Поверхні

Рефератна тему:
«Поверхні»

1. Класифікація поверхонь
Всі поверхні можна розділити на графічні та геометричні.
До геометричних належать поверхні, утворення якихпідпорядковане певним геометричним законам, вони утворюються рухом в просторіпрямої або кривої лінії, яка називається твірною. Графічноюназивається поверхня, закон утворення якої невідомий. У цьому разі поверхнязадається графічно, за допомогою певної кількості ліній. Прикладом графічноїповерхні може служити поверхня землі, яку ще називають топографічною.
В залежності від форми твірної поверхні ділять на лінійчаті, коли твірною є пряма, та нелінійчаті,коли твірною є крива.
За законом руху твірнихможемо мати поверхні з поступовим рухом та обертаючим рухом – поверхні обертання,гвинтовим рухом – гвинтові поверхні.
По признаку розгортанняповерхні бувають розгорнутими та нерозгорнутими.
По признаку напрямних,які можуть бути ламаними, прямим або кривими, поверхні бувають граними абокривими.
Якщо поверхня створена правильними багатогранниками, то поверхнябуде граною, якщо плоскі криві правильної форми, то поверхні будутькривими, причому якщо в утворенні приймають участь кола в якості напрямних, тоотримуємо поверхні обертання.
Частина простору, яка обмежена з усіх сторін поверхнею,називається тілом.
Висновки по першому питанню:
1. Всі поверхні можна розділитина графічні та геометричні. До геометричних належать поверхні, утворенняяких підпорядковане певним геометричним законам, вони утворюються рухом впросторі прямої або кривої лінії, яка називається твірною. Графічноюназивається поверхня, закон утворення якої невідомий.
2. Якщо поверхня створенаправильними багатогранниками, то поверхня буде граною, якщо плоскі кривіправильної форми, то поверхні будуть кривими, причому якщо в утворенніприймають участь кола в якості напрямних, то отримуємо поверхні обертання.
2. Креслення багатогранників та тіл обертання
Щоб накреслити складну технічну деталь, потрібно, насамперед,уявити собі її форму. Для цього зручно уявно розчленити деталь на окремігеометричні тіла і навчитися будувати проекції цих простих геометричних тіл.Зобразити й прочитати креслення геометричного тіла означає не тільки вміти зарозмірами побудувати проекції, а й провести повний аналіз фігури. Останнєозначає, що треба вміти визначати й показати на кресленні ребра, грані,вершини, твірні, їх розташування між собою і відносно площин проекцій, показативидимі й невидимі елементи, знайти проекції точок, що лежать на поверхні тіла,проставити розміри тощо.
Геометричні тіла, обмежені плоскими фігурами – багатокутниками,називаються багатогранниками. Їх плоскі фігури називаються гранями,а лінії перетину граней – ребрами. Точки перетину ребер, або точки, вяких сходяться грані, називаються вершинами багато-гранника. Кут, утворений гранями, які сходяться в одній вершині, будебагатогранним кутом. Багатогранниками, наприклад, є призма й піраміда. На практицінайчастіше зустрічаються такі тіла обертання: циліндр, конус, сфера, кільце,тор.
Проекції призм. Якщотвірна ковзає по довільній напрямній замкненій ламаній лінії так, що окремі їїположення залишаються між собою паралельними, то утворюється призматичнаповерхня.
Призмою називається багатогранник, який утворюється перерізомпризматичної поверхні двома паралельними площинами.
Дві грані призми є однаковими багатокутниками з відповіднопаралельними сторонами, а бічні грані в загальному випадку – паралелограмами.
Призма, в якої бічні ребра перпендикулярні до основи, називаєтьсяпрямою і похилою, коли вони не перпендикулярні.
Бічні грані прямої призми – прямокутники, похилої – паралелограми.Призми поділяються на правильні і неправильні.
Правильною називається призма, в основі якої лежить правильнийбагатокутник.
За формою основи призми бувають трикутні, чотирикутні, шестикутніі т.д. Коли в основі призми лежить прямокутник або паралелограм, вонаназивається паралелепіпедом.
Прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник,називається прямокутним.
Побудова проекцій правильної прямої шестикутної призми розпочинаєтьсяз виконання її горизонтальної проекції – правильного шестикутника. Із вершинцього шестикутника проводять вертикальні лінії зв’язку і будують фронтальнупроекцію нижньої основи призми. Ця проекція зображується відрізкомгоризонтальної прямої. Від цієї прямої вверх відкладають висоту призми ібудують фронтальну проекцію верхньої основи. Потім накреслюють фронтальніпроекції ребер – відрізки вертикальних прямих, що дорівнюють висоті призми.Фронтальні проекції передніх і задніх ребер співпадають. Горизонтальні проекціїбічних граней зображуються у вигляді відрізків прямих. Середня бічна грань 1234зображується на площині π2 в дійсному вигляді, ана площині π3 – у вигляді відрізкапрямої лінії. Фронтальні і профільні проекції решти граней зображуютьсяспотворено.
Проекції пірамід. Якщотвірна лінія, що проходить через постійну точку, ковзає по замкненій ламанійлінії, то утворюється багатогранний кут, або пірамідальна поверхня. Перерізаючипірамідальну поверхню площиною, дістають піраміду.
Отже, пірамідою називається багатогранник, одна грань якого єбагатокутник, а бічні грані – трикутники, які мають спільну точку – вершинупіраміди.
За формою основи піраміди бувають трикутні, чотирикутні,п’ятикутні і т.д.
Піраміда називається правильною, коли в її основі лежитьправильний багатокутник і вісь проходить через центр основи.
Бічні грані правильної піраміди – рівнобедрені трикутники.
Найкоротша відстань від вершини до основи називається висотоюпіраміди.
Якщо піраміду розсікти площиною, паралельною її основі, то тачастина піраміди, яка знаходиться між основою і січною площиною, називається зрізаноюпірамідою. Сторони верхньої і нижньої основ зрізаної піраміди паралельніміж собою. Зрізана піраміда називається правильною, коли в її основах лежатьправильні багатокутники.
Побудова проекцій трикутної піраміди розпочинається з побудовиоснови, горизонтальна проекція якої є дійсним виглядом трикутника.
Фронтальна проекція основи зображується горизонтальним відрізкомпрямої.
З горизонтальної проекції S1 вершини піраміди проводять вертикальну лінію зв’язку, на якій відосі х відкладають висоту піраміди і одержують фронтальну проекцію S2 вершини. З’єднуючи точку S2з точками 12,22і 32 одержують фронтальні проекції ребер піраміди.
Горизонтальні проекції ребер одержують, з’єднуючи горизонтальнупроекцію S1 вершинипіраміди з горизонтальними проекціями 11,21 і 31вершин основи.
Нехай, наприклад, задана фронтальна проекція А2 точкиА, розташована на грані 12S222 піраміди, і необхідно знайти другу проекцію точки А.
Для розв’язування даної задачі проведемо через А2допоміжну пряму і продовжимо її до перетину з фронтальними проекціями ребер12S2 і 22S2 в точках N2 і М2.Потім з точок N2і М2проведемо лінії зв’язку до перетинуз горизонтальними проекціями 11S1 і 21S1 цих ребер в точках N1 і М1. З’єднавши N1 з М1, одержимогоризонтальну проекцію допоміжної прямої, на якій за допомогою лінії зв’язку знайдемошукану горизонтальну проекцію А1точки А. Профільнупроекцію цієї точки знайдемо звичайним способом, використовуючи лінії зв’язку.
Проекції циліндрів. Бічнаповерхня прямого кругового циліндра утворюється рухом відрізка АВ навколовертикальної осі по напрямному колу. На рис. 6, а дано наочнезображення циліндра.
Побудова горизонтальної і фронтальної проекцій циліндра показанана рис. 6, бі в.
Побудову розпочинають, зображаючи основу циліндра, тобто двохпроекцій кола. Оскільки коло розташоване на площині π1, то воно проекціюєтьсяна цю площину без спотворення. Фронтальна проекція являє собою відрізокгоризонтальної прямої лінії, який дорівнює діаметру кола основи.
