--PAGE_BREAK--
Содержание отдельных групп кормов в рационе может изменяться в следующих пределах: концентрированных кормов в рационе может быть не менее 18% и не более 35%, грубых кормов – не менее 12% и не более 30%, силоса – не менее 20% и не более 40%, корнеклубнеплодов – не менее 15%.
Удельный вес жмыха по массе в концентрированных кормах должно быть не более 20%, соломы в грубых кормах – не более 25%, силоса кукурузного во всем силосе — не менее 40%, кормовой свеклы в корнеклубнеплодах – не менее 30%. В общей питательности рациона удельный вес жмыха не должен превышать 10%.
Рацион должен полностью удовлетворять потребность животных во всех перечисленных питательных веществах при заданном соотношении отдельных видов и групп кормов и одновременно иметь минимальную стоимость. Данные по видам имеющихся в хозяйстве кормов, их питательным качествам и себестоимости представлены в таблице.
Наименование кормов
Содержание в 1 кг корма
Стоимость 1 кг корма, руб
Кормо-вых единиц, кг
Переваримого протеи-на, г
Каротина, мг
Концентрированные корма Мука виковая
1,16
209
2
144
Отруби ржаные
0,76
112
3
260
Комбикорм
0,9
160
2
150
Жмых льняной
1,17
245
2
123
Грубые корма
Сено клеверное
0,52
79
25
40
Сено злаковое
0,46
41
15
34
Солома просяная
0,41
24
10
20
Силос
Силос кукурузный
0,20
14
15
19
Силос разнотравный
0,13
15
10
19
Корнеклубнеплоды
Свекла полусахарная
0,55
14
30
Свекла кормовая
0,12
9
27
Турнепс
0,9
7
27
Прочие корма
Жом
0,11
7
20
продолжение
--PAGE_BREAK--
Таблица 2
В соответствии с перечисленными условиями задачи определим перечень переменных, который представим в следующей таблице.
Таблица 3
Наименование кормов
Переменная, обозначающая корм
Мука виковая
X1
Отруби ржаные
X2
Комбикорм
X3
Жмых льняной
X4
Сено клеверное
X5
Сено злаковое
X6
Солома просяная
X7
Силос кукурузный
X8
Силос разнотравный
X9
Свекла полусахарная
X10
Свекла кормовая
X11
Турнепс
X12
Жом
X13
Единицами измерения всех вышеперечисленных переменных будут являться килограммы.
Основными ограничениями данной экономико-математической модели будут ограничения по балансам всех питательных веществ: кормовых единиц, перевариваемого протеина и каротина. Ограничение по балансу кормовых единиц будет показывать, что за счет всех имеющихся кормов необходимо обеспечить не менее 14,1 кг кормовых единиц:
1) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 + 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 + 0,2х8 + 0,13х9 + 0,15х10 + 0,12х11 + 0,9х12 + 0,11х13 >= 14,1
Аналогично записываются условия по балансу перевариваемого протеина и каротина:
2) 209х1+ 112х2 + 160х3 + 245x4+ 79x5+ 41x6+ 24x7+ 14x8+ 15x9+ 14x10+ 9х11 + 7х12 + 7х13 >= 1610
3) 2х1+ 3х2 + 2х3 + 2x4+ 25x5+ 15x6+ 10x7+ 15x8+ 10x9+ 0x10+ 0х11 + 0х12 + 0х13 >= 630
Далее запишем дополнительные ограничения по содержанию отдельных групп кормов в общем балансе кормовых единиц. Для этого введем накопительную переменную х14, которая будет обозначать общее количество кормовых единиц:
4) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 + 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 + 0,2х8 + 0,13х9 + 0,15х10 + 0,12х11 + 0,9х12 + 0,11х13 = x14
либо
4) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 + 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 + 0,2х8 + 0,13х9 + 0,15х10 + 0,12х11 + 0,9х12 + 0,11х13 – 1x14= 0
Концентрированные корма в общем балансе питательных веществ могут занимать от 18% до 35%, поэтому для записи данного условия требуется два ограничения:
5) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 >= 0,18х14
или
5) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 – 0,18х14 >= 0
Аналогично:
6) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 – 0,35х14
Ограничения по содержанию в общем балансе грубых кормов будут выглядеть следующим образом:
7) 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 — 0,12х14 >= 0
8) 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 — 0,3х14
Содержание силоса в общем балансе кормовых единиц должно быть от 20% до 40%:
9) 0,2х8 + 0,13х9 — 0,2х14 >= 0
10) 0,2х8 + 0,13х9 — 0,4х14
Содержание корнеклубнеплодов в общем балансе кормовых единиц должно быть не менее 15%:
11) 0,15х10 + 0,12х11 + 0,9х12 — 0,15х14 >= 0
Теперь запишем ограничения по удельному весу отдельных видов кормов внутри кормовых групп. Их записывают с помощью коэффициентов пропорциональности.
