РЕФЕРАТ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУАНАЛИЗУ
НА ТЕМУ:
«РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В РОССИИВ СЕРЕДИНЕ XVIIIВЕКА»
Оглавление
1. Характеристикасоциально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века
2. Новые задачи математики,обусловленные развитием техники и естествознанием
3. Развитие основныхпонятий математического анализа в XVIII века
4. Дифференциальноеисчисление
5. Интегральноеисчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Характеристикасоциально-экономического и культурного развития России в середине XVIIIвека
Во второйчетверти XVIII века в России темпы развития торговли, промышленности, науки икультуры были гораздо меньшими, чем в первой четверти. Сказываласьпродолжительная Северная война, а также частые дворцовые перевороты,приводившие к власти лиц, которым чужды были национальные интересы страны.
В хозяйствеРоссии постепенно развивались новые явления. Укреплялся и расширялсявсероссийский рынок. Углублялась хозяйственная специализация отдельных районовстраны (определились хлебные, скотоводческие районы и районы технических культур).В центральных районах страны укрепилась трехпольная система. Развивалиськрестьянские промыслы, особенно в оборочных районах. И все же основным путемдальнейшего развития сельского хозяйства было освоение новых земель.
В середине XVIII века помещики с цельюповышения своих доходов начали заниматься предпринимательством – открывалипромышленные предприятия по переработке сельскохозяйственного сырья. Однакоосновная масса дворян вела хозяйство по старинке, повышая доходы от своихимений, главным образом, путем жестокой эксплуатации крестьян.
Впромышленность все более и более вовлекался купеческий капитал. На основедальнейшего развития товарного производства происходил рост капиталистическоймануфактуры. К 40-м годам в России были уже довольно крупные текстильные идругие предприятия купцов и кулаков-капиталистов, где преобладал наемный труд.
Промышленностьразвивалась быстрее, чем сельское хозяйство. Продолжалось интенсивное строительствометаллургических заводов, в котором большую роль играл частный капитал.Расширялась территория освоения горнорудных богатств на Урале. В отличие отСеверного Урала, где в 30-х годах казна построила крупные доменные заводы,Южный Урал развивался как район преимущественно медеплавильный и исключительночастновладельческий. Новые заводы, правда, более мелкие, строились и вцентральном металлургическом районе. Начинали осваивать Алтай. К 1750 году вРоссии насчитывалось около 100 металлургических заводов.
КультураРоссии во второй четверти XVIII века развивалась по пути, наметившемуся в первойчетверти века. Из школ, основанных в начале XVIII века, дальнейшееразвитие получили только профессиональные школы, готовившие, прежде всеговоенных специалистов.
Центромнаучной жизни страны с конца 20-х годов стала Петербургская академия наук,завоевавшая уже в эти годы всемирное признание. В 40-х годах в академиивыделился ряд русских ученых, среди которых особенно отличался своей научнойэнциклопедичностью и многогранностью М.В. Ломоносов. Первым организационнымпринципом Петербургской академии наук, стимулировавшим развитие русской науки,была обязательная связь научных исследований с практическими потребностямистраны.
2. Новые задачиматематики, обусловленные развитием техники и естествознанием
Мануфактурныйпериод капитализма сопровождался созданием технической основы машинногопроизводства. Дальнейший технический прогресс в XVIII веке был невозможен безразвития естествознания, а значит, и без математических методов. О содержанииновых задач и новых трудностей, возникших перед математикой на рубеже XVII-XVIII веках и в первойполовине XVIII века, можно судить по состоянию важнейших отраслей естествознанияэтого периода.
Основы общеймеханики был заложены Ньютоном в его знаменитых «Началах натуральнойфилософии». Однако основные достижения Ньютона относятся лишь к механике точки.В механике твердого тела он рассмотрел лишь вращение около неподвижной оси. Приисследовании движения тела в неподвижных средах Ньютон ограничилсярассмотрением только простейших частных случаев.