Після побудови основи на фронтальній проекції проводять дві крайнітвірні і на них відкладають висоту циліндра. Проводять відрізок горизонтальноїпрямої, який є фронтальною проекцією верхньої основи циліндра.
Визначення двох відсутніх проекцій точок А і В, розташованихна поверхні циліндра, за однією заданою, наприклад, фронтальною проекцією вданому випадку труднощів не викликає, оскільки вся горизонтальна проекціябічної поверхні циліндра являє собою коло.
Таким чином, горизонтальні проекції точок А і В можназнайти, провівши з даних точок А1і В2вертикальні лінії зв’язку до їх перетину з колом в шуканих точках А1і В1.
Профільні проекції точок А і В будують також задопомогою вертикальних і горизонтальних ліній зв’язку.
Проекції конусів. Бічнаповерхня конуса утворена обертанням твірної ВSнавколо осі по напрямному колу основи.
Послідовність побудови двох проекцій конуса. Попередньобудують дві проекції основи. Горизонтальна проекція основи – коло. Якщоприпустити, що основа конуса лежить на площині p1, то фронтальною проекцією буде відрізок прямої, що дорівнюєдіаметру цього кола. На фронтальній проекції з середини основи ставлятьперпендикуляр і на ньому відкладають висоту конуса. Одержану фронтальнупроекцію вершини конуса з’єднують прямими з кінцями фронтальної проекції основиі одержують фронтальну проекцію конуса.
/>Якщо на поверхні конуса задана одна проекція точки А, тодві інші проекції цієї точки визначають за допомогою допоміжних ліній – твірної,розташованої на поверхні конуса і проведеної через точку А2або кола, розташованого в площині, паралельній основі конуса.
В першому випадку проводять фронтальну проекцію S2А2F2допоміжної твірної.Скориставшись вертикальною лінією зв’язку, проведеною з точки F2, розташованої на фронтальнійпроекції кола основи, знаходять горизонтальну проекцію S1А1F1 цієї твірної, на якій за допомогою лінії зв’язку, проведеної черезА2, знаходять шукану точку А1.
У другому випадку допоміжною лінією, проведеною через точку А1, буде коло, розташоване на конічній поверхні і паралельне площині p1. Фронтальна проекція цього кола зображується у вигляді відрізкагоризонтальної прямої. Шукана горизонтальна проекція А1 точки А знаходиться на перетині лінії зв’язку, опущеної зточки А2, з горизонтальноюпроекцією допоміжного кола.
Якщо задана фронтальна проекція В2точки Врозташована на контурній твірній S2К2, то горизонтальна проекціяточки знаходиться без допоміжних ліній.
Проекції кулі. Проекціїпівкулі наведено на рис. 10, б. Горизонтальна проекція – колорадіуса, що дорівнює радіусу сфери, а фронтальна – півколо того ж радіуса.
Якщо точка А розташована на сферичній поверхні, тодопоміжна лінія, проведена через цю точку, має бути колом, розташованим вплощині, паралельній будь-якій площині проекції. На горизонтальнійпроекції допоміжного кола, де воно зображується в дійсному вигляді, знаходять,використовуючи лінію зв’язку, шукану горизонтальну проекцію А1точки А.
Величина діаметра допоміжного кола дорівнює фронтальнім проекції В2С2.
Висновки по другому питанню:
1. Щоб накреслити складнутехнічну деталь, потрібно, насамперед, уявити собі її форму. Для цього зручноуявно розчленити деталь на окремі геометричні тіла.
2. Геометричні тіла, обмеженіплоскими фігурами – багатокутниками, називаються багатогранниками. Їхплоскі фігури називаються гранями, а лінії перетину граней – ребрами.Точки перетину ребер, або точки, в яких сходяться грані, називаються вершинамибагатогранника.