Удельный вес жмыха в концентратах по массе может быть не более 20%, т.е.:
12) х4
Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим:
12) – 0,2x1– 0,2x2– 0,2x3 + 0,8x4
Таким же образом запишем и другие ограничения этой группы.
Удельный вес соломы в грубых кормах может быть не более 25%:
13) – 0,25x5– 0,25x6+ 0,75x7
Удельный вес силоса кукурузного во всем силосе может быть не менее 40%:
14) 0,6x8– 0,4x9 >= 0
Кормовая свекла в корнеклубнеплодах должна составлять не менее 30%:
15) 0,3x10– 0,7x11+ 0,3x12 >= 0
Последнее ограничение, состоящее в том, что удельный вес жома в общей питательности рациона не должен превышать 10%, запишется следующим образом:
16) 0,11x13 — 0,1х14
Теперь перейдем к целевой функции. Условия задачи требуют, чтобы стоимость рациона была минимальной:
144х1+ 260х2 + 150х3 + 123х4 + 40х5 + 34х6 + 20х7 + 19х8 + 19х9 + 30х10 + 27х11 + 27х12 + 20х13® min
Таким образом, мы построили экономико-математическую модель задачи оптимизации рациона кормления коровы. Данную задачу я разрешу при помощи пакета MicroSoft– Office2000, в который входит пакет с электронной таблицей MicroSoftExcel, в распоряжении которого имеется мощное средство поиска решений задач такого типа. Данные, полученные по результатам решения, удовлетворяют своей точностью и аналитическими свойствами. Можно также производить необходимую корректировку введенных данных, с автоматическим подсчетом конечного результата.
1.3. Анализ результатов решения задачи
Результаты расчетов, полученные с помощью программы MicrosoftExcel представлены в таблице:
Таблица 4. Оптимальный кормовой рацион
Переменные
Вид кормов
Количество кормов в рационе, кг
Содержание питательных веществ в кормах
Стоимость рациона, руб.
Кормо-вых единиц
Перева-римого протеи-на, г
Каротина, мг
Х1
Мука виковая
1,992
2,311
416,328
3,984
286,848
Х4
Жмых льняной
0,480
0,562
117,600
0,960
59,040
Х5
Сено клеверное
8,648
4,497
683,192
216,200
86,480
Х8
Силос кукурузный
27,266
5,453
381,724
408,990
518,054
Х11
Свекла полусахарная
1,013
0,122
9,117
27,351
Х12
Турнепс
2,363
2,127
16,541
63,801
Итого
56,680
15,072
1624,502
630,134
1041,574
Потребность в питательных веществах
-
14,1
1610
630
-
Превышение потребности
-
0,972
14,502
0,134
-
В полученный рацион вошли 6 из 13 предоставленных видов кормов. Рацион удовлетворяет всем поставленным ограничениям.
Из таблицы видно, что потребность в кормовых единицах превышена незначительно (на 972 грамма). Потребность в перевариваемом протеине превышен на 14,502 грамма, а потребность в каротине – на 0,134 миллиграмма.