Несмотря нато, что в исследованиях Лейбница и Ньютона был завершен первый период развитияисчисления бесконечно малых, это исчисление еще только завоевывало признание.Новые алгоритмы позволили получить с поразительной легкостью результаты,недоступные прежним методам, однако споры по вопросам обоснования исчислениябесконечно малых заставили, в частности весьма осторожного в своих публикацияхНьютона, отказаться от применения нового исчисления в ряже публикаций помеханике. В работах Ньютона по механике нет «ньютоновских дифференциальныхуравнений динамики», хотя в его математических работах и приведен целый рядрезультатов исследования методов интегрирования дифференциальных уравнений.Поэтому не удивительно, что в общей механике не было аналитических методов.Создание их являлось одной из важнейших задач математики и механики XVIII века. Основная роль врешении этой задачи принадлежит Леонарду Эйлеру.
В связи сразработкой аналитической механики перед математиками возникли новые задачи вобласти математического анализа. Создание аналитических методов настоятельнотребовали новые задачи самой механики – исследование движения материальнойточки в среде с заданной инертностью (движение физического маятника,баллистика), переход в этой задаче от точки к твердому телу и т.п. Особеннонеобходимым было развитие теории малых колебаний материальной точки, а позднее– системы конечного числа материальных точек при определенных предположениях осопротивлении среды. Необходимость разработки теории физического маятникавыдвигалась развитием гравиметрии и теории фигуры Земли, которое, в своюочередь, стимулировалось, в частности, вопросами изучения движения планет,нуждами мореплавания и высшей геодезии.
В решениипроблемы о вращении Земли начальные результаты принадлежат Даламберу и Эйлеру.Эйлер дал новую форму уравнения вращательного движения твердого тела,употребляемую и в наше время. Динамические уравнения Эйлера, определяющиедвижение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представляютсобой нелинейную систему трех дифференциальных уравнений второго порядкаотносительно эйлеровых углов ψ, θ, φ, как функций времени.
К середине XVIII века относитсязарождение новой области анализа – дифференциальных уравнений в частныхпроизводных. Расширение исследований в области математического анализастимулировалось, главным образом, развитием физики твердой среды игидродинамики. Принципиальную недостаточность теории обыкновенных дифференциальныхуравнений впервые обнаружил Даламбер и Эйлер при изучении малых колебанийструны, закрепленной на концах. Уже в первых исследованиях, связанных суравнениями нового вида, выяснилось, что при
Решении такихуравнений возможна значительно большая произвольность, чем при решении любыхобыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому возник вопрос обудовлетворении решений более сложным дополнительным условиям. Дальнейшиеисследования колебаний неоднородных струн, мембран, упругих стержней какЭйлером, так и его современниками требовали нахождения специальных методов длярешения простейших смешанных задач для уравнений гиперболического типа второгои даже четвертого порядка.
Проблемазвучащей струны имела, как известно, весьма существенное значение для развитиявсего математического анализа не только в XVIII веке, но и в XIX. В длительном споре охарактере допустимых «произвольных функций», входящих в решении уравненийколебания струны, приняли участие почти все самые выдающиеся ученые эпохи:Даламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. В этом споре получило существенноеразвитие одно из самых основных понятий анализа – понятие функции. Наряду спроблемой колебаний струн и мембран стимулирующее влияние на развитие учения обуравнениях в частных производных оказали задачи гидродинамики. В отличие отгидростатики, история которой ведет свое начало от работ Архимеда,гидродинамика как наука сложилась только в середине XVIII века. Необходимостьизучения законов движения жидкости диктовалась настоятельными потребностямипрактики расчетов мощных водяных двигателей, гидротехнических сооружений ивозросшими потребностями кораблестроения. Стимулом значительного прогрессагидродинамики, достигнутого в 50-х годах XVIII века, было такжеразвитие аналитических методов динамики материальной точки и системы точек.
