />и />.
Имеем
/>или
/>.
/>.
Таким образом, /> -доверительная оценка для параметра a с мерой надежности />.
1.1.2.2 Доверительнаяоценка /> принеизвестном />
Оценка основана на томфакте, что при высказанных предположениях величина /> удовлетворяет t- распределению сn-1 степенями свободы.
Определяя одностороннююкритическую точку /> из условия />, получим доверительнуюоценку для а в виде
/>.
Для конкретной выборки /> объема nдоверительная оценки для а становится ее доверительным интервалом.
1.1.2.3 Доверительная оценка/>принеизвестном />
Отправной точкой являетсятот факт, что при заданных предпосылках величина /> удовлетворяет /> — распределению с n-1степенями свободы. По заданному уровню значимости /> и /> степенями свободы находимкритические точки /> и /> распределения /> такие, что
/>, />
/>, или />.
Таким образом, /> естьдоверительная оценка /> с мерой надежности />.
1.2 Метод наибольшегоправдоподобия
Пусть данавыборка /> объемаn из генеральной совокупности с непрерывно распределенной случайной величинойX. Пусть плотность вероятности X содержит неизвестный параметр/>, который следуетоценить по выборке, и имеет вид />.
Функцией правдоподобияназывают функцию параметра />, определяемую соотношением
/>. (1.2.1)
Рассмотрим случайдискретной случайной величины X с возможными значениями /> и вероятностями />. Обозначимчерез /> наибольшееиз возможных значений, которое встречается в выборке, а через /> — абсолютные частоты,с которыми появляются значения /> в выборке />. В этом случае функциейправдоподобия называют функцию параметра />, определяемую соотношением
/>. (1.2.2)
Метод наибольшегоправдоподобия состоит в том, что в качестве оценки параметра берется значение,при котором функция правдоподобия достигает своего максимума.
Параметр /> находят, решаяотносительно /> уравнение
/>. (1.2.3)
Часто вместо (1.2.3) используют уравнение
/>, /> (1.2.4)
Если плотность /> иливероятности /> зависят от /> параметров, то наиболееправдоподобную оценку системы параметров /> получают решением системыуравнений
/> (1.2.5)
или
/>. (1.2.6)
Наиболее правдоподобныеоценки имеют некоторые замечательные свойства. При достаточно общих условияхони являются состоятельными и асимптотически нормально распределенными (однаконе всегда несмещенными), имеют среди всех асимптотически нормальнораспределенных оценок наибольшую эффективность. Справедливо следующееположение: если вообще имеется эффективная оценка, то она получается методомнаибольшего правдоподобия.
Пример 1.2.1 Оценить вероятность /> некоторого события />. Пусть
/>
Решение. />; />. Пусть в /> независимых наблюденияхсобытие /> произошло/> раз, т.е./>. Такимобразом, имеем />, />. Отсюда следует, что />.Следовательно, /> есть наиболее правдоподобнаяоценка параметра />. Случайная величина k биномиальнораспределена, />; /> Следовательно, /> — несмещенная оценкавероятности, асимптотически состоятельная и асимптотически нормальная.
Пример 1.2.2.Пусть случайная величина /> распределена по закону Пуассона снеизвестным параметром />. Проведем выборку и получимзначения />(/> – целыечисла). Пусть /> – набольшее из наблюдаемых ввыборке чисел, /> – абсолютные частоты, с которымичисла /> появляютсяв выборке; />. Тогда согласно формуле (3.2) />. Изсоотношения получаем />, откуда />.
Величина /> есть, таким образом,правдоподобная оценка для /> и вместе с тем состоятельная,асимптотически нормально распределенная.
Пример 1.2.3.Пусть случайная величина /> распределена нормально с параметрами/> и />. Их следуетоценить исходя их выборки /> объема />.
Решение. Функцияправдоподобия
/>,
следовательно
/>.
Согласно (2.5), получаемследующие уравнения для определения /> и />: />; />, откуда /> и />. Следовательно, /> есть наиболееправдоподобная оценка параметров />. Мы уже знаем, что /> не является несмещеннойоценкой, а только асимптотически не смещена.
1.3 Точечные оценки
Одной из задачматематической статистики является оценка неизвестных параметров выбранной параметрическоймодели.
Очень часто в приложенияхрассматривают параметрическую модель. В этом случае предполагают, что законраспределения генеральной совокупности принадлежит множеству
/> , где вид функции распределениязадан, а вектор параметров/>неизвестен. Требуется найтиоценку для/>илинекоторой функции от него (например, математического ожидания, дисперсии) по случайной выборке /> из генеральной совокупности X.
