Курсова робота
Рішення ірраціональнихрівнянь
Введення
Тема моєї курсової роботи рішення ірраціональнихрівнянь. Я вибрала її тому, що в навчальному курсі, цьому матеріалу присвяченомало годин, а в задачниках велика кількість прикладів присвячена саме цій темі.
Тому у вивченні «ірраціональних рівнянь» я маю на меті- дати основні визначення ірраціональним рівнянням і теоремам. Визначити якібувають види рівнянь. Розглянути правила рішення ірраціональних рівнянь.
Задачі моєї роботи — вивчити наукову й методичнулітературу, підібрати й розглянути задачі для даної теми.
У моїй курсовій роботі показані рішення ірраціональнихрівнянь як стандартного методу, так і не стандартного методу рішення. Янамагалася як можна доступніше охопити проблеми цієї теми. Звичайно, всі неможна врахувати в курсовій роботі, але я постараюся нижче викласти основнімоменти. Я хотіла б зробити дану роботу допоміжним посібником при вивченні теми«Ірраціональні рівняння».
1. Основні визначення й теореми
Визначення 1. Рівняння — це два вираження, з'єднанізнайомий рівності; у ці вираження входить одна або трохи змінних, називанихневідомими.
Приклад 1. /> — є рівнянням з однієїневідомої.
Приклад 2. /> - є рівнянням із двоманевідомими.
Визначення 2. Рівність виду /> називається рівнянням з однієїзмінної />.
Приклад 1. /> - є рівнянням з однієїзмінної х.
Далі розглядаємо рівняння з однієї змінної.
Визначення 3. Усяке значення змінної, при якомувираження /> й/> приймаютьрівні числові значення, називається коренем рівняння або його рішенням.
Приклад 1. Рівняння /> має двакорені: -1 і 1.
Визначення 4. Вирішити рівняння — виходить, знайтимножину всіх його рішень або довести, що їх немає.
Приклад 1. Рівняння /> має єдинийкорінь 4, тому що при цьому й тільки при цьому значенні змінної /> звертається у вірнурівність, таким чином, відповідь записується в наступному виді:
Відповідь: {4}.
Приклад 2. Рівняння />/> не має дійсних корінь.
Відповідь:/>.
Приклад 3. Рівняння /> маєнескінченна множина рішень, тому що після тотожних перетворень одержалирівність />.Дане рівняння /> є тотожна рівність, вірне длябудь-якого дійсного значення />.
Відповідь: />.
Визначення 5. Тотожність (тотожна рівність) — церівність двох виражень зі змінними, вірне при всіх припустимих значенняхвхідних у нього змінних. Тотожностями вважаються й вірні числові рівності, атакож рівності, що перетворюються у вірну числову рівність для всіх числовихзначень букв, для яких ці вираження визначені.
Приклад 1. Рівність />, справедливодля всіх числових значень />і в, є тотожним.
Приклад 2. Рівність 2=2тотожність.
Визначення 6. Тотожне перетворення вираження — цезаміна вираження на тотожно рівне йому вираження, тобто рівне для всіх числовихзначень вхідних у нього змінних.
До тотожних перетворень ставляться, наприклад,приведення подібних доданків; розкладання на множники; приведення алгебраїчнихдробів до загального знаменника; розкладання їх на елементарні дроби й інші.
Визначення 7. Ірраціональним називають рівняння, уякому змінна втримується під знаком радикала або під знаком введення в дробовийступінь.
Приклад 1. /> - ірраціональнерівняння (змінна втримується під знаком радикала).
Приклад 2. /> ірраціональне рівняння(змінна втримується під знаком введення в дробовий ступінь).
Визначення 8. Областю визначення рівняння (або областюприпустимих значень змінної — ОПЗ) />називають множина всіх тих значеньзмінної />,при яких і вираження />, і />мають сенс.
Приклад 1. /> Вираження (/>і /> визначені привсіх />.Виходить, ОПЗ: />.
Приклад 2. />. Вираження /> не визначенепри />, авираження /> невизначене при />.
Виходить, ОПЗ: />.
Приклад 3. />. Корінь парного ступенямає сенс лише при ненегативних значеннях підкореневого вираження. Виходить,одночасно повинні виконуватися умови: /> тобто ОПЗ: />
Визначення 9. Нехай дані рівняння: /> (1), /> (2).
Якщо кожний корінь рівняння (1) є одночасно коренемрівняння (2), то рівняння (2) називається наслідком рівняння (1). Наслідокпозначається в такий спосіб: /> />
Приклад 1. />
У процесі рішення рівняння часто доводитьсязастосовувати такі перетворення, які приводять до рівняння, що є наслідкомвихідного. Рівнянню-Наслідку задовольняють всі корені вихідного рівняння, але,крім них, рівняння-наслідок може мати й такі рішення, які не є коріннямивихідного рівняння, так звані, «сторонні» корені. Щоб виявити й відсіяти«сторонні» корінь, звичайно надходять так: всіх знайдених коріньрівняння-наслідку перевіряють підстановкою у вихідне рівняння.
