Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни „Диференціальні рівняння"
на тему „Особливі точки”
Виконавець: студентка групи
Назаренко Олеся
Перевірив:
м. Дніпропетровськ 2010 р.
Зміст
1. Особливі точки
2. Задача 1
3. Задача 2
4. Задача 3.
5. Задача 4
1. Особливі точки
Особливою точкою системи
/> (1)
або рівняння
/> (2)
де функції /> й /> неперервно диференційовані, називається така точка, в якій />.
Для дослідження особливої точки системи
/> (3)
або рівняння
/> (4)
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
/> (5)
Якщо розв’язки /> дійсні, різні /> й одного знаку />, то особлива точка — вузол (рис.1, а), причому стійкий, якщо /> й нестійкий, якщо />.
Вузол характеризується тим, що всі траєкторії, крім однієї II, мають у точці (0,0) загальну дотичну I, що сама є траєкторією. Прямі I і II спрямовані вздовж власних векторів матриці />, які відповідають /> і />, причому пряма I відповідає меншому за модулем з /> і />.
При />вузол є стійкою точкою спокою. На рис.1а стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні />у випадку стійкого вузла. Якщо />, то вузол нестійкий і стрілки заміняються на протилежні.
/>
Рис.1. Типові траєкторії [2]
Якщо розв’язки />дійсні, різні />й різних знаків />, то особлива точка — сідло (рис.1, б). Сідло є нестійкоюточкою спокою.
Сідло характеризується наявністю двох траєкторій I і II, що проходять через (0,0) також у напрямку власних векторів. Пряма I є асимптотою для інших траєкторій при />, а II є асимптотою при />. Прямолінійна траєкторія I розташована за напрямком власного вектора, що відповідає додатньому />, а прямолінійна траєкторія II за напрямком власного вектора, що відповідає від‘ємному />. Прямі I і II називаються сепаратрисами сідла. На рис.1б стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні />. Сепаратриса II є єдиною траєкторією, якій відповідає розв’язок, що прямує до 0 при />. Тільки дві траєкторії I і II є прямолінійними. Інші траєкторії криволінійні й зі зростанням />йдуть із />в />. Сепаратриси I і II розділяють фазову площину на 4 області, у яких лежать криволінійні траєкторії.
Якщо розв’язки />комплексні з дійсною частиною />, відмінною від нуля, то особлива точка — фокус(рис.1, в), причому стійкий, якщо />й нестійкий, якщо />. На рис.1в стрілками показаний напрямок руху при зростанні />у випадку стійкого фокуса.
Зауваження. У випадку фокуса траєкторії можуть бути закручені навколо (0,0) у різних напрямках. Для того, щоб визначити напрямок закручування, досить обчислити вектор швидкості />в якій-небудь точці, наприклад, в (0,1). Аналогічно досліджується напрямок руху у випадку центра й виродженого вузла.
Якщо розв’язки />комплексні чисто мнимі (/>), то особлива точка — центр(рис.1, г). Центр є стійкою, але не асимптотично стійкою точкою спокою.
Якщо розв’язки рівні й ненульові (тобто />), то особлива точка може бути виродженим вузлом(рис.1, д) або дикритичним вузлом(рис.1, е), причому дикритичний вузол має місце тільки у випадку системи />(або рівняння />), а у всіх інших випадках при />особлива точка є виродженим вузлом. У випадку виродженого вузла всі траєкторії дотикаються однієї прямої, спрямованої вздовж єдиного власного вектора, що відповідає />. Дикритичний вузол може бути стійким />і нестійким />.
Якщо ж один або обидва розв’язки рівняння (5) дорівнюють нулю, то />, і, отже, дріб у правій частині рівняння (4) скорочується. Рівняння набуває вигляду />, і розв’язок на площині XOY зображуються паралельними прямими.
2. Задача 1
Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
/>
Розв’язання.
Для дослідження особливої точки рівняння
/>
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
/>
У нас />, />, />, />. Складаємо характеристичне рівняння
/>
і розв’язуємо його відносно />
/>
Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки.
Отже, особлива точка (0,0) — сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.
1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.
Власний вектор />, що відповідає власному числу />, знаходимо, підставляючи в рівняння
/>
значення />. Маємо
/>
/>
/>
Власний вектор (1; 1/2) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу />.
Далі, власний вектор />, що відповідає власному числу />, знаходимо, підставляючи в рівняння--PAGE_BREAK--
/>
значення />. Маємо
/>
/>
/>
Власний вектор (1; — 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу />.
На площині /> будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (1; 1/2) і (1; — 1), а потім будуємо гіперболи.
2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.
Знайдемо сепаратриси сідла, тобто прямі, що розділяють гіперболи різних типів, які є фазовими кривими системи (тобто асимптоти цих гіпербол).