Например, предположим,что масса X детали имеет нормальный законраспределения, но его параметры/>неизвестны. Нужно найтиприближенное значение параметров по результатам наблюдений х, …, хп,полученным в эксперименте (по реализации случайной выборки).
Как уже отмечалось, вматематической статистике существуют два вида оценок: точечные и интервальные.В этой главе будут рассмотрены точечные оценки, а интервальным оценкампосвящена следующая глава.
1.3.1. Состоятельные,несмещенные и эффективные оценки
Пусть/>— случайная выборка из генеральнойсовокупности X, функция распределения/>которой известна, а/>— неизвестный параметр,т.е. рассматривается параметрическая модель/>(для простоты изложения будемсчитать пока, что/>— скаляр).
Требуется построить статистику/>, которую можнобыло бы принять в качестве точечной оценки параметра/>.
Интуитивно ясно, что вкачестве оценки параметра/>можно использовать различныестатистики. Например, в качестве точечной оценки для/>можно предложить такие статистики:
/>
Какую же из этихстатистик предпочесть? В общем случае нужно дать ответ на вопрос: какимисвойствами должна обладать статистика/>, чтобы она была в некоторомсмысле наилучшей оценкой параметра в? Рассмотрению требований к оценкам иметодам их нахождения посвящена настоящая глава.
Заметим, что вдальнейшем, как правило, будем говорить об оценке параметра/>параметрической модели,хотя все сказанное можно перенести и на функцию от в.
Определение 1.3.1.1 Статистику/>называют состоятельной оценкой параметра/>, если с ростомобъема выборки п она сходится по вероятности к оцениваемому параметру />, т.е./>
Иными словами, длясостоятельной оценки/>отклонение ее от/>на величину е и болеестановится маловероятным при большом объеме выборки. Это свойство оценкиявляется очень важным, ибо несостоятельная оценка практически бесполезна.Однако следует отметить, что на практике приходится оценивать неизвестныепараметры и при малых объемах выборки.
Естественным является тотребование, при выполнении которого оценка не дает систематической погрешностив сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра/>.
Определение 1.3.1.2. Статистику/>называют несмещенной оценкой параметра/>, если еематематическое ожидание совпадает с/>, т.е./>для любого фиксирован_испер.
Если оценка является смещенной(т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения/>Как мы увидим далее,смещение оценки часто можно устранить, введя соответствующую поправку.
Говорят также, что оценка/>является асимптотическинесмещенной, если при/>она сходится по вероятности ксвоему математическому ожиданию, т.е. для любого
/> />
/> Предположим, что имеются двенесмещенные оценки/>и />для параметра/>. Если дисперсии/>удовлетворяютусловию
/> (1.3.1)
для любого фиксированногопи/>, тоследует предпочесть оценку/>, поскольку разброс статистики/>относительнопараметра/>меньше,чем разброс статистики/>/>
Определение 1.3.1.3. Если в некотором классенесмещенных оценок параметра/>, имеющих конечную дисперсию,существует такая оценка/>, что неравенство (2.1)выполняется для всех оценок/>из этого класса, то говорят, чтооценка /> являетсяэффективной в данном классе оценок.
оценивать неизвестныепараметры и при малых объемах выборки.
Естественным является тотребование, при выполнении которого оценка не дает систематической погрешностив сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра/>.
Определение 1.3.1.4. Статистику/>называют несмещенной оценкой параметра/>, если еематематическое ожидание совпадает с/>, т.е./>для любого фиксированн_испер
Если оценка является смещенной(т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения/>Как мы увидим далее,смещение оценки часто можно устранить, введя соответствующую поправку.
Говорят также, что оценка/>является асимптотическинесмещенной, если при/>она сходится по вероятности ксвоему математическому ожиданию, т.е. для любого
/> />
/> Предположим, чтоимеются две несмещенные оценки/>и />для параметра/>. Если ди_исперсии
удовлетворяют условию
/> (1.3.2)
для любого фиксированногопи/>, тоследует предпочесть оценку/>, поскольку разброс статистики/>относительнопараметра/>меньше,чем разброс статистики/>/>
Определение. Если в некотором классе несмещенныхоценок параметра/>, имеющих конечную дисперсию,существует такая оценка/>, что неравенство (3.2)выполняется для всех оценок/>из этого класса, то говорят, чтооценка /> являетсяэффективной в данном классе оценок.
