Реферат по предмету "Математика"


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

--PAGE_BREAK-- задані значення функції . Многочленним ермітовим сплайном 4-го степеня називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь



 (28)
Згідно з означенням 4 параметри ланки (27) ермітового сплайна (23) задовольняють системі рівнянь (28):




 (29)
де . Розв’яжемо систему (29) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (29) знайдемо вирази для



. (3)
Прирівняємо вирази для (31) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (29), отримаємо два вирази для



 (31)

 (32)
Прирівнявши між собою вирази для  із (32) і (33), отримаємо рівняння
 (33)




Підставивши перший вираз для (3) і перший вираз для (31) в друге рівняння системи (29) отримаємо рівняння



 (34)


Підставивши третій вираз для (3) і перший вираз для (31) в п’яте рівняння системи (3) отримаємо рівняння



 (35)


Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (23-35) щодо трьох невідомих . Розв’язавши її отримаємо



 (36)


Із формул (30), (31), (32) і (36) для параметрів  випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (27) є виконання умови .
4. Похибки наближення ермітовими сплайнами
Максимальна похибка  рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів у ланці має вигляд



, (37)
а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів



 (38)
де   — кількість ланок сплайна на інтервалі , — вагова функція,   — ядро похибки наближення,   — дефект ермітового сплайна, . Для ермітового сплайна з ланкою (13) кількість параметрів , дефект сплайна за означенням , величина . Щоб скористатись формулами (37) і(38), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення , який би не залежав від параметрів ланки сплайна . Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.

Теорема 1. Нехай для функції   при  існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами  і ланками вигляду



 (39)


Тоді для функції  на проміжку  з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів і ланками вигляду



 (40)
Нехай  — найбільша відносна похибка наближення функції  на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (39), а  — найбільша відносна похибка наближення функції  на проміжку  ермітовим сплайном з ланкою вигляду (40). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;



 (41)

. (42)
Доведення. Сплайн з ланкою вигляду (39) характеризується системою рівнянь
 (43)




а сплайн з ланкою вигляду (4) — системою рівнянь



 (44)


Надалі опускаємо індекс, який вказує на приналежність параметра до -ї ланки. Із системи (44) при  матимемо



.



Подамо  як , про логарифмуємо це рівняння і отримаємо



,
де .Тобто при  рівняння із системи (44) зведене до рівняння із системи (43).

При рівняння із системи (44) має вигляд



.
Помножимо чисельник і знаменник цього рівняння на



.


Оскільки з умов теореми  не дорівнюють нулю, то рівність досягається за умови, що



,
а це і є рівняння із системи (43) при .

Використовуючи метод математичної індукції, покажемо, що рівняння із системи (44) зводиться до рівнянь із системи (43) за довільних . Нехай це доведено для . Доведемо для . Рівняння із системи (43) при :



.
Для  рівняння із системи (44) має вигляд



.
Про диференціюємо це рівняння і отримаємо

Перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю через рівність нулю останнього співмножника. Рівняння набере вигляду


.
Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних  рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а, значить, і системи рівносильні. Тому  при , а .

Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай точка, в якій досягається максимальна похибка наближення функції  ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює



.
Із цієї рівності випливає, що



.
У правій частині маємо відносну похибку наближення функції  ермітовим сплайном з ланкою (4) на проміжку . Звідси . Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції  ермітовим сплайном з ланкою виглядузводиться до наближення функції  ермітовим сплайном з ланкою . При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.

Теорема 2. Нехай для функції    при  існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами  і ланками вигляду





 (45)
Тоді для функції  на проміжку  з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду



 (46)
Нехай  — найбільша відносна похибка наближення функції  на проміжку  ермітовим сплайном з ланкою (45), а  — найбільша відносна похибка наближення функції  на проміжку  ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;



 (47)

.  (48)
Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння



 , (49)


а до системи (43) рівняння



    продолжение
--PAGE_BREAK--


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат «Военно-медицинская академия им. С. М. Кирова»
Реферат Анализ стихотворения Родина Лермонтова
Реферат Производство сока яблочного натурального с мякотью
Реферат 1. Затвердити Порядок проведення містобудівного моніторингу, що додається
Реферат Документоведение основные понятия
Реферат Проектирование кислородно-конвертерного цеха 2 ОАО ММК
Реферат Уравнение химической реакции
Реферат Sir Richard Artwright Essay Research Paper Sir
Реферат Расчет механизмов вилочного погрузчика
Реферат Оцінка результатів маркетингового аналізу міжнародного середовища та можливої реакції компанії на зміни в середовищі. Сутність спільного інвестування як стратегії виходу фірми на зовнішній ринок
Реферат Ультразвуковая экстракция полисахаридов льна
Реферат Религиозно-коммунистическое движение в Германии
Реферат Млечный путь
Реферат Бухгалтерский баланс и анализ фининсового состояния и кредитоспособности на примере ТУП Белтехносервис
Реферат Умягчение воды анионированем