Соблюдены также все условия по удельному весу отдельных видов кормов в их группах и групп кормов в балансе кормовых единиц:
Таблица 5. Состав рациона по группам кормов
Группы кормов
Масса, кг
Кормовых единиц, кг
Перевари-мого протеина, г
Каротина, мг
Стоимость, руб.
Концентраты
2,472
2,873
533,928
4,944
345,888
Грубые корма
8,648
4,497
683,192
216,200
86,480
Силос
27,266
5,453
381,724
408,990
518,054
Корнеклубнеплоды
3,376
2,249
25,658
91,152
Структура кормового рациона по видам кормов выглядит следующим образом.
Таблица 6. Структура кормового рациона по видам кормов
Ед. изм.
Показатели
Кон-центра-ты
Грубые
Силос
Корне-клубне-плоды
Итого
Кг
Кормовые единицы
2,873
4,497
5,453
2,249
15,072
%
19,1%
29,8%
36,0%
15,1%
100%
Г
Переваримый протеин
533,928
683,192
381,724
25,658
1624,5
%
32,9%
42%
23,5%
1,6%
100%
Мг
Каротин
4,944
216,2
408,99
630,13
%
0,8%
34,3%
64,9%
0%
100%
Руб
Стоимость
345,888
86,480
518,054
91,152
1041,6
%
33,2%
8,3%
49,7%
8,8%
100%
продолжение
--PAGE_BREAK--
Теперь выясним какие виды кормов в рационе будут избыточными, а какие – дефицитными:
Таблица 6. Состав по группам кормов
Группы кормов
По условию
По решению
Не менее
Не более
Всего, кг
Отклонение от нижней границы
Отклонение от верхней границы
Концентраты
18%
35%
2,873
0,152
2,419
Грубые
12%
30%
4,497
2,687
0,03
Силос
20%
40%
5,453
1,424
0,607
Корнеклубнеплоды
15%
—
2,249
0,014
—
Количество концентрированных кормов находится почти на нижней границе диапазона. Поэтому их следует считать наименее эффективными, относительно более дорогими и менее ценными по составу, чем другие виды кормов.
Грубые корма и силос находятся почти на верхних границах допустимого диапазона. Поэтому их следует считать дефицитными и наиболее эффективными. Грубые корма следует считать наиболее дешевыми (их доля по количеству кормовых единиц и протеина больше, чем по стоимости), а силос — наиболее питательным (содержит значительное количество кормовых единиц и протеина, и особенно — каротина).
В нижеприведенной таблице показана стоимость единицы питательного вещества. Причем данные по группам кормов рассчитываются по решению, а по всем видам кормов, включенных в модель – берутся по числовой модели.
Таблица 7. Стоимость единицы питательного вещества, руб.
Как видно из данной таблицы, самым дорогими кормами (с точки зрения стоимости единицы питательного вещества) являются корнеклубнеплоды (а именно, полусахарная свёкла). Поэтому входят в рацион в минимальных количествах. Самым дорогим кормом из концентратов является виковая мука. Она входит в рацион в небольшом количестве (1,992 кг). Другой концентрат – жмых льняной незначительно дешевле, поэтому он также входит в рацион в сравнительно небольшом количестве. Самыми дешевыми являются грубые корма, которые в рационе представлены сеном клеверным, и турнепс.
1.3.Выводы
Таким образом, рассчитав нашу модель и, получив минимизированный результат при помощи программного пакета MicrosoftOffice2000, я сделал вывод, что полученный результат является оптимальным и минимизирует наши затраты. При этом полностью удовлетворяется потребность коровы в питательных веществах и их соотношениях.
Если бы при расчетах не использовалась математическая модель, то решение находилось бы очень долго и полученный результат, возможно, не был бы оптимальным.
Итак, метод линейной оптимизации очень удобен для решения задач, к примеру, животноводческих ферм.
2. Примеры решения задач производственными функциями
2.1. Системный и качественный анализ факторов и выбор критерия оптимальности.
