--PAGE_BREAK--можно поставить в соответствие точку или вектор (рис.1).
продолжение
--PAGE_BREAK--
Рис.1
В этом случае плоскость х0у называется комплексной плоскостью ( z), ось 0х называется действительной осью, ось 0у называется мнимой осью. Расстояние ОА или длина вектора называется модулем комплексного числа Угол называется аргументом комплексного числа Очевидно, каждому комплексному числу соответствует бесконечное множество аргументов.
Главное значение аргумента
Общее значение аргумента
Так как и ,
то (2.9)
Это тригонометрическая форма комплексного числа. Чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме (2.3), представить в тригонометрической форме (2.9), следует найти:
модуль по формуле (2.10)
аргумент по формулам :
если 1-ой четверти, то ;
если 2-ой четверти, то ;
если 3-ой четверти, то ; (2.11)
если 4-ой четверти, то ,
где вспомогательный острый угол
определяют по формуле
Если то .
Если то . ( 2.12)
Если то .
Если то .
С помощью формулы Эйлера , (2.13)
можно комплексное число представить в показательной форме
(2.14)
Если в формуле (2.13) заменить на -, то получим
(2.13')
Из (2.13) и (2.13') следуют следующие формулы Эйлера:
(2.15)
3. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
Умножение. Модуль произведения равен произведению модулей, аргумент произведения равен сумме аргументов:
(2.16)
Деление. Модуль частного равен частному модулей, аргумент частного равен разности аргументов:
(2.17)
Возведение в целую степень п.Модуль возводится в степень п, аргумент умножается на п.
(2.18)
Извлечение корня степени п.Извлекается арифметический корень из модуля, общее значение аргумента делится на п. Корень имеет ровно п различных значений, если
(2.19)
Формулы (2.18) и (2.19) называются формулами Муавра.
Упражнения к § 3.2
3.20 Выполнить действия
; 5) ; 6) ; 7) ;
9) .
3.21 Представить в виде суммы более простых дробей:
1) ; 2) ; 3) .
3.22 Решить уравнения:
1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) , 11) .
3.23 Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической форме числа:
1) , 2) , 3) , 4) ,
5) , 6) , 7) , 8) ,
9) 5, 10) i.
3.24 Представить в показательной форме числа (указать главное значение аргумента):
2) ;
3) 4) ;
5) 6)
7) 8) 9)
10)
11) 12)
13) 14)
3.25 Выполнить действия: 1) 2) ,
3) , 4) , 5) ,
6) , 7) , 8)
9) , 10) ,
11) , 12) , 13) ,
14) , 15) 16) 17) .
3.26 Найти все значения корней:
3.27. Решить уравнения:
3.28 Выразить через степенииследующие функции:
3.29Доказать:
1)
2)
3)
если .
Указание. Воспользуйтесь формулами Эйлера
а также формулой суммы членов геометрической прогрессии.
Глава 4 Индивидуальные домашние задания
§4.1 Индивидуальное домашнее задание (ИДЗ) по теме: “Предел функции и непрерывность”
Задача 1. Найти пределы:
Задача 2. Найти пределы.
Задача 3. Доказать непрерывность функции продолжение
--PAGE_BREAK--f(x) в точке x.
Задача 4. Найти пределы разложением на множители и по правилу Лопиталя.
Задача 5. Найти пределы, используя метод освобождения от иррациональности.
Задача 6. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно-малые.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Задача 7. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
Задача 8. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
Задача 9. Используя формулы второго замечательного предела и его следствий, найти пределы функций.
--PAGE_BREAK--
Задача 10. Используя правило Лопиталя и эквивалентность, найти следующие пределы.
Задача 11. Применяя формулу Тейлора, вычислить пределы.
--PAGE_BREAK--
Задача 12. Найти точки разрыва, уравнения асимптот и построить схематично график функции.
§ 4.2 Индивидуальное домашнее задание по теме: «Производная и ее применение»
Задача 1. Найти первую производную функции:
Задача 2. Найти первую производную функции:
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
2.5. 2.6.
2.7. 2.8
2.9. 2.10.
2.11. 2.12.
2.13. 2.14.
2.15. 2.16.
2.17. 2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
Задача 3. Найти первую производную функции:
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5. 3.6.
3.7. 3.8.
3.9. 3.10. 3.11. 3.12.
3.13. 3.14.
3.15. 3.16.
3.17. 3.18.
3.19. 3.20.
3.21. 3.22.
3.23. 3.24.
3.25. 3.26.
3.27. 3.28.
3.29. 3.30.
Задача 4. Найти первую производную функции:
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5. 4.6.
4.7. продолжение
--PAGE_BREAK-- 4.8.
4.9. 4.10.