3. Перетин поверхонь геометричних тіл прямою та площиною
Перетин багатогранників площиною та прямою лінією
Ми визначили що багатогранник – це геометричне тіло, обмеженеплоскими гранями. Грані, перетинаючись, утворюють сітку багатогранника,складену з ребер і вершин. Зображення багатогранника на кресленні зводиться допобудови проекцій його сітки.
Площина перетинає багатогранник по багатокутнику, вершини якого єточками перетину січної площини з ребрами, а сторони – лініями перетину січноїплощини з гранями. Таким чином, побудова багатокутника перерізу зводиться до розв’язуваннявідомих позиційних задач: побудова точки перетину прямої з площиною або лініїперетину двох площин. Відповідно розрізняють два способи побудови: спосібребер і спосіб граней.
Використовуючи спосіб ребер, визначають вершини багатокутникаперерізу як точки перетину ребер багатогранника з січною площиною. Так, точка Ає точкою перетину ребра піраміди 1S з площиною Г, В-ребра2S і С – ребра 3S. Трикутник АВС – шуканий переріз піраміди.
Якщо користуються способом граней, то будують сторони фігуриперерізу як лінії перетину площин граней із січною площиною. Так, відрізокпрямої АВ являє собою лінію перетину грані 12S з площиною Г, ВС –грані 23S і АС – грані 13S.
Вибираючи той чи інший спосіб розв’язування, необхідно керуватисяміркуваннями про найпростіше розв’язування задачі. Слід також мати на увазі, щоякщо січна площина є проекціюючою, то одна з проекцій фігури перерізузбігається із слідом цієї площини, і задача зводиться до побудови другої їїпроекції за однією відомою.
Розглянемо кілька прикладів на застосування обох способів.
Перетин площини з багатогранником
Приклад 1.Побудувати натуральний вигляд перерізу прямої призми фронтально – проекціюючоюплощиною Σ.
Фігура перерізу – трикутник. Фронтальна її проекція збігається зіслідом січної площини Σ, а горизонтальна – з однойменною проекцієюпризми. Натуральний вигляд перерізу А4В4С4побудованийна новій горизонтальній площині проекцій p4, паралельній площині перерізу.
Приклад 2. Побудуватипроекції перерізу трикутної піраміди фронтально – проекціюючою площиною Σ.
Площина Σ перетинає піраміду по трикутнику АВС. Йогофронтальна проекція А2В2С2збігається з однойменним слідом Σ2 січної площини.Горизонтальні проекції вершин А і С побудовані за допомогою лінійпроекційного зв’язку, а вершини В, яка лежить на профільному ребрі 2S,– за допомогою горизонталі hграні 23S.
Перетин прямої лінії з багатогранником
Загальним способом побудови точок перетину прямої з поверхнеюбагатогранника здійснюють в такій послідовності:
– через пряму проводятьдопоміжну площину;
– будують багатокутник, поякому допоміжна площина перетинає багатогранник;
– фіксують точки перетинупрямої з фігурою перерізу, які і є шуканими точками.
Приклад 1.Побудувати точки перетину прямої lз поверхнею трикутноїпіраміди.
Через пряму провели фронтально – проекціюючу площину Σ,яка перетинає піраміду по трикутнику АВС. Шукані точки перетину М таN.
Перетин кривих поверхонь площиною та прямою лінією
В загальному випадку лінію перетину кривої поверхні з площиноюбудують способом допоміжних січних площин.
Січна площина Г перетинає задану поверхню Ф подеякій лінії l. Точки цієї лінії будують за допомогою допоміжних площин. Так,площина Σ перетинає задану поверхню по кривій лінії и, асічну площину Г – по прямій а. Ці лінії перетинаються в точках МіN, які належать шуканій лінії перетину l. Повторюючи указанийспосіб декілька разів, можна знайти достатню кількість точок для побудовифігури перерізу. При цьому допоміжні площини слід вибирати так, щободержувались прості перерізи поверхні.
Якщо поверхня лінійчата, то фігуру перерізу можна будуватиспособом твірних, визначаючи точки перетину прямолінійних твірних з січноюплощиною. Таким чином, побудова ліній перетину зводиться до багаторазового розв’язуваннявідомої задачі про визначення точки перетину прямої з площиною.