Розглянемо приклади перетворень, які можуть привестидо розширення ОПЗ, тобто до появи «сторонніх» корінь.
Заміна рівняння /> рівнянням />
Якщо при деякому значенні />, рівному />, вірне рівність />, то вірним є такожрівність />.Виходить, рівняння /> є наслідком вихідного рівняння.При цьому може існувати таке значення />, рівне />, при якому /> й />. Тоді число />, що є коренемрівняння />,не є коренем вихідного рівняння, тому що при /> вихідне рівняння не має змісту.
Приклад 1. Вирішитирівняння />.
Рішення. />. Тоді />.
Перевірка.
При /> знаменник рівняння не звертаєтьсяв нуль, а при /> - звертається. Отже, вихіднерівняння має єдиний корінь: -10.
Відповідь: />.
2. Введення обох частин рівняння у квадрат
Нехай дані два рівняння /> (1) і />. Якщо /> — корінь першого рівняння, товірно рівність />. З рівності двох чисел випливаєрівність їхніх квадратів, тобто />, а це означає, що /> — корінь рівняння (2).Значить із рівняння (1) потрібне рівняння (2).
У той же час із рівності квадратів чисел не потрібнерівність цих чисел. Тому з рівняння (2) не потрібне рівняння (1). Звідсивипливає, що якщо при рішенні рівняння використовувалося введення обох частинрівняння у квадрат, те потрібно повести додаткове дослідження, що дозволяєвиключити «сторонні» корені, якщо вони з'явилися.
Приклад 1. Вирішитирівняння />.
Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння уквадрат.
/>; />.Тоді />, />.
Перевірка.
Якщо />, те/>, рівність не вірно, отже, -1- неє коренем вихідного рівняння.
Якщо />, то 4=4, рівність вірно.
Отже, рівняння має єдиний корінь: 4.
Відповідь: {4}.
3. Виконання в одній частині (або в обох частинах)рівняння тотожних перетворень, що приводять до розширення області визначеннярівняння.
Якщо деяке тотожне перетворення привело до розширенняобласті визначення рівняння, то одержуємо рівняння — наслідок. При цьому можутьіснувати такі значення змінної, які є коріннями вихідного рівняння.
Приклад 1. Вирішитирівняння />.
Рішення. Виконавши приведення подібних доданків,одержимо: />.Тоді />, />.
Перевірка.
Якщо />, то вираження /> не має змісту.
Якщо />, те/>, рівність вірно.
Отже, рівняння має єдиний корінь:5.
Відповідь: {5}.
Приклад 2. Вирішитирівняння />.
Рішення. /> або />. Тоді />, />.
Перевірка.
Якщо />, то вираження /> не має змісту.
Якщо />, те/>, рівність вірно.
Отже, рівняння має єдиний корінь:-2.
Якщо при рішенні рівняння ми замінили його рівнянням — наслідком, то зазначена вище перевірка є невід'ємною частиною рішення рівняння.Тому важливо знати, при яких перетвореннях дане рівняння переходить у наслідок.
Розглянемо рівняння /> (3) і помножимо обидві частини йогона одне й теж вираження />, що має зміст при всіх значеннях />. Одержиморівняння: /> (4),коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь рівняння />.
Виходить, рівняння (4) є наслідок рівняння (3). Ясно,що рівняння (3) і (4) рівносильні, якщо «стороннє» рівняння /> не має корінь. Такимчином, справедлива наступна теорема.
Теорема 1. Якщо обидві частини рівняння помножити на />, то вийдерівняння, що є наслідком вихідного. Якщо рівняння /> не має корінь, то отриманерівняння рівносильне вихідному (якщо область припустимих значень />не вже областіприпустимих значень змінної даного рівняння).
Приклад 1. /> .
Помітимо, що подібне перетворення, тобто перехід відрівняння (4) до рівняння (3) діленням обох частин рівняння (4) на вираження />, як правило,неприпустимо, оскільки можна привести до втрати корінь, у цьому випадку можуть«втратитися» коріння рівняння />.
Приклад 2. Рівняння /> має двакорені: 3 і 4.
Ділення обох частин рівняння на /> приводить до рівняння />, що має тількиодин корінь 4, тобто відбулася втрата кореня.
Знову візьмемо рівняння (3) і зведемо обидві йогочастини у квадрат. Одержимо рівняння: /> (5), коріннями якого служать яккоріння рівняння (3), так і корінь «стороннього» рівняння />. Ясно, що рівняння (3)і (5) рівносильні, якщо в «стороннього» рівняння немає кореню.
Приклад 3. Рівняння /> має корінь 4.Якщо обидві частини цього рівняння піднести до квадрата, то вийде рівняння />, що мають двакорені: -2 і 4. Виходить, рівняння /> — наслідок рівняння />. При переході відрівняння />дорівняння /> з'явився«сторонній» корінь: -2.
Теорема 2. При піднесенні обох частин рівняння уквадрат (і взагалі в будь-який парний ступінь) виходить рівняння, що єнаслідком вихідного.