Иными словами, дисперсияэффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной средидисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок.
Замечание 1.3.1.1. Эффективную оценку в классе всехнесмещенных оценок будем называть эффективной оценкой, не добавляя слов „вклассе несмещенных оценок".
Замечание 1.3.1.2. В литературе по математической статистикепри рассмотрении параметрических моделей вместо термина «эффективная оценка» классевсех несмещенных оценок используют и другие: «несмещенная оценка с минимальнойдисперсией», «оптимальная оценка». Теорема 1.3.1. Оценка
/>
(выборочное среднее) математического ожидания
/>
генеральной совокупности X с конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной иэффективной в классе всех линейных оценок, т.е. оценок вида
где/>, для произвольной/>параметрическоймодели.
Напомним, что элементы />случайнойвыборки
/> являются независимымислучайными величинами и распределенными так же, как и сама генеральнаясовокупность X. Следовательно,/>
1.4 Критерии согласия
Пусть (X1,..,Xn) — выборкас неизвестным законом распределения F(X). Рассмотрим гипотезы Н0: F(x)=F0(x)при конкурирующей Н1: F(x)¹F0(x). F0(x)- некоторая заданная функция распределения.
Задача проверкигипотез относительно законов распределения называется задачей проверкисогласия, а критерий для этой задачи — –ритерием согласия.
Рассмотримкритерий согласия c2,или критерий Пирсона.
Разобьем ось х на тинтервалов /> Еслиистинная функция распределения F(x) совпадает с F0(x), то при больших n
/>
Рассмотримслучайную величину (ni — –лучайное)
/>
при /> она стремится к c2 — –аспределению случайной величиныс т-е-1 степенями свободы (е- число статистических параметров).
Решающее правило дляуровня значимости a:
/>
При построении c2n должно выполняться условие ni³10, в противном случае объединяютинтервалы.
В случаеприменения гипотезы Н0 говорят, что различие между F(x) и F0(x) являетсяслучайным с доверительной вероятностью 1-a и обусловлено конечностью выборки.
1.5 Теорема Чебышева
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание МХ и дисперсиюDX, справедливо неравенство
/>
где a — любое положительное число.
Доказательство. Доказательство проведём сначала для непрерывной случайной величины Х сплотностью распределения f(x).
Обозначим через Асобытие, состоящее в том, что случайная точка Х попадает за пределы участка(MX-a; MX+a), то есть
А: {|X-MX|³a}
a a/> /> /> /> /> /> /> />
MX -a MX MX+a
Вероятность попадания Х вэтот участок равна
/>
Найдём дисперсиюслучайной величины Х
/>
/>
/>
Совершенно аналогичнодоказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющейзначения x1, x2,… с вероятностями p1, p2,… Тогда вместо интеграла во всехформулах ставится знак суммы, где суммирование ведётся по тем xi, для которых
|xi-MX|³a,
что и требовалось доказать.
Определение. Пустьимеется последовательность чисел
x1, x2,…, xn, ...
Говорят, что этапоследовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если принеограниченном увеличении п вероятность события
{|Хп-а|
(где e>0 — произвольное малоефиксированное число) стремится к единице, то есть
/>
Иными словами, каковы быни были произвольно малые наперёд заданные числа e>0 и d>0 всегда существует N, такое, что при n>N
P{|Xn-a|1-d
Первая теорема Чебышева(Закон больших чисел). Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ идисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимыхопытов, в результате которых она принимает значения Х1, Х2,…, Хп (п“экземпляров” случайной величины Х). Пусть
/>
Тогда последовательность /> сходится повероятности к MX: />
Доказательство. Найдём MYn и DYn :
/>
Применим к случайнойвеличине Yn неравенство Чебышева, в котором положим a равным e, где e>0 — сколь угодно малое, наперёд заданное число.
/>
Как бы ни было мало e, всегда можно выбрать n такимбольшим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше сколь угодномалого положительного числа d; следовательно, при достаточно большом п
P{|Yn-MX|³e}
ÞP{|Yn-MX|1-d,
а это равносильносходимости по вероятности Yn к MX
/>
Замечание 1.5.1. Первуютеорему Чебышева можно записать и иначе, если положить Zn:=Yn-MX
/>
Замечание 1.5.2. Перваятеорема Чебышева относится к случаю, когда случайные величины Х1, Х2,…, Хпнезависимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же MX и DX.
Рассмотрим случай, когдаусловия производимых опытов меняются.