Прямі, що проходять через особливу точку (0,0), шукаємо у вигляді />. Підставляючи /> у вихідне рівняння
/>,
одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта />
/>
/>
/>
/>
/>
Таким чином, маємо дві шукані прямі
/>,/>.
3. Напрямок руху по траєкторіях. Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці /> вектор швидкості />. Наприклад, у точках /> та />вектор швидкості дорівнює
/>, />,
у точках /> та />вектор швидкості дорівнює
/>, />,
у точках /> та /> вектор швидкості дорівнює
/>, />,
у точках /> та /> вектор швидкості дорівнює
/>, />.
Приблизний вид сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 2.
/>
Рис.2. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
3. Задача 2
Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
/>
Розв’язання. Для дослідження особливої точки рівняння
/>
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
/>
У нас />, />, />, />. Складаємо характеристичне рівняння
/>
і розв’язуємо його відносно />
/>
Розв’язки характеристичного рівняння дійсні, різні й одного знака.
Отже, особлива точка (0,0) — стійкий вузол (/>).
1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.
Власний вектор />, що відповідає власному числу />, знаходимо, підставляючи в рівняння
/>
значення />.
/>
/>
Власний вектор (2;
1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу />.
Далі, власний вектор />, що відповідає власному числу />, знаходимо, підставляючи в рівняння
/>
значення />.
/>
/>
Власний вектор (1; — 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу />.
На площині /> будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (2;
1) і (1; — 1), а потім будуємо параболи й вказуємо напрямок руху по траєкторіях.
2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.
Прямі, що містять фазові криві системи, шукаємо у вигляді />.
Підставляючи /> у вихідне рівняння
/>,
одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта />:
/>
/>
/>
Виходить, що /> і /> — шукані прямі.
Фазові криві — частини парабол, що дотикаються на початку координат прямої />. Параболи дотикаються саме прямої />, оскільки власний вектор (2;
1) матриці коефіцієнтів даної системи, що відповідає власному числу />, паралельний прямій />.
3. Напрямок руху по траєкторіях.
Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці /> вектор швидкості />. Наприклад, у точці /> вектор швидкості дорівнює
/>,
а в точці /> вектор швидкості
/>.
Приблизний вигляд сім’ї фазових кривих зображений на рисунку 3.
/>
Рис.3. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
4. Задача 3.
Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
/>
Розв’язання.
Для дослідження особливої точки системи
/>
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
/>
У нас />, />, />, />. Складаємо характеристичне рівняння
/>
і розв’язуємо його відносно />
/>
/>
/>
/>
Розв’язки характеристичного рівняння комплексні й різні.
Отже, особлива точка (0,0) — стійкий фокус (/>).
Напрямок руху по траєкторіях. продолжение
--PAGE_BREAK--
Для з'ясування напрямку закручування інтегральних кривих (спіралей) будуємо вектор швидкості /> в точці (1,0):
/>
Отже, спаданню /> відповідає рух по спіралях за ходом годинникової стрілки. При русі за ходом годинникової стрілки інтегральні криві наближаються до початку координат (0,0).
Приблизний вигляд сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 4.
/>
Рис.4. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
5. Задача 4
Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
/>
Розв’язання.
Для дослідження особливої точки системи
/>
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
/>
У нас />, />, />, />. Складаємо характеристичне рівняння
/>
і розв’язуємо його відносно />
/>
Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки. Отже, особлива точка (0, 0) — сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.
1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.
Власний вектор />, що відповідає власному числу />, знаходимо, підставляючи в рівняння
/>
значення />. Маємо
/>
/>
/>
/>
Власний вектор (1,1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу />.
Власний вектор />, що відповідає власному числу />, знаходимо, підставляючи в рівняння
/>
значення />. Маємо
/>
Власний вектор (0, />) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу />.
На площині /> будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (1;
1) і (0, />), а потім будуємо гіперболи.
2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.
Знайдемо сепаратриси сідла, тобто прямі, що розділяють гіперболи різних типів, які є фазовими кривими системи (тобто асимптоти цих гіпербол). Розділивши друге рівняння вихідної системи на перше рівняння, одержуємо
/> або />
Прямі, що проходять через особливу точку (0,0) шукаємо у вигляді /> (а також />). Підставляючи /> в останнє рівняння, одержуємо
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Виходить, що /> і /> — шукані прямі.
3. Напрямок руху по траєкторіях.
Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці /> вектор швидкості />. Наприклад, у точці /> вектор швидкості дорівнює
/>,
у точці /> вектор швидкості
/>,
у точці /> вектор швидкості
/>,
у точці /> вектор швидкості
/>.
/>
Рис.5. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
Список використаних джерел
Боярчук А.К., Головач Г.П. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. — М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 384 с.
Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 432 с.
Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Государственное издание техникотеоретической литературы, 1947. — 448 с.
Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. — 2е изд., перераб. — М.: Высш. шк., 1989. — 383 с.: ил.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 176 с.