Приклад 1. />.
При рішенні ірраціонального рівняння найчастішенамагаються замінити його більше простим, але рівносильним вихідному. Томуважливо знати рівносильні перетворення.
Визначення 10. Рівняння, що має ті самі корінь,називають рівносильними рівняннями. Рівняння, що не мають корінь, такожуважають рівносильними. Іншими словами два рівняння називають рівносильними,якщо множини їхніх рішень збігаються. Рівносиль позначається в такий спосіб: />.
Приклад 1. Рівняння /> й /> рівносильні,тому що кожне з них має єдиний корінь – число 3. />/>/>.
Приклад 2. Рівняння /> й /> нерівносильні, тому що перше має тільки один корінь: 6, а друге має два корені: 6і -6.
Приклад 3. Рівняння /> й /> рівносильні,тому що множини їхніх рішень порожні. />/>/>.
Визначення 11. Нехай дані рівняння /> й /> і деяка множина М. Якщобудь-який корінь першого рівняння, що належить множині М, задовольняють другомурівнянню, а будь-який корінь другого рівняння, що належить множині М,задовольняє першому рівнянню, те ці рівняння називаються рівносильними намножині М.
Приклад 1. /> і /> не є рівносильними намножині всіх дійсних чисел, тому що перше рівняння має єдиний корінь 1, а другемає два корені: -1 і 1. Але ці рівняння рівносильні на множині всіх ненегативнихчисел, тому що кожне з них має на цій множині єдиний корінь: 1.
Відзначимо, що часто множину М збігається або з ОПЗрівняння />,або множиною всіх дійсних чисел.
Є ряд теорем про рівносиль рівнянь.
Теорема 3. При піднесенні обох частин рівняння в тусаму непарний ступінь виходить рівняння, рівносильне вихідному.
Приклад 1. />.
Теорема 4. Якщо в рівнянні який-небудь доданокперенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння,рівносильне вихідному.
Приклад 1. />/>.
Теорема 5. Якщо обидві частини рівняння помножити аборозділити на одне й теж відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильневихідному.
Приклад 1. /> (обидві частини першогорівняння розділили на 2).
Теорема 6. Якщо в який або частини рівняння виконатитотожні перетворення, що не міняють області визначення рівняння, то вийдерівняння, рівносильне вихідному.
У шкільній практиці при рішенні ірраціональних рівняньнайчастіше використовуються два основних методи:
1) обох частин рівняння в ту саму ступінь;
2) введення нових (допоміжних) змінних.
Ці методи будемо вважати стандартними. В обов'язковомушкільному курсі звичайно цими методами й обмежуються. Однак іноді доводитьсязастосовувати нестандартні методи й штучні прийоми рішення ірраціональнихрівнянь.
Типова помилка при рішенні ірраціональних рівняньполягає в тому, що школярі без додаткових пояснень використовують перетворення,що порушують рівносиль, що приводить до втрати кореня і появі «сторонніх» коренів.
При піднесенні обох частин ірраціонального рівняння вту саму ступінь потрібне мати на увазі, що якщо ступінь — не парне число, тоодержимо рівносильне рівняння, якщо ж ступінь — парне число, то одержиморівняння — наслідок. Тому при рішенні ірраціональних рівнянь у більшостівипадків необхідна перевірка знайдених рішень.
Перевірки можна уникнути, якщо вирішуватиірраціональні рівняння за допомогою рівносильних замін. Для цього корисно знатьнаступні теореми.
Теорема 7. Рівняння виду /> рівносильне змішаній системі />
Рівняння виду />
Теорема 8. Рівняння виду /> або />.
Рівняння виду />.
Далі розглянемо більш докладно типи ірраціональнихрівнянь і методи їхнього рішення.
2. Стандартні ірраціональні рівняння
Як правило, у шкільному курсі розгляд ірраціональнихрівнянь зводиться до розбору декількох нескладних прикладів. Вони в більшостівипадків вирішуються введенням у квадрат лівої й правої частин рівняння. Післярішення обов'язково виконується перевірка. Не звертається увага на те, щоірраціональні рівняння можуть вирішуватися й з використанням поняття рівносиль.У даному параграфі представлені різні види ірраціональних рівнянь, які можнавіднести до стандартного й вирішувати одним з наступних методів, а саме:
1) метод переходу до рівняння — наслідку з наступноюперевіркою отриманих корінь;
2) метод рівносильного переходу до рівняння або дозмішаної системи;
3) метод введення нової змінної.
2.1 Рівняння виду />
Приклад 1. Вирішити рівняння/>.
Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння уквадрат./>.
Відповідь: {6}.
Приклад 2. Вирішитирівняння />.
Рішення. У лівій частині вихідного рівняння коштуєарифметичний квадратний корінь — він по визначенню ненегативний, а в правійчастині — негативне число.
Отже, рівняння не має кореня.
Відповідь:/>.
Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуютьсярівняння даного виду.
/> , якщо /> й не має рішення, якщо />.
Приклад 3. Вирішитирівняння />.
Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння вкуб.