Перетин циліндра площиною
Площина може перетинати циліндр по прямолінійних твірних, по колу і по еліпсу.
Приклад 1. Побудуватипроекції і натуральний вигляд перерізу прямого кругового циліндра фронтально – проекціюючоюплощиною Σ.
Фігура перерізу – еліпс. Фронтальна проекція його збігається із Σ2,а горизонтальна – з колом, в яке проектується на площину p1циліндр.
Велика вісь еліпса визначається відрізком АВ, а мала СDдорівнює діаметру циліндра d. Натуральний вигляд перерізу знайдено двома способами – способомплоскопаралельного переміщення і способом заміни площин проекцій.
Перетин конуса площиною
Можливі такі перерізи конуса:
1. Еліпс, якщо січна площинаперетинає всі твірні конуса.
2. Парабола, якщо січна площинапаралельна одній твірній конуса.
3. Гіпербола, якщо січнаплощина паралельна двом твірним конуса.
4. Трикутник, якщо січнаплощина проходить через вершину конуса.
На рис. 17, а дана фронтальна проекція прямогокругового конуса і показані сліди січних площин, які дають відповідні перерізи,а на рис. 17, б, в, г, д, е – наведені їх наочні зображення.
Перетин кривих поверхонь прямою лінією
Загальним способом побудови точок перетину прямої лінії зповерхнею виконують в такій послідовності:
– через пряму проводятьдопоміжну площину;
– будують лінію перетинуповерхні допоміжною площиною;
– визначають точки перетинупрямої з поверхнею.
Висновки по третьому питанню:
1. Побудова багатокутникаперерізу зводиться до розв’язування відомих позиційних задач: побудова точкиперетину прямої з площиною або лінії перетину двох площин.
2. Відповідно розрізняють дваспособи побудови: спосіб ребер і спосіб граней. Використовуючи спосібребер, визначають вершини багатокутника перерізу як точки перетину ребербагатогранника з січною площиною. Якщо користуються способом граней, то будуютьсторони фігури перерізу як лінії перетину площин граней із січною площиною.
4. Взаємний перетин поверхоньтіл. Побудова лінії перетину поверхонь. Спосіб допоміжних січних поверхонь
Більшість найскладніших і відповідальних оригінальних деталейприладів і машин утворені комбінацією різних елементарних тіл, розташованих упросторі так, що поверхні їх перетинаються між собою. Тому важливим етапомконструювання таких деталей є визначення меж елементарних початкових поверхонь,якими і є лінії їхнього взаємного перетину.
Спільна лінія двох поверхонь називається лінією їх перетину.
Для побудови лінії перетину поверхонь використовують два способита їх комбінації.
1. Будують точки перетину реберодного багатогранника з грянями другого і ребер другого з гранями першого.Через побудовані точки в певній послідовності проводять ламану лінію перетинуданих багатогранників. При цьому відрізки прямих проводять лише через тіпобудовані точки, які лежать у одній і тій же грані.
2. Будують відрізки прямих, пояких грані однієї поверхні перетинають грані другої. Ці відрізки є ланкамиламаної лінії перетину багатогранних поверхонь між собою.
3. Таким чином, побудоваперетину двох багатогранників зводиться аж до побудови лінії перетину двохплощин між собою, або до побудови точки перетину прямої з площиною. Напрактиці, як правило, використовують обидва способи в комбінації, виходячи зумови простоти і зручності побудови.
Загальний спосіб побудови лінії перетину двох поверхоньназивається способом допоміжних січних поверхонь або способом посередників.Суть цього способу полягає у наступному.
Дві криволінійні поверхні перетинаються третьою допоміжною січноюплощиною. Знаходять лінії перетину KL та MN допоміжні поверхні з кожною із заданих. Точка перетинупобудованих ліній перетину KL та MN належить шуканій лініїзаданих поверхонь.
