Основные задачивычислительной математики. Теория погрешностей. Приближённое вычислениезначений функций заданных аналитически. Оценка погрешности вычислений.
Работасовременного инженера, физика и любого другого исследователя связана смоделированием сложных процессов, происходящих в разных областях знаний идеятельности человека. Зачастую, моделирование является средним звеном вразработке проекта и его внедрения в производство. Процесс проектирования можнопредставить схематически: (рис 1)./> /> /> /> /> /> /> /> />
рис1.
Дляисследования свойств построенной математической модели, в большинстве случаев,не удаётся аналитически решить задачу. Поэтому, вступают в силу методывычислительной математики, которые позволяют решение каждой задачи довести дочислового результата и оценить точность производимых вычислений.
Приработе с приближёнными величинами приходится решать следующие задачи:
а)давать математические характеристики точности приближённых величин;
б)оценивать точность результата, когда известна точность исходных данных;
в)находить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата;
г)согласовывать точность исходных данных с тем, чтобы не затрачивать излишнейработы при отыскании или вычислении одних данных, если другие данные слишкомгрубы;
а)Определение: абсолютная погрешность — это абсолютная величина разности междуточным значением величины /> и еёприближённым значением />:
/> (1.1)
Здесьследует различать два случая:
- точноезначение числа /> нам известно,что на практике очень редко, тогда пользуемся формулой (1.1).
Пример1: а=5.129 а*=5.128, тогда />;
- точное значение числа /> неизвестно,тогда вводят понятие предельной абсолютной погрешности.
Определение:предельной абсолютной погрешностью приближённого числа называют всякое число,не меньшее абсолютной погрешности этого числа.
Такимобразом, если /> - предельнаяабсолютная погрешность приближённого числа />,то
/> (1.2)
отсюдаследует, что
/> (1.3)
Значениепредельной абсолютной погрешности, обычно, подбирается интуитивно по смыслузадачи.
Пример2: Определить предельную абсолютную погрешность числа />, заменяющего число />, точное значение которогонам неизвестно.
Таккак мы знаем, что />, то можемутверждать:
/> (1.4)
и,следовательно, />, т.е. можемсказать, что
/> (1.5)
Понятияабсолютной погрешности и предельной абсолютной погрешности, хотя и даютпредставление о точности вычислений, однако не всегда достаточны.
Например:если при измерении длины стержней получены результаты: , то,несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первогоизмерения выше второго, т.к. если погрешность близка по величине от самогоприближённого числа, то точность этого измерения недостаточна. Изданногопримера понятно, что для оценки качества измерения, нам нужна абсолютнаяпогрешность, приходящаяся на единицу длины. Такая погрешность носит названиеотносительной погрешности.
Определение:относительной погрешностью /> приближённогочисла /> называется отношениеабсолютной погрешности />/> этого числа к модулюсоответствующего точного числа /> />:
/> (1.6)
Посколькуточное значение величины /> намчасто не известно, то рассмотрим понятие предельной относительной погрешности />.
Определение:предельной относительной погрешностью /> данногоприближённого числа /> называетсявсякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа:
/> (1.7)
Отсюдаследует, что
/> (1.8)
т.е.
/> (1.9)
но,как известно:
/> (1.10)
Сопоставлениеформул (1.9) и (1.10) даёт соотношение между предельной абсолютной /> погрешностью и предельнойотносительной погрешностью />:
/> (1.11)
Изэтой формулы иногда выражают /> ипишут:
/> (1.12)
Рассмотримпримеры:
Пример3: Вес 1 дм3 воды при /> равен />г. Определить предельнуюотносительную погрешность результата взвешивания.
Решение:очевидно, что предельная абсолютная погрешность /> г.и />, следовательно:
/> (1.13)
Пример4: При определении газовой постоянной для воздуха, получили />. Зная, чтоотносительная погрешность этого значения />,найти пределы, в которых заключается R.
Решение:имеем: />, тогда />, т.е.
/> (1.14)
Теперьзаймёмся изучением распространения погрешностей из-за арифметических действий.
б)Рассмотрим функцию />,пусть значения переменных />,вычислены приближённо, где /> соответствующиеабсолютные погрешности.