/>; />.
Відповідь: {-5}.
Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуютьсярівняння даного виду: />.
2.2 Рівняння виду />
Досить часто при рішенні рівнянь даного виду учнівикористовують наступне формулювання властивості добутку «Добуток двохспівмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю». Помітимо,що формулювання властивості добутку повинна виглядати в такий спосіб: « добутокдвох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю, а іншоїпри цьому має сенс».
Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуютьсярівняння даного виду:
/>/>
Приклад 1. Вирішитирівняння />.
Рішення./>
/>/>.
Відповідь: {-2;6}.
Приклад 2. Вирішитирівняння />.
Рішення. У цьому випадку рівняння не має виду,зазначеного в заголовку. Отже, його необхідно перетворити. Але спочаткузнайдемо ОПЗ змінної />.
ОПЗ:/>/>/>
Перетворимо рівняння до виду />
/>
При рішенні рівняння учні часто необґрунтовано ділятьобидві частини рівняння на вираження, що містить невідоме (у цьому випадку, на />), що приводитьдо втрати кореня й придбанню «стороннього». Подібні рівняння, що містять в обохчастинах загальний множник, варто вирішувати переносом всіх членів в однучастину й розкладанням отриманого вираження на множники./>
/>/>/>
Вирішимо кожне рівняння із сукупності.
/>; />.
/>/>/> (1).
З огляду на, що ОПЗ: /> одержуємо, що рівняння (1) рівносильно сукупності: />
/>. Тоді />, /> не задовольняє умові />
/>/>, дане рівняння не має корінь.
Отже, сукупність прийме наступний вид: />
Повернемося до системи: />
Відповідь: {-3;6}.
2.3 Ірраціональні рівняння, які вирішуютьсявведенням нової змінної
При рішенні різних видів рівнянь: раціональних,тригонометричних, показових часто використовується метод введення новоїзмінної. Нова змінна в рівняннях іноді дійсно очевидна, але іноді її важкопобачити, а можна виявити тільки лише в процесі яких або перетворень. Буваєкорисно ввести не одну, а дві змінні. Бачимо типові випадки введення новихзмінних в ірраціональних рівняннях.
Приклад 1. Вирішитирівняння />
Рішення. Уведемо нову змінну. Нехай />, />, де />. Одержуємо, що /> />.Тоді /> — не задовольняє умові />
Виконаємо зворотну заміну. />
Відповідь:{34}.
Приклад 2. Вирішитирівняння />
Рішення. Самота радикала й введення в ступінь обохчастин рівняння привело б до громіздкого рівняння. У той же час, якщо виявитидеяку спостережливість, то можна помітити, що дане рівняння зводитися доквадратного. Дійсно, помножимо обидві частини заданого рівняння на 2, одержимо,що /> /> /> />
Уведемо нову змінну. Нехай /> Одержуємо, що />. Тоді /> - не задовольняє умові />, />
Виконаємо зворотну заміну. /> /> Тоді />, />
Так як вихідне рівняння рівносильне рівнянню /> те перевіркаотриманих корінь не потрібна.
Відповідь: {-2;3,5}.
Приклад 3. Вирішитирівняння />
Рішення. Перетворимо дане рівняння. />/>
Уведемо нову змінну. Нехай, /> а /> Одержуємо, що />. Тоді /> — не задовольняє умові />.
Виконаємо зворотну заміну. />.
2.4 Рівняння виду />, />, />
Дані рівняння можна вирішити за допомогою основногометоду рішення ірраціональних рівнянь (введення у квадрат обох частинрівняння), але іноді їх можна вирішити й іншими методами.
Розглянемо рівняння /> (1). Нехай /> - корінь рівняння (1).Тоді справедливо числова рівність />. Знайдемо різницю чисел /> і />, позначивши її/>, ізапишемо дану рівність у вигляді /> (2).
Використовуючи, що />, запишемо рівність (2) у вигляді />. Данарівність означає, що число /> є корінь рівняння /> (3).
Таким чином, рівняння (3) є наслідком рівняння (1).Складаючи ці два рівняння й множачи отримане рівняння на а, одержимо рівняння/>(4), що такожє наслідком рівняння (1). Звівши рівняння (4) у квадрат і вирішивши отриманерівняння, потрібне виконати перевірку знайдених корінь, тобто перевірити, чи єйого коріння коріннями рівняння (1).
Зауваження. Відзначимо, що точно також доводиться, щорівняння (4) є наслідок рівняння />.
Приклад 1. Вирішитирівняння /> (5).
Рішення. Різниця підкореневих виражень /> і /> є
/>. />,
те рівняння />(6) є наслідком вихідногорівняння. Тоді, складаючи рівняння (5) і (6), одержимо рівняння /> (7), що також єнаслідком вихідного рівняння (5). Зведемо обидві частини рівняння (6) уквадрат, одержимо рівняння /> (8), що також є наслідкомвихідного рівняння. Вирішуючи рівняння (8), одержуємо, що />, />
Перевіркою переконуємося, що обоє цих числа єкоріннями вихідного рівняння.