Повторюючи такі побудови багаторазово за допомогою іншихдопоміжних поверхонь, знаходять необхідну кількість спільних точок двохповерхонь для проведення лінії їх перетину. Одержані точки з’єднують плавноюкривою лінією.
Лінію перетину поверхонь називають також і лінією переходуданих поверхонь.
Загальне правило побудови лінії перетину поверхонь можнасформулювати так:
– вибрати тип допоміжнихповерхонь;
– побудувати лінії перетинудопоміжних поверхонь із заданими поверхнями;
– знайти точки перетинупобудованих ліній і з’єднати їх між собою.
За допоміжні січні поверхні вибирають такі, лінії перетину яких іззаданими поверхнями проекціюються на креслення в графічно прості лінії – прямі,кола. Такими посередниками є площини частинного положення, які паралельніплощинам p1 і p2, або сфери. Щоб розв’язати задачу, треба провести не одну, акілька допоміжних площин або сфер.
На прикладі бачимо:
–  задані поверхні, наприклад a і β, перетинають допоміжною поверхнею γ;
–  будують лінії перетину a і b поверхонь допоміжноюповерхнею γ;
–  точки перетину K та M лінії a з лінією b належать як a, так і β;
–  повторюють попередні операції декілька разів, переміщуючи січнуповерхню;
–  будують лінію перетину поверхонь a і β, з’єднуючи отримані точки між собою.
На лінії перетину поверхонь розрізняють точки опорні і випадковіабо проміжні.
Розпочинати побудову лінії перетину слід з визначення опорнихточок: найвищих і найнижчих, крайніх правих і лівих, точок видимості тощо. Опорніточки дають можливість побачити, в яких межах розміщені проекції лінії перетинуі де слід визначати проміжні точки.
Два тіла можуть перетинатися по одній або по двох замкненихлініях. У першому випадку перетин буде неповним і на тілах утворяться заглибиниу вигляді врубок. Цей випадок називається врізанням. При двох замкненихлініях перетину одне тіло цілком проникає в інше. Такий випадок називається проникненням.
Характер лінії перетину залежить від того які геометричні тіла абоповерхні перетинаються.
Після того як за допомогою посередників визначені точки, якіналежать лінії перетину даних поверхонь, необхідно встановити послідовністьз’єднання одержаних точок і визначити видимість окремих частин ліній перетину.
При визначенні послідовності з’єднання точок користуються такимиположеннями:
– з’єднувати між собою можналише такі точки, які лежать на одній і тій же грані кожної з двох поверхонь;
– з’єднувати між собою можналише точки, які лежать на сусідніх твірних.
Але реалізація цих положень на практиці в ряді випадків викликаєзначні труднощі, вимагає великої затрати часу і добре розвинутої просторовоїуяви.
Визначивши точки лінії перетину, їх з’єднують в певнійпослідовності з врахуванням видимості окремих частин лінії перетину.
При цьому керуються такими положеннями:
1) якщо відрізок лінії перетинудвох багатогранників лежить на перетині видимих граней даних проекцій фігур, товін також видимий на цій проекції;
2) якщо обидві грані або одна зних невидимі, то і відрізок лінії перетину даних граней невидимий;
3) для кривих поверхоньвидимими є лише точки, одержані в перетині двох видимих твірних. Якщо одна здвох твірних невидима, то й точка перетину їх невидима;
4) точки переходу видимоїчастини лінії перетину в невидиму завжди лежать на обрисних твірних тієї чиіншої поверхні;
5) видимість визначаєтьсяокремо для кожної з проекцій фігур, які перетинаються.


Література
 
1.Інженерна та комп’ютерна графіка:Методичні рекомендації для виконання графічних робіт при курсовому тадипломному проектуванні /Укл. Є.В. Перегуда. – Житомир: ВФРЕ при ЖІТІ,1998. – 84 с.
2.Годік Є.І. Технічне креслення. – М.:Машинобудування, 1974. – 320 с.
3.Хаскін А.М. Креслення. – К.: Вищашкола, 1972.
4.Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курсначертательной геометрии. М., 1988. – 272 с.