4.11. 4.12.
4.13. 4.14.
4.15. 4.16.
4.17. 4.18.
4.19. 4.20.
4.21. 4.22.
4.23. 4.24.
4.25. 4.26.
4.27. 4.28.
4.29. 4.30.
Задача 5. Найти первую производную функции:
5.1. 5.2.
5.3 5.4.
5.5. 5.6.
5.7. 5.8.
5.9. 5.10.
5.11.5.12.
5.13.5.14.
5.15. 5.16.
5.17. 5.18.
5.19. 5.20.
5.21. 5.22.
5.23 5.24.
5.25. 5.26.
5.27. 5.28.
5.29. 5.30.
Задача 6. Найти первую производную функции:
6.1. 6.2.
6.3. 6.4.
6.5. 6.6.
6.7. 6.8.
6.9. 6.10.
6.11. 6.12.
6.13. 6.14.
6.15. 6.16.
6.17. 6.18.
6.19. 6.20.
6.21. 6.22.
6.23. 6.24.
6.25. 6.26.
6.27. 6.28.
6.29. 6.30.
Задача 7. Найти п-ую производную функции:
7.1.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.16.
7.17.
7.19.
7.20.
7.22.
7.24.
7.25.
7.26.
7.28.
7.29.
7.30.
Задача 8. С помощью формулы Лейбница найти указанную производную данной функции:
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
8.24.
8.25.
8.26.
8.27.
8.28.
8.29.
8.30.
Задача 9. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданной неявно:
9.1. 9.2.
9.3. 9.4.
9.5. 9.6.
9.7. 9.8.
9.9. 9.10.
9.11. 9.12. продолжение
--PAGE_BREAK--
9.13. 9.14.
9.15. 9.16.
9.17. 9.18.
9.19. 9.20.
9.21. 9.22.
9.23. 9.24.
9.25. 9.26.
9.27. 9.28.
9.29. 9.30.
Задача 10. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданной параметрически:
10.1. 10.2.
10.3. 10.4.
10.5. 10.6.
10.7. 10.8.
10.9. 10.10.
10.11. 10.12.
10.13. 10.14.
10.15. 10.16.
10.17. 10.18.
10.19. 10.20.
10.21. 10.22.
10.23. 10.24.
10.25. 10.26.
10.27. 10.28.
10.29. 10.30.
Задача 11. Используя геометрический смысл производной, решить следующую задачу:
11.1 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=4х – х2, равна квадрату абсциссы точки касания.
11.2 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1 – х2/4, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.3 Через произвольную точку кривой ху = 4 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.4 Через произвольную точку кривой ху = х+2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.5 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 2/(1 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 1.
11.6 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=3хlnx
+5
x, равна утроенной абсциссе точки касания.
11.7 Через произвольную точку кривой у = а х3 проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 2/3 абсциссы точки касания.
11.8 Через произвольную точку кривой у=х2 + 2/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 3.
11.9 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=5х –2 х2, равна удвоенному квадрату абсциссы точки касания.
11.10 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у= х2/2 – 1/2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.11 Через произвольную точку кривой ху = 2 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.12 Через произвольную точку кривой ху=2х+3 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 2 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.13 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой , ординатой точки касания и осью абсцисс равна 2.
11.14 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой , равна удвоенной абсциссе точки касания.
11.15 Через произвольную точку кривой у = 3х4 проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 3/4 абсциссы точки касания.
11.16 Через произвольную точку кривой у = х2 + 18/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 27.
11.17 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у= –3х2–1, равна утроенному квадрату абсциссы точки касания.
11.18 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1/8 – 2х2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.19 Через произвольную точку кривой ху = 8 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.20 Через произвольную точку кривой проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.21 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 8/(2 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 4.
11.22 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=хlnx
+9x, равна абсциссе точки касания.
11.23 Через произвольную точку кривой проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 4/5 абсциссы точки касания.
11.24 Через произвольную точку кривой у=3х2 + 8/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 12.
11.25 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у = 3х – х2/2 равна половине квадрата абсциссы точки касания.
11.26 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой , равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.27 Через произвольную точку кривой ху = 12 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.28 Через произвольную точку кривой ху+4х=2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.29 Доказать, что площадь треугольника, образованного между касательной к кривой у = 10/(4– х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 5.
11.30 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=0,5хlnx
+2
x, равна половине абсциссе точки касания.
Задача 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:
12.1. 12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
12.8.
12.9.
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12.15.
12.16 12.17.
12.18.
12.19.
12.20.
12.21.
12.22.
12.23.
12.24.
12.25.
12.26.
12.27.
12.28.
12.29.
12.30.