Відповідь:/>.
Зауваження. Рівняння виду /> можна вирішувати множенням обохчастин рівняння на деяке вираження, що не приймає значення нуль (на сполученелівій частині рівняння тобто />
Приклад 2. Вирішитирівняння /> (8).
Рішення. />, те помножимо обидві частинирівняння на вираження />, що є сполученим лівої частинирівняння (8). /> />. Після приведення подібнихдоданків одержуємо рівняння /> (9), рівносильне вихідному, томущо рівняння />дійсних корінь не має. Складаючирівняння (8) і (9) одержуємо, що />. Тоді />/>
Відповідь:/>.
Зауваження. Також рівняння виду /> можна вирішувати задопомогою ОПЗ рівняння й рівносильних переходів від одних рівнянь до інших.
Приклад 3. Вирішитирівняння />
Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ:/>Отже, />
На ОПЗ обидві частини рівняння позитивні, тому після введенняу квадрат одержимо рівняння: />, рівносильне для /> рівнянню
/>
Іноді рішення рівняння можна знайти, вирішуючи його нарізних числових проміжках.
Для кожного />маємо />, а />. Отже, серед />немає рішень рівняння />.
Для /> маємо />. Отже, />/> для />. />. Тоді />. Так як />, те /> є коренем рівняння />,рівносильному рівнянню /> для цих х.
Відповідь: />.
Приклад 4. Вирішитирівняння />
Рішення. Перетворимо вихідне рівняння. />
Зведемо обидві частини даного рівняння у квадрат.
/>
Перевірка показує, що 5 є коренем вихідного рівняння.
Зауваження. Іноді значно простіше можна вирішуватирівняння виду />, якщо скористатися властивостямимонотонності функцій, а саме тим, що сума двох зростаючих функцій є зростаючоюфункцією, і всяка монотонна функція кожне своє значення приймає, лише приодному значенні аргументу. Дійсно, функції /> й /> — зростаючі. Отже, їхня сума — зростаюча функція.
Виходить, вихідне рівняння, якщо має корінь, те тількиодин. У цьому випадку, з огляду на, що />, підбором легко знайти, що 5 єкоренем вихідного рівняння.
Приклад 5. Вирішитирівняння />
Рішення. Якщо обидві частини вихідного рівнянняпіднести до квадрата, то вийде досить складне рівняння. Надійдемо по-іншому:перетворимо рівняння до виду:
/>
Вирішимо нерівність системи.
/>/>/>
Рішенням системи є множина:
/>.
Вирішимо рівняння системи.
/>
Переконуємося, що 2 належить множині рішень нерівності(мал.1).
Зауваження. Якщо вирішувати дане рівняння введеннямобох частин у квадрат, то необхідно виконати перевірку. 2 — ціле число, томупри виконанні перевірки труднощів не виникають. А що стосується значення />, топідстановка його у вихідне рівняння приводить до досить складних обчислень.Однак такої підстановки можна уникнути, якщо помітити, що при цьому значенніправа частина рівняння /> приймає негативне значення: />. Тоді як лівачастина рівняння негативної бути не може. Таким чином, />не є коренем рівняння — наслідкуданого рівняння. Тим більше, це значення не може бути коренем вихідногорівняння. Отже, корінь рівняння — число 2.
Приклад 6. Вирішитирівняння />
Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ: />
Отже, />
Для будь-яких значень /> із ОПЗ, що задовольняють умові />, тобто для /> із проміжку /> ліва частинарівняння негативна, а перша – ненегативна, виходить, жодне із цих /> рішеннямрівняння бути не може.
Нехай />. Для таких /> обидві частини рівнянняненегативні, і тому воно рівносильне на цій множині рівнянню:
/>.
Уведемо нову змінну. />. Одержуємо, що />. Тоді /> - не задовольняє умові />, />.
Виконаємо зворотну заміну.
/>; />; />
/>.
Тоді /> — не задовольняє умові />,
/>
Відповідь: />.
Приклад 7. Вирішитирівняння />
Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ: />
Отже, що />
Легко бачити, що />, тому що />.
Розділимо обидві частини рівняння на />. Одержуємо, що
/>
Перетворимо />. Уведемо нову змінну. Нехай />, а />. Тоді рівнянняприйме вид: />; />; />: />. Тоді /> — не задовольняє умові />, />. Виконаємозворотну заміну.
/>
Відповідь: />.
Приклад 8. Вирішитирівняння />
Рішення. Перетворимо вихідне рівняння./>
/>
Зведемо обидві частини отриманого рівняння у квадрат.
/>
Тоді />
Отже, перевірка показує, що -1,2 — не є коренемвихідного рівняння, а 3 — є.
Зауваження. Дане рівняння можна вирішувати й задопомогою рівносильних переходів, але тоді його рішенні буде набагатоскладніше, ніж наведене вище.
Відповідь: {3}.