Для рассмотрения корреляционно-регрессионного анализа нужно сначала рассмотреть что такое производственная функция, итак производственная функция - модель выражающая взаимосвязь факторов производства с его результатами. В общем случае производственную функцию можно представить в виде:
Y = F(X1, X2, … Xn
)
Производственные функции находят свое применения не только на отдельном предприятии, а применяются почти везде, к примеру их можно встретить в сельском хозяйстве, промышленности. В качестве факторов производства могут использоваться различные показатели: национальный доход, валовый общественный продукт, а на микроуровне – показатели производительности труда, нормативные затраты, затраты рабочей силы. Многофакторные производственные функции имеют наибольшую ценность для планирования производства, т.к. позволяют оценить влияние большого количества факторов на результат производства, но для таких функций требуется большое количество объектов для анализа и большая точность проводимых наблюдений. Рассмотрим метод производственной функции на конкретном примере.
Предположим, что итоговым результирующим показателем деятельности предприятия является уровень производительности труда (тыс. руб. /чел.)
Допустим, что нам даны следующие факторы, которые по предположению должны оказывать влияние на производительность труда:
X1 – Коэффициент сменности оборудования
X2 – Среднегодовой фонд оплаты труда промышленно-производственного персонала предприятия (тыс. руб. /чел.)
X3 – Уровень фондовооруженности труда (тыс. руб. /чел.)
В результате исследований 20-ти предприятий были получены следующие данные:
На основании вышеприведенных данных будут производиться все дальнейшие расчеты.
2.2. Предварительное исследование корреляционной связи
Перед непосредственным корреляционно-регрессионным анализом и построением производственной функции необходимо предварительно оценить сам факт существования связи между результатом и факторами. Наиболее эффективным способом такой оценки, на мой взгляд, является графический способ.
Построим три графика отображающих зависимость конечного результата, т.е. производительности труда, от всех факторов.
График 1
На этом графике можно проследить за зависимостью между ростом коэффициента сменности оборудования и увеличением уровня производительности труда.
На данном графике видно, что с ростом фонда оплаты труда – растет и уровень производительности.
При возрастании уровня фондовооруженности растет и уровень производительности труда.
Не смотря на приведенные графики, на которых возможно отследить зависимость, мы проведем более тщательное исследование, т.к. в графическом виде четко отобразить связь не получится.
Y
X1
X2
X3
Среднее значение
952,6
0,25
45783211924
70,9
Среднее квадратическое отклонение
30,9
0,50
66763
8,4
Коэффициент вариации
0,04%
2,64%
0,39%
0,69%
По полученным данным можно сказать, что все значения имеют очень маленький разброс наблюдений, для нормального распределения необходимо, чтобы коэффициент корреляции должен быть равен 33%.
2.3. Анализ и решение данной модели
Для быстроты вычисления и удобства анализ, я воспользовался ЭВМ, т.к. имеющиеся пакеты программ позволяют разрешить поставленную задачу.
+-----------------------------------------------------------------------------+
МНОГОФАКТОРНЫЙ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
+-----------------------------------------------------------------------------+
3-х факторный корреляционный анализ
Исходная матрица:
1 2 3 4
1 9.260 1.370 47740.000 6.400
2 9.380 1.400 50391.000 7.800
3 12.110 1.440 43149.000 9.780
4 10.810 1.420 41089.000 7.900
5 9.350 1.350 14257.000 5.350
6 9.870 1.390 22661.000 3.900
7 8.170 1.160 52509.000 4.500
8 9.120 1.270 14903.000 4.880
9 5.880 1.160 25587.000 3.460
10 6.300 1.250 16821.000 3.600
11 6.220 1.130 19459.000 3.560
12 5.490 1.100 12973.000 5.650
13 6.500 1.150 50907.000 4.280
14 6.610 1.230 6920.000 8.850
15 4.320 1.390 5736.000 8.520
16 7.370 1.380 26705.000 7.190
17 7.020 1.350 20068.000 4.820
18 8.250 1.420 11487.000 5.460
19 8.150 1.370 32029.000 6.200
20 8.720 1.410 18946.000 4.250
Корреляционная матрица:
1 2 3 4
1 1.000 .602 .467 .287
2 .602 1.000 .044 .491
3 .467 .044 1.000 .106
4 .287 .491 .106 1.000
Множественная регрессия и одномерные статистики
--------------------------------------------------------------------------------
## Множественная Одномерные
переменных регрессия статистики
Коэфф. регр. Станд. ош. Средние Станд. откл.