Вторая теоремаЧебышева. Пусть имеется случайная величина Х. Над ней производятсянезависимые опыты, в результате чего мы получаем последовательность
Х1, Х2, ..., Хn, ...
с различными, в общемслучае, MХi и DXi (i=/>). Пусть
/>
Если DXi£D i=1, 2,… , где D — некотороеположительное число, то
/>
Доказательство.
/> (1.5.1)
Согласно неравенстваЧебышева
/>
или, учитывая (1.5.1),имеем
/>
Как бы ни было малопроизвольное наперёд заданное e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнегонеравенства стала меньше произвольно малого d. Следовательно
/>,
что и требовалосьдоказать.
Замечание 1.5.3. Приформулировке второй теоремы Чебышева нельзя говорить, что
/>
так как /> зависят от n, а понятие“сходимость по вероятности” определено нами только для постоянной а, независящей от n.
1.6 Понятие доверительного интервала
Будем считать, чтонезависимая выборка />взята из распределения, зависящегоот скалярного параметра />. Будем обозначать через />распределениевероятностей, соответствующее значению />неизвестного параметра.
Определение 1.6.1
/>-доверительным инт/>ерваломназывается интервал вида /> где />такой, что
/>
Число />называют доверительнойвероятностью/>.
Другими словами,доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границывычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят отнеизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр свероятностью />.
Значение доверительнойвероятности />выбираетсязаранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями.
Смысл величины /> — вероятность допустимой ошибки.Часто берут значения />и т.п.
/>Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Онсостоит из трех этапов.
1. Выбираем функцию />, зависящую отвыборки и от неизвестного параметра, такую, что ее функция распределения
/>
не зависит от неизвестного параметра />.
2. Выбираем двачисла />и />таким образом,чтобы />.Подбираем />и/>,удовлетворяющие условиям
/>/> (6.1)
3. Таким образом,
/>/> (6.2)
причем />и />не зависят от />.
4. Решим двойноенеравенство />относительно />. В том случае, когдаего решением является интервал, обозначим его левый и правый концы через />и />соответственно.Естественно, они зависят от выборки: />, />. В силу (6.2)
/>
Следовательно, /> — искомый />-доверительныйинтервал.
Замечание 1.6.1
Описанная процедура,разумеется, не является универсальной. Во-первых, вопрос о выборе функции />решается вкаждом конкретном случае и по этому поводу нет общих рекомендаций. Во-вторых,совершенно не гарантировано, что решением неравенства в п. 3 будетинтервал конечной длины. Вместе с тем, во многих важных случаях изложенный вышеметод приводит к хорошим доверительным интервалам. Например, оправданоприменение такого метода в случае, когда при каждой фиксированной выборке />функция />являетсястрого монотонной и непрерывной по переменной />.
Замечание 1.6.2
В силу неоднозначностивыбора функции />и чисел />и />, можно заключить, что />-доверительныйинтервал неединственен.
1.7 Сравнение средних
Теперь рассмотрим случай,когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверкагипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезыравенства. Такую задачу сравнения двух генеральных средних при неравныхгенеральных дисперсиях принято называть проблемойБеренса-Фишера (по имени учёного У. Беренса опубликовавшего первуюработу на эту тему в 1929 г.). В этом случае вместо одной общей генеральнойдисперсии мы имеем дело с двумя неравными генеральными дисперсиями: σ12 ≠ σ22.Соответственно имеем и две выборочные дисперсии s12и s22. Тогда искомая t-статистика будет вычисляться по следующему выражению [1.7.1]:
/> (1.7.1)
Введём обозначения:θ= σ12 / σ22 ,u = s12/ s22 и N= n1/ n2 . В этом случаевыражение (1.7.1) можно переписать в следующем виде [(1.7.1)]:
/> (1.7.2).
Основная сложность этогослучая заключается в том, что подкоренное выражение в знаменателе неимеет Хи-квадрат распределение, и потому статистика t не имеет распределения Стьюдента. В 40-60-е годы 20 века Бокс,Уэлч, Саттерзвайт, Кохрэн, Боно, Шеффе и многие другие статистики провелидетальный анализ этой проблемы. Так в 1938 г. Уэлч исследовал приближённое распределение статистики (1.7.1) и показал, что при равных объёмах выборок n1 = n2 незнание величины θ= σ12 /σ22 не очень сильно влияет на итоговыйрезультат. Однако для случая неравных объёмов выборок ошибки становятся весьмазначительными. Другие подходы позволяли аппроксимировать статистику (1.7.2) распределение Стьюдента с дробными степенями свободы.