Приклад 9. Вирішитирівняння />
Рішення. Помітимо, що всі квадратні тричлени позитивнівідносно /> />. Перепишеморівняння у вигляді:
/>
Позначимо для стислості підкореневі вираження через /> відповідно.Помножимо й розділимо ліву й праву частину рівняння на сполучені співмножники.Одержуємо, що
/>
Повернемося до рівняння.
/>
Друге рівняння сукупності рішень не має, оскількиобидва знаменники позитивні. Отже, />
Зауваження. Також рішення даного рівняння можназнайти, досліджуючи його на різних числових проміжках.
Спочатку виділимо /> й /> відповідно в кожному зпідкореневих виражень у правій частині рівняння.
/>
Отже, вихідне рівняння має вигляд:
/>
Позначимо для стислості підкореневі вираження через />, />, /> і /> відповідно.Так як вираження /> звертається в нуль при />, те розглянеморішення даного рівняння при />, /> і />.
Якщо />, то />>/>, />>/>/>/>+/>>/>+/>.
Отже, при /> вихідне рівняння не має корінь.
Якщо />, то />, />/>/>+/>+/>.
Отже, при /> вихідне рівняння не має корінь.
Якщо />, то />=/>, />=/>/>/>+/>=/>+/>.
Отже, -1 є єдиним коренем вихідного рівняння.
Відповідь:{-1}.
Зауваження. Отже, при рішенні рівнянь із радикалами потрібневміти користуватися кожним із цих методів і вибирати в кожному випадкуоптимальний.
3. Не стандартні методи рішення ірраціональнихрівнянь
Існують ірраціональні рівняння, які вважаються дляшколярів звичайних освітніх шкіл задачами підвищених труднощів. Для рішеннятаких рівнянь краще застосовувати не традиційні методи, а прийоми, які незовсім звичні для учнів. У цій главі приводяться рішення рівнянь заснованих награфічних міркувань, властивостях функції (таких, як монотонність, обмеженість,парність), застосуванні похідній і т.д.
3.1 Застосування основних властивостей функції
3.1.1 Використання області визначення рівняння
Іноді знання області визначення рівняння дозволяєдовести, що рівняння не має рішень, а іноді дозволяє знайти рішення рівняннябезпосередньою підстановкою чисел з її.
Приклад 1. Вирішитирівняння />.
/>Рішення. Знайдемо областьвизначення рівняння.
ОПЗ: />.
Отже, дана система рішень не має.
Так як система рішень не має, то й дане рівняння немає корінь.
Відповідь: />.
Приклад 2. Вирішитирівняння />
Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ: />.
Отже, /> або />.
Таким чином, рішення даного рівняння можуть перебуватисеред знайдених двох чисел.
Перевіркою переконуємося, що тільки 2 є коренемвихідного рівняння.
Відповідь: {2}.
3.1.2 Використання області значень рівнянь
Приклад 1. Вирішитирівняння />
Рішення… />, отже, />, але /> (права частина рівняннянегативна, а ліва позитивна), значить дане рівняння не має рішень.
Відповідь: />
Приклад 2. Вирішитирівняння />.
Рішення. />, те
/>; />; />; />; />; />; />.
Отже, ліва частина рівняння приймає ненегативнезначення тільки при />. А це значить, що його коренемможе бути тільки значення 5, а може трапитися, що рівняння взагалі не буде матикорінь. Для рішення цього питання виконаємо перевірку.
Перевірка показує, що 5 є коренем вихідного рівняння.
Відповідь: {5}.
3.1.3 Використання монотонності функції
Рішення рівнянь і нерівностей з використаннямвластивостей монотонності ґрунтується на наступних твердженнях.
1. Нехай f(x) — безперервна й строго монотонна функціяна проміжку Q, тоді рівняння f(x)=c, де c — дана константа може мати не більшеодного рішення на проміжку Q.
2. Нехай f(x) і g(x) — безперервні на проміжку Qфункції, f(x) — строго зростає, а g(x)- строго убуває на цьому проміжку, тодірівняння f(x)= g(x) може мати не більше одного рішення на проміжку Q.
Відзначимо, що в кожному з випадків проміжки Q можутьмати один з видів: />
Приклад 1. Вирішиморівняння />
Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ: />.
Отже, />.
На ОПЗ функції /> й /> безперервні й строго убувають,отже, безперервна й убуває функція />. Тому кожне своє значення функціяh(x) приймає тільки в одній крапці. Так як h(2)=2, те 2 є єдиним коренемвихідного рівняння.
Відповідь: {2}.
3.1.4 Використання обмеженості функції
Якщо при рішенні рівняння /> вдається показати, що для всіх /> з деякоїмножини М справедливі нерівності /> й />, то на множині М рівняння /> рівносильнесистемі рівнянь: />.
Приклад 1. Вирішитирівняння />.
Рішення. Функції, що коштують у різних частинахрівняння, визначені на />. Для кожного /> />. Отже, дане рівняннярівносильне системі рівнянь
/>.
Вирішимо друге рівняння системи:
/>; /> ; />
Тоді /> />
Перевірка показує, що 0 є коренем даного рівняння, а — 1-не є.
Відповідь:{0}.