--------------------------------------------------------------- Зависимая .. .. 7.9450 1.9380
Независим 1 10.4417 3.2450 1.3070 .1137
2 .0001 .0000 26716.8500 15523.0300
3 -.0617 .1920 5.8175 1.9316
--------------------------------------------------------------------------------
Свободный член уравнения регрессии = -6.8321
Множественный коэфф. корреляции = .7482
Множественный коэфф. детерминации = .5598
Стандартная ошибка ур. регр. = 1.4012
F-значение = 6.7828
Число степеней свободы для воспр. дисперсии = 3
для остат. дисперсии = 16
Бета-коэффициенты:
.6128 .4463 -.0615
Значения T-Стьюдента:
3.2178 2.6754 -.3214
Коэффициенты отдельного определения:
.3691 .2083 -.0177
Коэффициенты эластичности:
1.7177 .1874 -.0452
Остатки
-----------------------------------------------------------
: Завис.признак: Расч.значение: Отклонение :
-----------------------------------------------------------
: 1 : 9.260 : 9.738 : -.478 :
: 2 : 9.380 : 10.113 : -.733 :
: 3 : 12.110 : 10.005 : 2.105 :
: 4 : 10.810 : 9.797 : 1.013 :
: 5 : 9.350 : 7.729 : 1.621 :
: 6 : 9.870 : 8.704 : 1.166 :
: 7 : 8.170 : 7.928 : .242 :
: 8 : 9.120 : 6.958 : 2.162 :
: 9 : 5.880 : 6.493 : -.613 :
: 10 : 6.300 : 6.935 : -.635 :
: 11 : 6.220 : 5.832 : .388 :
: 12 : 5.490 : 5.028 : .462 :
: 13 : 6.500 : 7.748 : -1.248 :
: 14 : 6.610 : 5.851 : .759 :
: 15 : 4.320 : 7.476 : -3.156 :
: 16 : 7.370 : 8.622 : -1.252 :
: 17 : 7.020 : 8.085 : -1.065 :
: 18 : 8.250 : 8.298: -.048 :
: 19 : 8.150 : 8.875 : -.725 :
По табличным данным составим уравнение регрессии:
Y=10,4417X1+0,0001X2-0,0617X3-6.8321
Корреляционная матрица:
1 2 3 4
1 1.000 .602 .467 .287
2 .602 1.000 .044 .491
3 .467 .044 1.000 .106
4 .287 .491 .106 1.000
Чтобы оценить существует ли связь или нет, воспользуемся матрицей, полученной из расчетов. Коэффициент корреляции наглядно показывает связь. Если один коэффициент, по модулю, меньше 0,3 — то можно сказать, что данная связь очень слаба, если он, по модулю больше 0,8 — то связь можно считать функциональной, в том случае если в пределах данных границ, то связь называется стохастической. Если значение отрицательное, то можно говорить об обратной связи. По приведенным выше данным можно судить почти о полном отсутствии связи между результирующим признаком и уровнем фондовооруженности труда, между результирующим признаком и среднегодовым фондом оплаты труда существует очень слабая, но между результирующим и коэффициентом сменности, — существует связь, близкая к функциональной зависимости. Все факторы не имеет смысла использовать далее, соответственно по полученным данным, а именно по коэффициенту Т-СТЪЮДЕНТА определим фактор, который далее использовать не будем, сделаем это по наименьшему значению коэффициента. продолжение
--PAGE_BREAK--