--PAGE_BREAK--1.1 Каноническая задача.
В этом случае система S, помимо тривиальных ограничений (1.3), включает в себя только уравнения.
Определение:
Если ищется
max
значение функции цели, а все ограничения являются равенством, все переменные не отрицательны, то такая система — называется системой в каноническом виде, а задача — является задачей в канонической форме.
В этом случае модель задач можно записать в векторной форме:
f
(х) = с1х1 + с2х2 + ...+ с
n
xn
®max
`А1х1 + `А2х2 +… + `Аnхn= B
xj = 0 (j =1`,n)
`A1 = `A2 = `B =
Записать задачу в каноническом виде:
f= -х1+2х2-х3+х4 ®min
xj
=0 (
j
=1
`
; 4)
Вместо того, чтобы исследовать функцию fна min, будем исследовать на
f1= — f
на max.
В ограничениях содержащих £к левой части прибавим дополнительную не отрицательную переменную. В ограничениях содержащих ³— в левой части вычтем не отрицательную дополнительную переменную. Условие не отрицательности в равенство не переводится.
f
1
= -
f
=х1 — 2х2 + х3 — х4®max
х
j
³
0 (
j
=
`
1; 7)
Вводимые дополнительные переменные имеют экономический смысл. В ограничении исходной задачи, отражается расход и наличие ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной, показываетколичество не израсходованного ресурса определенного вида.
Замечание:Если переменная хк не подчинена условию не отрицательности, ее нужно заменить на разность двух не отрицательных величин
xk = uk + vk .
Определение: Совокупность не отрицательных чисел х1, х2,..., хn, удовлетворяющих ограничениям задачи, называются допустимым решением или просто планом задачи.
План Х* = (х1*, х2*, ..., х
n
*
) при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальной.
Не нулевые допустимые решения задачи, называются базисными решениями, если соответствуют им векторы
`
А
j
образуют линейно не зависимую систему.
1.2 Симплекс — метод .
С самого начала укажем, что симплекс-метод в его непосредственной форме предназначен для решения канонической задачи линейного программирования.
Для работы по симплекс-методу требуется:
1. привести задачу к канонической форме;
2. представить ее в векторной форме;
3. заполнить первую симплексную таблицу;
4. проверить план на оптимальность;
5. если план не оптимален, то выбрать разрешающий элемент, произвести пересчет всех элементов симплексной таблицы и перейти к п.4
Производя расчеты по симплекс-методу, нет необходимости выписывать все вычисления подробно. Оказывается, весь процесс можно записать в виде последовательности однотипно заполняемых таблиц, причем каждому шагу будет отвечать переход к новой таблице.
Для построения первой таблицы из векторов `Аjнужно выбрать несколько компонентов, которые образуют единичную матрицу. И если исходная система ограничений, содержит только неравенства £или ³, то при введении дополнительных переменных, сразу получают базисные векторы, которые образуют первый базис в симплекс-таблицах.
Сб
Хб
план
С1
х1
С2
х2
.....
....
Сn
хn
Dj
D
D1
D2
...
Dn
В верхней строке записывают коэффициенты при переменных целевых функций. В столбцы х1, х2, ..., хn— заносят элементы векторов `А1, `А2,`Аn. В столбец план — заносят компоненты вектора `В. Столбец Хб — отображает переменные входящие в базис. Их индексысовпадают с индексами базисных векторов. Столбец Сб — коэффициенты при базисных переменных в целевой функции.
Проверка плана на оптимальность. Нижняя строка симплекс-таблицы Dj— называется индексной.
D= `Сб*`В;
Dj = `Сб*`хj— Сj или Dj= `Cб *`Аj— Cj
Она служит для проверки опорного плана на оптимальность. Если все Dj³0, то все планы являются оптимальными.
Переход от одного базисного решения к другому, осуществляется исключением из базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора.
1. В качестве разрешающего столбца выбирают столбец для которого элемент индексной строки Dрявляется самым маленьким отрицательным числом.
2. Находим отношения компонент столбца план к неотрицательным элементам разрешающего столбца.
3. Выбираем наименьшее из данных отношений. Строка с ним называется разрешающей.
4. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки стоит разрешающий элемент аqp. Индексы qи pобозначают, что из базиса выводится `Аq, а вместо него вводится `Аp. Разрешающий элемент обычно обводят в таблице.
5. На месте разрешающего элемента в новой симплекс-таблице ставят 1, остальные элементы разрешающего столбца 0.
6. Все элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент.
7. Остальные элементы симплекс-таблицы пересчитывают по формулам Жордана-Гаусса.
Замечание:Если по индексной строке определили разрешающий столбец, но в нем все элементы не положительные, то задача не имеет решений.
Следующий этап - это определение оптимального плана из симплекс-таблицы Х* = (х1*, х2*, ..., хn
*
). Оптимальное решение выписывают из столбцов Хб и план. Столбец Хб — показывает, какие неизвестные отличны от 0. Столбец план — показывает, чему они равны.
D— в последней симплекс-таблицы равно maxзначению целевой функции.
Алгоритм работы по симплекс-методу:
1. Выделяем исходный допустимый базис и заполняем первую таблицу.