Задача 13. Исследовать функцию и построить график:
13.1. а) , б)
13.2. а) , б)
13.3. а) , б)
13.4. а) , б)
13.5. а) , б)
13.6. а) , б)
13.7. а) , б)
13.8 а) , б)
13.9. а) , б)
13.10. а) , б)
13.11. а) , б)
13.12. а) , б)
13.13. а) , б)
13.14. а) , б)
13.15. а) , б)
13.16. а) , б)
13.17. а) , б)
13.18. а) , б)
13.19. а) , б)
13.20. а) , б)
13.21. а) , б)
13.22. а) , б)
13.23. а) , б)
13.24. а) , б)
13.25. а) , б)
13.26. а) , б)
13.27. а) , б)
13.28. а) , б)
13.29. а) , б)
13.30. а) , б)
Глава 5. Семинарские занятия
§ 5.1 Cеминар: Применение производной при исследовании функции
Основные вопросы
1. Признаки монотонности функции.
2.Необходимое условие существования экстремума.
3. Критические точки на экстремум.
4. Достаточные условия существования экстремума.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
6. Выпуклость и вогнутость графика функции.
7. Точки, критические на перегиб.
8. Необходимое и достаточное условия существования перегиба.
9. Асимптоты графика функции.
Задания для семинара
№1 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) , б) ,
в) , г) .
№2 При каких а функции монотонны всюду:
а), б) .
№3 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
а) , б) ,
в) , г) .
№4 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной точке хо:
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
№5 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) , б) .
№6 Определить выпуклость или вогнутость графика функции в окрестности указанных точек:
а) ,
б) .
№7 Найти асимптоты и построить график:а) ,
б) .
№8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:
а) , б) .
Задания для самостоятельной работы
№9 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) , б) , в) .
№10 При каких а функции монотонны всюду:
а), б) .
№11 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
а) , б) ,
в) .
№12 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной точке хо:
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
№ 13 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) , б) .
№ 14 Определить выпуклость или вогнутость графика функции в окрестности указанных точек:
а) ,
б) .
№ 15 Найти асимптоты и построить график:
а) , б) .
№16 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:
а), б) .
Ответы
2. а) ; б) при , при .
3. а) при, при ,
;
б) ;
в)
;
г) )
4. а) , б) , в) нет экстремума, г) хо не является критической точкой.
5. а) ,
; б) , ,.
6. а) — выпуклый график, -вогнутый;б) — выпуклый график, -вогнутый.
7. а) — вертикальные асимптоты, наклонная асимптота, ; б) горизонтальная асимптота, в) .
8. а) ; б) .
10. a) , в) .
11. а) , б) , в) .
12. а) , б) , в) нет экстремума, г) хо не является критической точкой.
13. а) нет точек экстремума,
б)
14. а) — выпуклый график, -вогнутый;б) — вогнутый график, — выпуклый.
15. а) горизонтальные асимптоты, ;
б) .
16. а) , б)
§ 5.2 Семинар: Неопределенный интеграл
Вопросы к семинару:
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2.Таблица интегралов. Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов.
3. Нахождение интегралов методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала.
4. Нахождение интегралов с помощью замены.
5. Метод интегрирования по частям.
Таблица простых интегралов
( х – независимая переменная)
Таблица интегралов сложных функций
Формула интегрирования по частям
Таблица выбора функции U(x)
1
2
3
Правила применения таблицы:
1. Если подынтегральное выражение является произведением функций из разных строк таблицы, то за U принимается функция, стоящая в таблице выше. Оставшееся выражение принимается за dV. При этом, выбирая U, следует всегда заботиться о том, чтобы dV было легко интегрируемым.
2. Если же подынтегральное выражение будет произведением функций из одной строки, то за U можно принять любую из этих функций. При этом интегрирование по частям, как правило, применяют дважды и получают равенство — уравнение, в котором неизвестным является искомый интеграл.
Задания для семинара
№1 Вычислить с помощью таблицы интегралов
а), б) ,
в),г) .
№2 Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала
а), б) , в), г),
д) ,
е) ,
ж) ,
з) ,
и) .
№3 (Устно) Найти интегралы
а), б), в), г),
д) ,
е) ,
ж) , з) .
№4 Найти интегралы с помощью замены переменной:
а), б), в), г).
№5 Найти интегралы методом интегрирования по частям:
а) , б) ,в) , г) .д)е), ж)
Задания для самостоятельной работы
№6 Вычислить с помощью таблицы интегралов
а) ,
б) ,
в) , г) .
№7 Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала
а) б), в) ,
г), д), е), ж),
з), и) , к) .
№8 Найти интегралы методом интегрирования по частям:
а) , б) , в), г),
д)е).b)
продолжение
--PAGE_BREAK--