Насинтересует абсолютная и относительная погрешности вычисленных значений функции />.
Поопределению видно, что абсолютная погрешность функции /> имеет вид:
/>
обычно/>, поэтому, раскладывая вряд Тейлора, можно ограничиться лишь линейными членами по />. Получаем:
/> (1.15)
Отсюдаполучаем оценку:
/> (1.16)
Тогдадля предельных абсолютных погрешностей имеем:
/> (1.17)
Разделивобе части (1.17) на />, получаемпредельную относительную погрешность при вычислении функции />, в точке />:
/> (1.18)
Илизаписывая более компактно:
/> (1.19)
Этуформулу можно переписать в виде:
/> (1.20)
в)Рассмотрим частные случаи:
1.Пусть />. Изучим абсолютные иотносительные погрешности суммы.
Решение:т.к.
/> (1.21)
тоиз (1.17) получаем
/> (1.22)
Такжеиз (1.18) получаем:
/> (1.23)
/>
2.Пусть, />. Изучим абсолютные иотносительные погрешности разности />
Решение:/>; />, поэтому из (1.17) имеем
/> (1.24)
Аиз (1.18) получаем:
/> (1.25)
Ясно,что если /> и /> близкие друг к другучисла, то /> очень малое число, т.е.абсолютная погрешность разности будет очень большим числом. Поэтому привычислениях, где это возможно, нужно избегать вычитания близких друг к другучисел.
Например,если нам нужно вести вычисления по формуле: /> -объём между двумя сферами, где /> -очень малое число. Здесь лучше избавиться от вычитания и пользоватьсяаналогичной формулой />,тем самым, обходя вычитание близких чисел, которое может быть большеотносительной погрешности вычислений.
3.Изучим погрешности произведения чисел.
/> (1.26)
/> (1.27)
отсюдаочевидно, что
/> (1.28)
/> (1.29)
Такимобразом, при умножении приближённых чисел, относительные погрешностискладываются.
4.Рассмотрим погрешности деления чисел.
/> (1.30)
/>, /> (1.31)
Поэтому
/> (1.32)
/> (1.33)
Извышеизложенных частных случаев следует, что при вычислениях на ЭВМ:
- нетсмысла производить округление перед сложением (т.к. увеличим погрешность);
- привычитании надо всячески избегать разности близких чисел;
- есливычисляем произведение чисел с kверными знаками, то в результате будем иметь не менее k-1верных знаков;
- приделении действуют те же правила, что и при умножении, но надо избегать деленияна малое число (близкое к нулю).
Вышеизложенная теория погрешностей основана на допущении, что />-погрешности настолькомалы, что их квадратами можем уже пренебрегать (на этом основано «обрезание»формулы Тейлора).
Поэтомувсе введённые формулы теряют силу, если эти условия нарушены. В таких случаяхнужно использовать и квадратичные члены, чтобы получить более точную теорию.
Нонадо учитывать, что в этом случае формулы значительно усложняются.
Взаключение рассмотрим числовой пример:
Пример5: Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объёма шара />, если />см., />.
Решение:/>;
имеем:
/>; />; />;
/>; />; />;
/> (1.34)
/> (1.35)
Упражнение:вывести формулы предельной абсолютной и относительной погрешностей для функции />, а далее для многочлена /> и рациональной функции.
Пример6: Найти сумму приближённых чисел: /> и/>.
Решение:/>
/>,т.е. />.
Пример7: Найти относительную погрешность разности чисел /> и />, если />,
т.е.если />
Решение:/>
Именнопоэтому избегают вычитания приближённых значений близких друг к другу чисел.
Пример8: Найти произведение чисел, если все знаки верные: /> и/>.
Решение:/>, т.к. /> и />,
тоимеем
/> и />
следовательно
/>, т.е. />
Окончательноимеем: />.
Пример9: Расстояние между двумя пунктами по прямой равно /> км.
Закакое время звук распространится от одного пункта до другого в воздухе и порельсам, если скорость звука в воздухе /> м/с,а в стали /> м/с?
Решение: />(с.); />(с.)
/>
/>,
т.е.
/>(с.) />(с.)
/>(с.) />(с.)