1.8 Метод минимума X2.
Метод минимума X2 применим лишь и случаегруппированного непрерывною распределения или дискретного распределения.Оценки, получаемые этим методом, при больших п асимптотически эквивалентныоценкам, полученным с помощью более простого видоизмененного метода минимума X2, выражаемого уравнениями
/> (1.8.1)
или
/> (1.8.2)
в рассматриваемых случаяхпоследний метод совладает с методом максимума правдоподобия.
Основная теорема определьном распределении X2 для случая, когда некоторыепараметры оцениваются по выборке что оценки находятся с помощью видоизмененногометода минимума X2. Однако там же было указано, что имеется целый класс методовнахождения оценок, приводящих к тому же самому предельному распределению для X2. Теперь мы докажем это утверждение.
Асимптотические выражениядля оценок, получаемых с помощью видоизмененного метода минимума X2 были приведены в явной форме
/> (1.8.3)
для общего случая унеизвестных параметров а1,..., аг. Предположим, чтовыполнены условия 1)—3) предыдущего параграфа или аналогичные условия длядискретного распределения. Тогда из предыдущего параграфа следует, что оценки (1.8.3)асимптотическинормальны (это уже было показано в параграфе 30.3) и асимптотически эффективны.
Во всех множествахасимптотически нормальных и асимптотически эффективных оценок для параметровимеются члены порядка n-1/2такие же, как и в(1.8.3). Однако из вывода предельного распределения для у2 следует,что это предельное распределение полностью определяется членами порядка n-1/2 в (1.8.3). Действительно, по формулам /> и
/>
получаем /> и показывает, чтопредельное распределение для.у = (/>,… />) определяется именно указаннымичленами.
Таким образом, теорема определьном распределении величины X2справедлива для любого множества асимптотически нормальных иасимптотически-эффективных оценок параметров.
1.9 РаспределениеПуассона. Аксиомы простейшего потока событий
Говорят, что случайнаявеличина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения 0,1, 2,…, т,… (бесконечное, но чёткое множество значений), асоответствующие вероятности выражаются формулой:
/>
/>
x 1 … k … P
e-l
le-l …
/> …
Число l называетсяпараметром распределения.
Простейший поток событий– такая последовательность событий, происходящих в случайный момент времени.
Поток событий называетсяпуассоновским, если он удовлетворяет аксиомам простейшего потока событий:
При таких допущениях сбольшой степенью точности выполняются следующие условия:
1. Отсутствие последействия: вероятностьтого, что на произвольном временном промежутке (с точки зрения длины ирасположения на временной оси) не зависит от того, что происходило в моментвремени, предшествующему этому моменту.
2. Однородность потока: Вероятностьтого, что на некотором временном промежутке произойдет 0,1,2,…,n событий зависит только от его длины ине зависит от положення этого отрезка на временной оси.
3. Пусть Dt — длина временного промежутка, тогда: /> (Dt)=l Dt+o(Dt), Dt®0.
4. /> (Dt)=1-l Dt+o(Dt), Dt®0.
Математическое ожиданиераспределения Пуассона равно:
M/>=/>
2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Вариант 23
Задача 1
На отрезок единичной длины /> наугадставится точка. Вычислить вероятность того, что расстояние от точки до концовотрезка превышает величину />.
Решить задачу при />, />.
Решение:
Пусть дан отрезок />длины />(Рис. 2.1).Расстояние от точки /> до концов отрезка превышаетвеличину /> втом случае, если />, где />, />.
/>
Рис. 2.1
Пусть А – событие, когда />. Тогдаискомая вероятность />.
Для заданных значений /> и /> />.
Задача 2
В круг радиуса R наудачу ставится точка. Найтивероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур,которые имеют площади /> и />.
Решить задачу при />, />, />.
Решение:
Поскольку фигуры непересекаются, то площадь, в которую должна попасть точка, равна />. Общая площадь, вкоторую может попасть точка, равна />. Таким образом искомаявероятность />.Для заданных значений />, /> и /> />.
Задача 3
Среди /> лотерейных билетов /> выигрышных.Наудачу взяли />билетов. Определить вероятностьтого, что среди них не менее L выиграшных.
Решить задачу при />, />, />,/>.
Решение:
Число способов купить />билетов, средикоторых L выигрышных составляет />.
Число способов купить />билетов, средикоторых L+1 выигрышных составляет />, и так далее.
Число способов купить />билетов, средикоторых />выигрышныхсоставляет />.