Приклад 2. Вирішитирівняння />
Рішення. Оцінимо підкореневі вираження.
/>
Отже, />, />
Так як перший доданок лівої частини вихідного рівнянняобмежено знизу одиницею, а другий доданок-3, те їхня сума обмежена знизу 4.Тоді ліва частина рівняння стає рівної правої частини рівняння при />.
Відповідь:{2}.
3.2 Застосування похідної
У вищенаведених рівняннях були розглянуті застосуваннядеяких властивостей функції, що входять у рівняння. Наприклад, властивостімонотонності, обмеженості, існування найбільшого й найменшого значень і т.д.Іноді питання про монотонність, про обмеженість і, особливо, про знаходженнянайбільшого й найменшого значень функції елементарними методами вимагаєтрудомістких і тонких досліджень, однак він істотно спрощується призастосуванні похідної. (Наприклад, не завжди можна догадатися, як і яканерівність застосувати з «класичних»).
Розглянемо застосування похідної при рішенні рівнянь.
3.2.1 Використання монотонності функції
Надалі ми будемо користуватися наступнимитвердженнями:
1) якщо функція f(x) має позитивну похідну на проміжкуМ, /> те цяфункція зростає на цьому проміжку;
2) якщо функція /> безперервна на проміжку /> /> й маєусередині проміжку позитивну (негативну) похідну, те ця функції зростає (убуває) на проміжку;
3) якщо функція /> має на інтервалі (а;b) тотожнорівну нулю похідну, те ця функція /> є постійна на цьому інтервалі.
Приклад 1. Вирішитирівняння />
Рішення. Розглянемо функцію />
/>.
На цьому проміжку /> безперервна, усередині його маєпохідну:
/>
Ця похідна позитивна усередині проміжку />. Тому функція /> зростає напроміжку М. Отже, вона приймає кожне своє значення в одній крапці. А цеозначає, що дане рівняння має не більше одного кореня. Легко бачити, що -1 єкоренем даного рівняння й по сказаному вище інших корінь не має.
Відповідь:/>
3.2.2 Використання найбільшого й найменшого значеньфункції
Справедливі наступні твердження:
найбільше (найменше) значення безперервної функції,прийняте на інтервалі />/> може досягатися в тих крапкахінтервалу />,у яких її похідна дорівнює нулю або не існує (кожна така крапка називаєтьсякритичною крапкою);
щоб знайти найбільше й найменше значення безперервноїна відрізку/>функції, що має на інтервалі (а;b) кінцеве число критичних крапок, доситьобчислити значення функції у всіх критичних крапках, що належать інтервалу(а;b), а також у кінцях відрізка й з отриманих чисел вибрати найбільше йнайменше; якщо в критичній крапці /> функція безперервна, а їїпохідна, проходячи через цю крапку, міняє знак з «мінуса» на «плюс», то крапка /> — крапкамінімуму, а якщо її похідна міняє знак з «плюса» на «мінус», те /> — крапка максимуму.
Приклад 1. Вирішитирівняння />.
Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної x.
ОПЗ: />.
Розглянемо безперервну функцію /> на відрізку [2;4], деD(f)=[2;4].
Функція f(x) на інтервалі (2;4) має похідну:/>, звертаютьсяв нуль тільки при х=3.
Так як функція f(x)безперервна на відрізку [2;4], теїї найбільше й найменше значення перебувають серед чисел f(3);f(2);f(4). Так якf(3)=2;f(2)=f(4)=/>, />, те найбільше значення f(x) єf(3)=2.
Отже, дане рівняння має єдиний корінь: 3.
Відповідь:{3}.
4. Змішані ірраціональні рівняння й методи їхньогорішення
4.1 Ірраціональні рівняння, що містять подвійнуірраціональність
Приклад 1. Вирішитирівняння />
Рішення. Зведемо обидві частини рівняння в куб.
/> Зведемо обидві частини отриманогорівняння у квадрат. />
Уведемо нову змінну. Нехай />, тоді />. Одержуємо, що />. Тоді />.
Виконаємо зворотну заміну. /> Або />.
Тоді /> або />
Перевірка показує, що /> не є коренем даного рівняння, а1- є.
Відповідь: {1}.
Приклад 2. Вирішитирівняння />
Рішення.
/>/>
Уведемо нову змінну. Нехай />. Тоді />
Тоді система прийме наступний вид:
/>
/>
Відповідь: />
Приклад 3. Вирішитирівняння />
Рішення. Уведемо нову змінну. Нехай />. Тоді />. Одержуємо, що
/>/>.
Так як. />, те дане рівняння рівносильненаступний: />
Одержуємо, що />. З огляду на, що />, те рішення: />. Отже, />.
Виконаємо зворотну заміну. />. Тоді />
Відповідь: [-4;0].
Приклад 4. Вирішитирівняння />
Рішення. Перетворимо підкореневі вираження.
/>
Повернемося до вихідного рівняння.
/>
Останнє рівняння вирішимо методом інтервалів.
Нехай />. Одержуємо, що
/>. />, те на даному проміжку рівнянняне має корінь.
