ПОТРІЙНИЙІНТЕГРАЛ
1. Поняттяпотрійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Схема побудовипотрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла таподвійного інтеграла.
Нехай функція /> визначена вобмеженій замкненій області />. Розіб'ємо область /> сіткою поверхонь на /> частин />, які не мають спільних внутрішніх точокі об'єми яких дорівнюють />. У кожній частині /> візьмемо довільну точку/> іутворимо суму
/>,(1)
яка називається інтегральноюсумою для функції /> за областю />. Нехай /> – найбільший з діаметрів областей />.
Якщо інтегральнасума (1) при /> має скінченну границю, яка незалежить ні від способу розбиття області /> на частини />, ні від вибору в нихточок />, тоця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із такихсимволів:
/> або />.
Таким чином, заозначенням
/>,(2)
де /> – функція, інтегровна вобласті />; /> – областьінтегрування; /> і />– змінні інтегрування; /> (або />) – елементоб'єму.
Якщо по тілу /> розподіленомасу з об'ємною густиною /> в точці />, то маса /> цього тіла знаходиться заформулою
/>. (3)
Формула (3)аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійногоінтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області />. Якщо всюди в областіпокласти />,то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму /> тіла />:
/>.(4)
Потрійнийінтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірнийпростір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла,тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень ікороткими поясненнями.
Теорема (достатня умова інтегровностіфункції). Якщо функція /> неперервна в обмеженій замкненійобласті />,то вона в цій області інтегрована.
Властивостіпотрійних інтегралів.
1. Сталий множникможна винести за знак потрійного інтеграла:
/>.
Потрійнийінтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійнихінтегралів від доданків:
/>.
3. Якщо в областіінтегрування />, то
/>.
4. Якщо функції /> та /> визначені водній і тій самій області /> і />, то
/>.
5. (Адитивністьпотрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування /> функції /> розбити на частини /> і />, які не мають спільнихвнутрішніх точок, то
/>.
6. (Оцінкапотрійного інтеграла.) Якщо функція /> неперервна в обмеженій замкненійобласті />,яка має об'єм />, то
/>,
де /> і /> відповідно найменше інайбільше значення функції /> в області />.
7. (Середнєзначення функції.) Якщо функція /> неперервна в обмеженій замкненійобласті />,яка має об'єм />, то в цій області існує такаточка />, що
/>.
Величина
/>
називається середнімзначенням функції /> в області />.
2. Обчисленняпотрійного інтеграла
Обчислення потрійного інтегралазводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною зміннійокремо.
Нехай область /> обмежена знизуі зверху поверхнями /> і />, а з боків циліндричноюповерхнею, твірні якої паралельні осі />. Позначимо проекцію області /> на площину /> через /> (рис. 1) івважатимемо, що функції /> і /> неперервні в />.
/>
Рисунок 1 – Область />
Якщо при цьомуобласть /> єправильною, то область /> називається правильною у напряміосі />. Припустимо,що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку /> паралельно осі />, перетинаємежу області /> у точках /> і />. Точку /> назвемо точкою входу в область />/>, а точку /> – точкою виходу зобласті />,а їхні аплікати позначимо відповідно через /> і />. Тоді />, /> і для будь-якої неперервної вобласті /> функції/> має місцеформула
/>.(5)
Зміст формули (5)такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл /> за змінною />, вважаючи /> та /> сталими.Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки /> входу />, а верхньою – апліката />точки виходу />. Внаслідокінтегрування отримаємо функцію /> від змінних /> та />.
Якщо область />, наприклад,обмежена кривими /> і /> />, де /> і /> – неперервні функції, тобто
/>, то, переходячи відподвійного інтеграла /> до повторного (п. 1.3), отримаємоформулу
/>,(6)
яка зводитьобчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначенихінтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні /> і /> у правій частиніформули (6) за певних умов можна міняти місцями.
Якщо, наприклад,область /> правильнав напрямі осі />:
/>,
де /> – неперервні функції, то
/>.
Зокрема, якщообластю інтегрування є паралелепіпед:
/>,
то
/>. (7)
У цьому разіінтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область /> правильна у напрямівсіх трьох координатних осей />.