Для решенияосновной задачи о взаимодействии среды с движущимися в ней телами необходимобыло сформулировать основные законы движения жидкости. Ученые XVIII века в этом отношении неимели фактически никакого наследия. Первые попытки Галилея проанализироватьсопротивление воздуха с количественной стороны и результаты Ньютона по изучениюсопротивления, оказываемого жидкостью движущемуся в ней твердому телу, былисовершено недостаточны. Необходимо было создать аналитические методы теоретическойгидродинамики. Решением этой задачи математическое естествознание обязано Д.Бернулли, Даламберу, Эйлеру и Лагранжу. Первый выдающийся результат в этойобласти принадлежит Д. Бернулли, опубликовавшему в 1738 году свою знаменитую«Гидродинамику»[1]. Вслед за«Гидродинамикой» Д. Бернулли появился известный трактат Даламбера «О равновесиии движении жидкостей»[2]. Даламберпришел, в частности, к парадоксальному заключению об отсутствии сопротивленияпри движении тела в жидкости, явившемуся следствием того, что он не учелзначения всего обтекания тела при движении. В обсуждении этого явления вскорепринял участие Эйлер. Дальнейшее изучение «парадокса Даламбера – Эйлера»способствовало привлечению внимания исследователей к важнейшей проблемегидродинамики – проблеме обтекания тел, движущихся в жидкости.
Основополагающимисследованием, от которого, собственно, и ведет свое начало теоретическаягидродинамика, является сочинения Эйлера «Общие принципы движения жидкостей»[3].В нем Эйлеру впервые вывел основные уравнения гидродинамики для жидкости,лишенной вязкости.
Исследованияколебаний струн, мембран, стержней и важнейшей задачи гидродинамики уже в 50-хгодах XVIII века послужили источником возникновения теории уравнений вчастных производных. В области обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлер иего современники могли использовать результаты, полученные ихпредшественниками, в новой же области надо было начинать с самого начала. Эйлербыл прав, говоря, что в этой новой области анализа нет не только каких-либоприемов решения, но и необходимых обозначений.
В постановкеаналитических задач теории уравнений в частных производных решающая рольпринадлежала физике. Сведения указанных физических задач к чистому анализусразу же потребовало разыскания первых подступов к этой новой ветви математики.Отправным пунктом здесь могла служить лишь теория обыкновенных дифференциальныхуравнений. Так, в первых работах о струне Эйлер использовал метод интегрирующегомножителя и теорию уравнений в полных дифференциалах, а в более поздних широкоприменял метод степенных рядов.
Гораздосложнее оказалась проблема создания новых методов, отвечающих самой природеуравнений нового вида. Ее решение является одним из важнейших вопросовсовременной математики. На долю исследователей XVIII века выпало созданиеоснов метода характеристик и метода тригонометрических рядов. Первое выполнилЭйлер, второе начал в свои исследованиях Д. Бернулли. Оба эти метода получили дальнейшееразвитие в XIX веке и являются одним из самых сильных в современной теорииуравнений в частных производных. Лагранж заложил основы теории сопряженныхуравнений, что являлось позже исходным пунктом в разработке известного «методаРимана», в котором существенное значение имеет применение характеристическихкоординат.
Интерес кматематическому анализу усилился постановкой ряда новых геометрических задач входе развития дифференциальной геометрии. Решение этих задач приводило куравнениям в частных производных первого порядка.
Такимобразом, к концу рассматриваемого периода в теории дифференциальных уравненийнакопилось сравнительно много частных результатов, которые необходимо былосистематизировать.
3. Развитие основныхпонятий математического анализа в XVIIIвека
В развитииматематики, механики, физики и всего естествознания в России изападноевропейских странах XVIII века особую роль сыграли труды величайшегоматематика и механика XVIII века Леонарда Эйлера.
