Министерство Образования РоссийскойФедерации
ВятскийГосударственный Гуманитарный УниверситетМатематический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускнаяквалификационная работа
Простейшиеспособы обработки опытных данных.
Выполниластудентка 5курса
математическогофакультета
О.И.Окуловская
/подпись/
/>
Научныйруководитель:
Старшийпреподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Л.В.Ончукова
/подпись/
/>
Рецензент:
Старшийпреподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Л.В.Караулова
/подпись/
/>
Допущена к защите в ГАК
/>Зав.кафедрой М.В. Крутихина
/>/> /подпись/ >Декан факультета В.И.Варанкина
/>/>/> /подпись/ >
Киров
2003
Оглавление.
Введение….….… 3
§1.Простейшиеспособы обработки опытных данных… 4
1.1.Подбор параметровспособом средних… 4
1.2.Подборпараметров способом наименьших
квадратов….… 5
§2.Применениепростейших способов обработки опытных
данных к конкретным процессам….. 8
2.1.Применение простейших способов обработкиопытных данных к математической модели….… 8
2.2. Применение простейших способов обработки
опытных данных к физической модели… . … 10
2.3. Применение простейших способов обработкиопытных данных к реальному процессу….… 15
Заключение….… 22
Литература….… 23
Введение.
Данная тема не достаточно широко освещена в математической литературе.Вматематической статистике при обработке опытных данных чаще всего применяютсяспособ средних и способ наименьших квадратов.
В настоящее время эти способы широко применяются при обработкеколичественных результатов естественно-научных опытов, технических данных,астрономических и геодезически наблюдений и измерений.
Также возможно применение этих способов при обработке полученных практическимпутем данных физических процессов. Например, изучая силу тока в проводниках спостоянным сопротивлением, мы можем зафиксировать значение силы тока приопределенном напряжении, то есть не во всех точках, а в небольшом количестве.Применяя способ средних и способ наименьших квадратов, мы имеем возможность спомощью полученных точек подобрать такую функцию, которая бы наиболее близкопроходила через эти точки. Это позволяет более полно использовать информацию изнаблюдений.
Цели данной работы:
1. Овладениепростейшими способами обработки опытных данных.
2. С помощью способасредних и способа наименьших квадратов для экспериментально найденныхфункционально зависимых величин подобрать функцию, которая наиболее точноописывала бы данный процесс.
3. Применить описанныеметоды для описания реальных процессов.
§ 1. Простейшиеспособы обработки опытных данных.
1.1.Подбор параметров способом средних.
Способ средних основывается на допущении, что наиболее подходящейлинией служит та, для которой алгебраическая сумма уклонений равна нулю. Длятого чтобы найти этим способом неизвестные постоянные в эмпирическойформуле, сначала подставляем в эту формулу все пары наблюдавшихся илизамеренных значений xи yи получаем столько уклонений, сколько пар значений (x; y)втаблице (уклонения—вертикальные расстояния отданных точек до графика функции). Затем распределяем эти уклонения по группам, составляя столько групп, скольконеизвестных параметров эмпирическойформулы надо найти. Наконец, приравнивая нулю сумму уклонений по каждой группе, получим систему линейныхуравнений относительно параметров.
a) Частный случай.S = A*tq. t
t1
t2
t3
t4 … . … .
tn S
S1
S2
S3
S4 … . … .
Sn
Уклонения имеют вид d = A*tq – S. Подставляя значения S и t, взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получимсистему уравнений относительно параметров Aи q:
/>/> (l
Решение этой системызатруднительно. Поэтому без большей потери в точности, можно приравнять нулю сумму уклонений логарифма S, то есть
d’ = lg A + q * lg T – lg S.
Тогда система приметвид
/>/> (l
Из системы иопределяют q и S.
b) Частный случай. S = a0+ a1*t + a2 *t2.
t
t1
t2
t3
t4 … . … .
tn S
S1
S2
S3
S4 … . … .
Sn
Уклонения имеют вид d = a0+ a1 * t + a2 * t2 — S. Подставляя значения S и t, взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получимсистему
уравненийотносительно параметров a0, a1, a2 :
/>/> (l
Из системы иопределяют a0, a1, a2./>
1.2.Подбор параметров способом наименьшихквадратов.
На практике часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функциональносвязанных величин xи yизвестны nпар соответствующихзначений, которые могут быть представлены в виде таблицыx
x1
x2
x3 . . .
xn y
y1
y2
y3 . . .
yn
Требуется в напередзаданной формуле y = f(x,a1, a2, …,am) определить mпараметров a1, a2, …,am (m .
Оценки параметровa1, a2, …,am определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонений значений y, вычисленных поформуле, от заданных, то есть
L = å [f (xk,a1, a2, …,am)– yk ] 2
принималанаименьшее значение. Поэтому сам способ получил название способа наименьшихквадратов.
Это условие даетсистему m уравнений, из которых определяются a1, a2, …,am:
/> ∂L/∂a1=0,
∂L/∂a2=0, (1)
. . . . . .
∂L/∂am=0.
Напрактике заданную формулу y = f(x,a1, a2, …,am) иногда приходится (вущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать (приподборе параметров в формулах y=A*ect и y=A*tq).
a) Частный случай. y = A ect.
Для упрощения системы (1) эту формулу, связывающую xи y, предварительно логарифмируюти заменяют формулой
lg y = lg A + c*lge*x .
Продифференцировав величину L по A и c и приравняв нулю, получим систему из двухуравнений с двумя неизвестными A и c.
/>/> (2)
Система (2) примет следующий вид:
/>/> /> (2’)
Для определениякоэффициентов (2’) удобно составить вспомогательную таблицу:k
xk
xk2
lg yk
xk*lg yk 1
x1
x12
lg y1
x1*lg y1 2
x2
x22
lg y2
x2*lg y2 … … … … … n
xn
xn2
lg yn
xn*lg yn å
Из системы (2’)определяют c и A .
б) Частный случай. y=A*xq.
Эту формулу такжепредварительно логарифмируют и заменяют следующей:
lg y = lg A + q * lg x.
Система (1) теперьпримет вид
/>/> (4)
Вспомогательнаятаблица имеет видk
lg xk
lg2 xk
lg yk
lg xk * lg yk 1
lg x1
lg2 x1
lg y1
lg x1 * lg y1 2
lg x2
lg2 x2
lg y2
lg x2 * lg y2 … … … … … n
lg xn
lg2 xn
lg yn
lg xn * lg yn ∑
Изсистемы (3) определяют A и q.