3. Заміназмінних в потрійному інтегралі
Заміну змінної впотрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкненаобласть /> взаємнооднозначно відображується на область /> за допомогою неперервнодиференційовних функцій />, />, />, якобіан /> в області /> не дорівнює нулю:
/>
і /> – неперервна в />, то справедлива формула
/>. (8)
На практицінайуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході відпрямокутних координат /> до циліндричних /> (рис.4, а), пов'язанихз />співвідношеннями
/>;
/>,
якобіанперетворення
/>.
З формули (8) отримуємопотрійний інтеграл у циліндричних координатах:
/>.(9)
Назва«циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня /> є циліндром,прямолінійні твірні якого паралельні осі />.
При переході відпрямокутних координат /> до сферичних />
(рис. 4, б), якіпов'язані з /> формулами
/>
Рисунок 4 –Координати: а) циліндричні; б) сферичні
/>;
/>,
якобіанперетворення
/>.
З формули (8)знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:
/>. (10)
Назва «сферичнікоординати» пов'язана з тим, що координатна поверхня /> є сферою. При обчисленніпотрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область />, як правило,не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю />, користуючисьгеометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь /> та />, які обмежуютьобласть />,записують у нових координатах.
Зокрема, якщообласть /> обмеженациліндричною поверхнею /> та площинами />, то всі межіінтегрування в циліндричній системі координат сталі:
/>
і не змінюютьсяпри зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку,коли /> –куля: /> абокульове кільце. Наприклад, якщо /> – кульове кільце з внутрішньоюсферою />, торівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд
/>
або
/>,
звідки />. Аналогічно /> – рівняннязовнішньої сфери, тому
/>.
У випадку, коли /> – куля />, у ційформулі слід покласти />. Інших будь-яких загальнихрекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат,дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральноїфункції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лишепісля цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.
Приклад
1. Обчислитиінтеграл />,якщо область /> обмежена поверхнями /> і />.
Розв’язання
Область /> є конусом(рис. 5).
/>
Рисунок 5 – Область />
Рівняння конічноїповерхні, яка обмежує область />, можна записати у вигляді />, а самуобласть /> податитаким чином: />, де /> – круг радіуса /> з центром />. Тому данийпотрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначенихінтегралів у прямокутних координатах:
/>.
Проте зручнішеперейти до циліндричних координат />. Тоді прообраз круга /> є прямокутник />, прообразконічної поверхні – плоска поверхня />, а прообраз області /> – область />. Якобіанпереходу до циліндричних координат дорівнює />, підінтегральна функція вциліндричних координатах дорівнює/>. Зводячи потрійний інтеграл заобластю /> допослідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо
/>
/>
Зазначимо, щорозставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують,розглядаючи не область />, а зміну циліндричних координат вобласті />. Наочно видно, що в області /> змінна /> змінюється від /> до />, при кожному значенні /> змінна /> змінюється від /> до />, а для кожної точки /> області /> змінна /> змінюється в області /> від /> (значення /> в області />) до /> (значення /> на конічнійповерхні).
4. Деякізастосування потрійного інтеграла
інтегралпотрійний обчислення змінний
1. Обчислення об'ємів. Якщодеяке тіло є обмеженою і замкненою
областю />, що має об'єм />, то згідно зформулою (4)
/>.(11)
Застосування умеханіці. Нехай /> – обмеженазамкнена область простору />, яку займає деяке матеріальнетіло з густиною />, де /> – неперервна функція в області />, тоді:
а)маса цього тіла
/>;(12)
б)моменти інерції/> тілавідносно координатних осей /> відповідно дорівнюють
/>. (13)
Моменти інерції /> тіла відноснокоординатних площин /> обчислюються за формулами
/>.(14)
Момент інерціїтіла відносно початку координат
/>/>(15)
в) статичнімоменти />тілавідносно координатних площин /> обчислюються за формулами
/>;(16)
г) координати /> центра маситіла визначаються за формулами
/>. (17)
Доведення формули(11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:
/>.