Несмотря нато, что на протяжении предшествующих столетий механика и геометрия настоятельноставили перед мыслителями задачи изучения зависимости между переменнымивеличинами, понятие о взаимозависимости таких величин не получилоаналитического выражения. Не только у Лейбница, но и у Даламбера понятиезависимости между переменными носило геометрический характер, так как онирассматривали зависимости между отрезками прямых. Введя само слово «функция»,Лейбниц начиная с 1692 года называет им отрезки любых прямых, связанных тем илииным образом с точками определенной величины – флюенты, по его терминологии,служит некоторая равномерно текущая величина, аналогичная времени.
Между темсовокупность отдельных классов функций неуклонно увеличивалась. Существеннозначение в этом процессе имело составление таблиц логарифмов, совершенствованиетаблиц тригонометрических функций, обусловленное, в частности, потреблениямигеодезии и навигации.
Такимобразом, уже на рубеже XVII и XVIII веков возникла необходимость в выражении понятийфункциональной зависимости, свободном от геометрического и механическогооблачения, и задача выделения важнейших классов функций. Первый значительныйшаг в решении этой проблемы сделал в 1718 г. И. Бернулли. Он писал: «Функциейпеременной величины называют количество, образованное каким угодно способом изэтой переменной величины и постоянных». Непосредственным развитием определенияБернулли явилась трактовка Эйлера понятия функциональной зависимости в первомтоме «Введение в анализ»: «Функция переменного количества есть аналитическоевыражение составленное каким-либо образом из этого переменного количества ичисел или постоянных количеств»[4].
Эйлеровоопределение функции – это по сути определение функции комплексного переменногооднако смысл его становится отчетливым лишь после того, как выясняетсясодержание понятий «аналитическое выражение».
Именно здесьЭйлер и подходит к классификации функций. В качестве допустимой операции присоставление, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня,решение алгебраических уравнений интегрирование. Функции, получаемые врезультате этих действий, исключая интегрирование, Эйлер называеталгебраическим и делит их на рациональные (целые и дробные) и иррациональные.Применение названных операций к элементарным трансцендентным функциям eⁿ,ln n, sin n, cos n приводит его ктрансцендентным функциям[5].
Кромерасширения области значений аргумента Эйлер сделал принципиальный шаг вперед ввыяснении важнейших общих свойств функций как аналитических выражений. Функции,заданные единым аналитическим выражением, он называет непрерывными, вкладывая,таким образом, в это понятие смысл, отличительный от нашего пониманиянепрерывности. Разрывными функциями у него называются функции, заданные наразных кусках интервала различными аналитическими выражениями[6].
Учитываязапас операций, принятый для образования аналитических выражений Эйлер долженбыл получить функции аналитические в современном определении всюду, заисключением изолированных особых точек. В окрестности же этих точек получаемыефункции должны были допускать разложение в обобщенный степенной ряд, которыймог содержать дробные и отрицательные степени. Таким образом, выделяя класснепрерывных функций, Эйлер по сути выделял класс аналитических функций в смыслесовременной теории функций комплексного переменного. Именно поэтомуустановленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказываютсяосновными свойствами аналитических функций в смысле современного определения.Одно из этих свойств – представимость функции степенным рядом.
В болеепоздней работе (1767г.) Эйлер выясняет другое существенное свойство непрерывныхфункций, состоящее в том, что значения любой функции на сколь угодно маломинтервале. Иными словами, любой как угодно малый кусок непрерывной кривойопределяет всю эту кривую. Эйлер установил еще два общих свойства непрерывныхфункций. По Эйлеру, функции разрывные являются либо кусочно-аналитическими всмысле современного определения, либо аналитическими. В дальнейшем эйлеровутрактовку понятия функциональной зависимости будем называть трактовкой узкогоопределения функции. Это понятие Эйлер рассматривает во втором томе«Введение ванализ» (1748г.).