Нехай />. Одержуємо, що />Рівність вірно. Знайдемовсі значення /> з даного проміжку./>. Отже, />
Нехай />. Одержуємо, що />. Так як />, те на даному проміжкурівняння не має корінь.
Зауваження. Дане рівняння можна вирішувати, виконавшизаміну змінної />. Після рішення вихідного рівняннящодо змінної />,виконавши зворотну заміну, знайдемо корінь рівняння.
Відповідь: [0;3].
Зауваження. Вираження виду /> звичайно називають подвійнимрадикалом або складним радикалом.
Якщо підкореневе вираження являє собою повний квадрат,то можна в подвійному радикалі звільнитися від зовнішнього радикала,скориставшись рівністю />.
Перетворення подвійних радикалів.
Вправа 1. Звільнитися відзовнішнього радикала у вираженні />.
Рішення. Доданок /> можна розглядати як подвоєнийдобуток чисел /> і /> або чисел /> і />. Число 7 повинне бутидорівнює сумі квадратів цих чисел. Підбором знаходимо, що ця умова виконуєтьсядля чисел /> і/>, тобто />.
Одержуємо, що
/>
Відповідь:/>.
4.2 Ірраціональні показові рівняння
Приклад 1. Вирішитирівняння />.
Рішення. />; /> - рішень немає.
Відповідь: />
Приклад 2. Вирішитирівняння />
Рішення.
/> />
— Рішень ні, тому що />
Відповідь: />
Приклад 3. Вирішитирівняння />
/>; />
Відповідь: />.
Примі 4. Вирішити рівняння/>
Рішення.
/>; />
Уведемо нову змінну. Нехай />. Одержуємо, що />. Тоді />
Виконаємо зворотну заміну. /> Або />
/>;/>
— рішень немає.
/>;/>.
Відповідь:{3}.
Приклад 5. Вирішитирівняння />
Рішення. Множина М – загальна частина (перетинання)областей існування функцій /> — є всі />
На множині М функції /> й /> позитивні. Тому, логарифмуючиобидві частини рівняння, одержимо рівняння, рівносильне вихідному на М.
/>
/>
/>
Вирішимо рівняння сукупності.
/>. Уведемо нову змінну. Нехай />. Одержуємо, що/>. Тоді />. Виконаємозворотну заміну. /> або />. Тоді /> або />.
Одержуємо, що вихідне рівняння рівносильне системі:
/>
Відповідь: />.
Зауваження. У задачах підвищеної складностізустрічаються рівняння виду />, де /> — деякі позитивні числа. Такірівняння не є ірраціональними рівняннями, тому що не містять змінної під знакомрадикала, але всі, же розберемо їхнє рішення в даному пункті.
Приклад 6. Вирішитирівняння />
Рішення. Перетворимо вираження />
/>
Тоді вихідне рівняння прийме вид: />
Зауваження. Можна помітити, що />, отже, /> і /> — взаємно оберненічисла. Тоді />. Уведемо нову змінну. Нехай />, а />Одержуємо, щовихідне рівняння рівносильне наступний />. Тоді />
Виконаємо зворотну заміну.
/>/> або />
/>; />;/>
Тоді />.
/>; />
Тоді />
Відповідь :{-2;2}.
4.3 Ірраціональні логарифмічні рівняння
Приклад 1. Вирішитирівняння />
Рішення. />; />
З огляду на, що />, дане рівняння рівносильнесистемі:
/>
Відповідь:{32,75}.
Приклад 2. Вирішитирівняння />
Рішення. />. Перетворимо праву частинурівняння.
/>/>
Повернемося до вихідного рівняння.
/>; />
Уведемо нову змінну. Нехай />. Одержуємо, що
/>.
Вирішимо рівняння системи.
/>; />.
Тоді />
Повернемося до системи: />Отже, />
Виконаємо зворотну заміну: />
Перевірка показує, що 1 є коренем вихідного рівняння.
Відповідь: {1}.
Приклад 3. вирішитирівняння />
Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ: />
/>.
На ОПЗ вихідне рівняння рівносильне рівнянню
/>; />; />
Уведемо нову змінну. Нехай /> або />
/>; />
/>; />
Відповідь: {3;81}.
Висновок
Дана курсова робота допомогла мені навчитисявирішувати ірраціональні рівняння наступних типів: стандартного,нестандартного, показового, логарифмічні, підвищеного рівня. Застосовуватиосновні властивості функції, область визначення, область значення функції.Використовувати найбільше й найменше значення функції. Застосування похідної. Явважаю, що цілі які поставлені перед виконанням курсової роботи виконані.
Література
1. ХарковаО.В. Ірраціональні рівняння. – К., 2004
2.Колмогоров О.М. Алгебра й початок аналізу. – К., 2003
3. КуланінЕ.Д., Норін В.П. 3000 конкурсних задач по математиці. – К., 2000
4. ГусєвВ.А., Мордкович А.Д. Довідкові матеріали по математиці. – К., 2003
5.Сканаві М.М. Збірник задач по математиці. – К., 2006