2. Если в последней строке полученной таблицы, кроме, быть может, первого числа, нет положительных чисел, то базисное решение является оптимальным — задача решена.
3. Пусть среди указанных в пункте 2 чисел имеется положительное число( скажем, в столбце хj). Отмечаем столбец Хjвертикальной стрелкой. Просматриваем остальные числа этого столбца. Если среди них нет положительных чисел, то minf= -¥— задача решений не имеет.
4. Пусть среди просмотренных в п.3 чисел имеются положительные числа. Для каждого из таких чисел a
составляем отношение, где b
— первое число в той же строке (свободный член). Из всех таких отношений выбираем наименьшее. Пусть оно соответствует строке базисного неизвестногохi
. Отмечаем эту строку горизонтальной стрелкой. Число a, стоящее в отмеченной строке и отмеченном столбце, называется разрешающим элементом таблицы.
5. Переходим к новой таблице. Для этого отмеченную строку умножаем на ( чтобы на месте разрешающего элемента появилась единица) и пишем ее на месте прежней. К каждой из остальных строк таблицы прибавляем строку, полученную на месте отмеченной строки, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в отмеченном столбце, обратился в 0.
6. С новой таблицей возвращаемся к п.2
продолжение
--PAGE_BREAK--1.3 М-метод.
Для решения М-задачи можно воспользоваться симплекс-методом, поскольку указан допустимый базис.
При решении М-задачи могут представиться две возможности:
1. М-задача имеет решение, т.е. min
Fсуществует.
2. М-задача не имеет решения, min
F
=
¥.
Решая М-задачу, мы стремимся получить оптимальное решение, в котором значения искусственных неизвестных равны нулю. Для того чтобы этого достичь, необходимо выбрать последовательность шагов таким образом, чтобы все искусственные неизвестные вышли из базиса, т.е. стали свободными. Тогда в базисном решении значения этих неизвестных и будут как раз нулями.
Таким образом, переходя при решении М — задачи от одного базиса к другому, мы стараемся в первую очередь выводить из базиса одно искусственное неизвестное за другим. Возможны, впрочем, и такие (досадные) случаи, когда в процессе решения приходится заменять одно искусственное неизвестное на другое (выбор разрешающего элемента по-другому не получается). Но общим направлением вычислительного процесса во всех случаях остается постепенный вывод искусственных неизвестных из базиса.
1.4 Двойственные задачи .
С каждой задачей линейного программирования связана другая задача, называемая двойственной по отношению к исходной. Совместное изучение данной задачи и двойственности к ней дает, как правило, значительно больше информации.
Задачи Iи I’ называются двойственными друг другу. Смысл, который вкладывается в это название, состоит в следующем.
1. Если первая задача имеет размеры mxn( m‑ ограничений с nнеизвестными), то вторая — размеры nxm.
2. Матрицы из коэффициентов при неизвестных в левых частях ограничений обеих задач являются взаимно транспонированными .
3. В правых частях ограничений в каждой задаче стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции другой задачи.
4. В задаче I все ограничения представляют собой неравенства типа £, причем в этой задаче требуется достичь maxf. Напротив, в задаче I’ все ограничения суть неравенства типа ³, причем требуется достичь minj.
Двойственная задача заключается в минимизации общей оценки всего имеющегося количества ресурсов.
Взаимозависимость оптимальных решений пары двойственных задач определена следующими теоремами:
Теорема (основное неравенство). Пусть Х — какое-нибудь допустимое решение задачи
I
, т.е. любое решение системы, а
Y
— какое-нибудь допустимое решение задачи
I
’ — любое решение системы. Тогда справедливо неравенство
f
(Х)
£
j
(
Y
).
Следствие1
(достаточный признак оптимальности). Если для каких-то допустимых решений и задач
I
и
I
’ выполняется равенство
f
()=
j
(),
то есть оптимальное решение задачи
I
, а — оптимальное решение задачи
I
’.
Следствие2.Если в одной из задач I
и
I
’ целевая функция не ограничена с соответствующей стороны (т.е.
max
f
=
¥
в задаче
I
или
min
j
= -
¥
в задаче
I
’), то другая задача не имеет допустимых решений.
Основная теорема. Если разрешима одна из двойственных задач Iили I’, то разрешима и другая задача, причем maxf= minj.
Теорема равновесия. Пусть Х и Y— допустимые решения задач Iи I’. Для оптимальности (одновременной) этих решений необходимо и достаточно выполнение равенств
Решение двойственной задачи находится в строке Djсимплекс-таблицы в последних столбцах дополнительных переменных. Переменные yi
обозначают оценки одной единицы ресурса.
Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.
Двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи. Если целью является расширение производства и повышение эффективности плана путем привлечения дополнительных ресурсов, то анализ оценок поможет выбрать правильное решение. Прирост различных ресурсов будет давать неодинаковый эффект, т.е. оценки позволяют с большей точностью выявить узкие места, сдерживающие рост эффективности производства. С учетом всех конкретных условий задачи оценки показываю, какие ресурсы более дефицитны, какие менее дефицитны и какие избыточны. Дефицитные ресурсы имеют самые высокие оценки.
продолжение
--PAGE_BREAK--