Содержаниемвторого тома является введение в область геометрических приложений анализа.Исследуя вопросы аналитической геометрии, Эйлер принял условие: не пользоваться«никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающегоприроду каждой кривой линии». Основную задачу он ставит в смысле изучениязависимости между аппликатой (ординатой) и абсциссой, поэтому область измененияаргумента ограничивается лишь полем действительных чисел. Расширениюподвергается само понятие функциональной зависимости. Как сама геометрия, такиодна из важнейших проблем математической физики — задача о колебании струны –привела Эйлера к необходимости введения в анализ разрывных функций, т.е.функций, «лишенных закона непрерывности». Задача колебания струны потребовалаизучения «механических» кривых, или кривых, получаемых «свободным влечениемруки».
Проблемаколебания струны оказала принципиальное влияние на развитие математическогоанализа не только в XVIII, но и XIX веке.
4. Дифференциальноеисчисление
В 1755 году Петербургскаяакадемия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Л. Эйлера. Посодержанию, систематичности изложения и последовательности в развитиинеобходимых новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно изсамых почетных мест во всей истории математического анализа. Весьма сильноевлияние оно оказало на развитие и преподавание математики в России.
В первой половинеXVIII века назреланеобходимость освободить основания нового исчисления от механической игеометрической трактовки их. Новое исчисление требовало подхода, свободного отаппеляции к физике, механик и геометрии. Таким походом мог быть толькоаналитический. «Здесь же все изложение ограничено областью чистого анализа, такчто для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одногочертежа», — указывает Эйлер в заключительной фразе своего предисловия[7].
В основедифференциального исчисления Эйлера лежит понятие бесконечно малой величины. Вэтом отношении он следует первому учебнику анализа бесконечно малых Лопиталя(1696г.), написанному под большим влиянием И. Бернулли.
Разъясняяпонятия бесконечно малых и бесконечно больших величин, Эйлер стремится отвестиупреки относительно принебрежения в анализе «геометрической строгостью». Однакопопытки логического обоснования основных начал анализа Эйлеру не удались.Существо этих попыток заключалось в построении «исчисления нулей». Прежде всегоЭйлер вводит два способа сравнения нулей: арифметический и геометрический. Припервом рассматривается разность нулей, при втором – их отношение.
Определяябесконечно малые количества как чистые нули, Эйлер вынужден полемизировать сЛейбницем, считавшим, что существуют некие последние частицы, называемые«атомами», «монадами» иди «простыми сущностями»[8].
В работе одифференциальных уравнениях (1728г.) Эйлер рассматривает классы однородныхуравнений второго порядка. К этому же времени относятся его исследования огеодезических линиях. Соответствующее дифференциальное уравнение оказалосьтакже второго порядка. В работе о началах вариационного исчисления (1744г.) ониспользует дифференциалы любого порядка, а также понятие функции многихпеременных.
5. Интегральноеисчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений
В 1768 годуПетербургская академия издала первый том «Интегральное исчисление» Л. Эйлера.Второй и третий тома также в России в 1769 и 1770 годах. Широта содержания,необычайное богатство новых результатов, в подавляющем большинствепринадлежащих самому Эйлеру, проникновение в сложные вопросы теориидифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных,- все это определило значение и роль трехтомного сочинения Эйлера в историиматематического анализа. Без преувеличения можно сказать, что «Интегральноеисчисление» Эйлера составляет эпоху в развитии математического анализа. Этоттруд оказал также влияние на дальнейшее развитие ряда математических наук.
В понятиеинтегрального исчисления Эйлер, как и его современники, включал не толькоинтегрирование функций, но и интегрирование дифференциальных уравнений,обыкновенных и в частных производных.
В связи сэтим три тома «Интегрального исчисления» содержат такие разделы: интегрированиефункций, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первогопорядка, интегрирование дифференциальных уравнений второго и высшего порядков,интегрирование уравнений с частными производными.
В 1794 г. ужепосле смерти Эйлера Петербургская академия наук издала четвертый том«Интегрального исчисления», содержащий дополнения, главным образом, к первымдвум томам. В Собрании сочинений Л. Эйлера материал четвертого тома распределенпо соответствующим томам первой серии этого издания.