Таким образом, числоспособов купить />билетов, среди которых не менееполовины выигрышных составляет
/>+/>+…+/>.
Общее число способовкупить />билетовиз /> составляет/>.
Искомая вероятность />.
Для заданных значений />, />и />.
/>
Задача 4
В лифт />-этажного дома сели /> пассажиров (/>). Каждыйнезависимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная совторого) этажа. Определить вероятность того, что хотя бы двое вышли на одном этаже.
Решить задачу при />, />.
Решение:
Пусть /> – событие, когда всепассажиры вышли на разных этажах. Тогда вероятность искомого события />.
Найдем />. Количество способов всем пассажирам выйти на разных этажах составляет />. Общее число способов выхода />пассажиров наодном из />-гоэтажа составляет />. Тогда />.
Искомая вероятность />/>.
Для заданных значений />,/>/>.
Задача 5
В двух партиях /> и />процентовдоброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию изкаждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них одно доброкачественное иодно бракованное?
Решить задачу при /> и />.
Решение:
Пусть />/> – событие обнаружитьдоброкачественное изделие из />-й партии. /> – событие обнаружитьбракованное изделие из />-й партии. Тогда искомаявероятность />.
/>,
/>,
/>,
/>.
/>.
Для заданных значений />,/>искомая вероятность />.
Задача 6
Вероятность того, чтоцель поражена при одном выстреле первым стрелком – р1, вторым – р2. Первыйсделал n1, второй n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель непоражена.
р1 = 0,76; р2 = 0.39; n1 = 2; n2 = 3.
Решение:
Пусть событие А – цель непоражена. Вероятность того, что первый стрелок не попадет в цель при одномвыстреле равна (1 – р1). Вероятность того, что первый стрелок не попадет при n1 выстрелах равна (1 – р1)n1, вероятность того, что второй стрелок не попадет вцель при n2 выстрелах равна (1 – р2)n2. Получим
Р(А) = (1 – р1)n1 (1 – р2)n2 =
= 0,242*0,613=0,013.
Ответ: 0,013.
Задача 7
Урна содержит Мзанумерованных шаров от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения.Событие B – хотя бы 1 раз совпадет номер шараи порядковый номер извлечения. Определить вероятность события С. Найтипредельное значение вероятности при М />.
М = 10.
Решение:
Количество совпаденийодного номера шара и порядкового номера извлечения равно />; количество совпаденийдвух номеров – />; трех номеров – />; …; М номеров – />. Общееколичество способов извлечения М шаров равно />. Таким образом получаемвероятность события С:
/>
/>.
Для М = 10 получим
/>
Найдем предельноезначение вероятности:
/>0
Задача 8
Дана плотностьраспределения р(х) случайной величины />. Найти
a) параметр />;
b) функциюраспределения /> случайной величины/>;
c) вероятностьвыполнения неравенства />.
/>, />.
Решение:
a) найдем значениепараметра из /> /> />
b) />/>. />
c) />
Задача 9
Случайная величина /> имеетплотность распределения />. Найти плотность распределениявероятностей /> случайной величины />
/>= />, />
Решение:
Найдем /> по формуле
/>= />/>.
Найдем />
/>
/>= />/>
Ответ: />= />/>ияномера шара и порядкового номера извлечения при одном выстреле равна 1 — р1_________________________________________/>
ВЫВОДЫ
Корреляция икорреляционные моменты являются достаточно важными понятиями, имеющимиприменение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математическойстатистике.
Многие задачи практикирешаются с помощью вычисления коэффициента корреляции или корреляционныхмоментов. Корреляционный момент – характеристика системы случайных величин,описывающая рассеивания случайных величин и связь между ними. Степеньзависимости случайных величин удобнее характеризовать посредством безразмернойвеличины – коэффициента корреляции.
Обработка статистическихданных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческойдеятельности. Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силысвязи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи.Корреляционный анализ считается одним из главных методов в маркетинге, наряду соптимизационными расчетами, а также математическим и графическиммоделированием.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивашев-Мусатов О.С. Теориявероятностей и математическая
статистика., М.: Наука, 1979.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теориявероятностей.–М.: Наука, 1969.
3. В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б.Турундаевский. Теория
вероятностей и математическаясатистика. М., 1991.
4. «Теория Статистики» под редакциейР.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.
5. А.А. Френкель, Е.В. Адамова«Корреляционно регрессионный анализ в экономических приложениях»/ М., 1987.
6. И.Д.Одинцов «Теория статистики»/ М.,1998.