В своемиздании Эйлер указывает: «Интегральное исчисление должно быть распространено наразыскание функций двух или большего числа переменных, когда заданокакое-нибудь соотношение между дифференциалами»[9]. Он отмечает,что нахождение функции двух и большего числа переменных по заданномусоотношению между их дифференциалами еще нигде не излагалось. Решение этойзадачи принесло бы «очень большую пользу механике и особенно в учении ожидкостях». Таким образом, задача ставится в плане решения любыхдифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных.Далее Эйлер определяет полный и частный интегралы. Понятиями полного и частногоинтегралов обыкновенных дифференциальных уравнений он владел еще в 1738 году, ав своих печатных работах ввел их впервые в 1743 году.
Рассматриваяосновные направления развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII века, появляются первыезадачи динамики точки при их аналитической трактовке, которые потребовалиметодов интегрирования нелинейных уравнений второго порядка и их систем.
Назревалатакже потребность в развитии теории линейных уравнений. Это объясняется тем,что в начале XVIII века приобретала все более серьезное значение теории малыхколебаний материальных систем с конечным числом степенной свободы. В связи сконструированием достаточного точных маятниковых часов, необходимых дляастрономических наблюдений, а также с первыми гравиметрическими проблемамивозникла необходимость в построении аналитической теории математического ифизического маятников, являющейся развитием результатов Гюйгенса (конец XVIII в.).
Другоенаправление теории обыкновенных дифференциальных уравнений – численные методы приближенногоинтегрирования дифференциальных уравнений – было обусловлено в значительнойстепени требованиями небесной механики.
Одним изнаправлений в развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений былотакже изучение особых решений. Оно определялось задачами геометрическогосодержания, в частности задачами быстро развивавшейся дифференциальнойгеометрии. Главнейшими задачами из них были задачи о нахождении огибающих иизогональных траекторий семейств кривых (позже – семейств поверхностей). В XVIII веке направление,связанное с изучением семейств плоских кривых, в частности семействинтегральных линий, было наименее значительным. Однако уже в начале второйчетверти XIX века тесно связанная с теорией особых решений проблемаединственности решения задач с начальными условиями, а вместе с ней и общаяпроблема существования решений приобрели в теории обыкновенных дифференциальныхуравнений первостепенное значение.
Уровеньнакопленных к началу XVIII веку знаний о свойствах и способах решенийобыкновенных дифференциальных уравнений был совершенно недостаточен дляизучения новых сложных задач. Поэтому не удивительно, что уже с начала второйчетверти XVIII века наблюдалось значительное повышение интереса к этой областианализа. В первом же томе «Комментариев» Петербургской академии за 1726 годбыли помещены исследования по дифференциальным уравнениям Я. Германа. Х.Гольдбаха, И. Бернулли и его сыновей Николая и Даниила. Весьма значительноеразвитие в XVIII веке теория дифференциальных уравнений получила в трудах Эйлера,братьев Бернулли, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.
Естественно,что достижения Эйлера, первые в огромной новой области анализа, не могли бытьдостаточно общими и завершенными. Теорию уравнений в частных производных развилдальше Ж. Лагранж. Анализ его исследований показывает преемственность эйлеровыхрезультатов. Начало нового периода в развитии теории уравнений в частныхпроизводных не только первого, но и высшего порядков связано с работами Г.Монжа. Этот период характеризуется существенным проникновением в теориюдифференциальных уравнений в частных производных новых геометрических идей.Дальнейшее развитие геометрическая теория уравнений в частных производныхполучила в трудах геометров XIX века. История теории дифференциальных уравненийв частных производных второго и высших порядков представляет собой взначительной степени историю теории дифференциальных уравнений математическойфизики.
Список используемойлитературы
1. История отечественнойматематики в четырех томах. Том 1.
Академия наук СССР