Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Особые точки и особые решения
дифференциальных уравнений первого порядка.
Выполнил:
Курсант 315 учебнойгруппы Кривоногов А.Н.
Проверил:
Старший преподавателькафедры математики Доброва В.Л.
Содержание:
1.Теорема существования и единственности решения……………………………………….3
2.Графическое представление теоремы о существованииединственности решений……...4
3.Особые точки дифференциальных уравнений первогопорядка…………………………..5
4.Особые решения дифференциальных уравнений первогопорядка……………………….7
5.Примеры………………………………………………………………………………………,7
6.Задачи для решения…………………………………………………………………………..10
7.Ответы…………………………………………………………………………………………11
8.Список литературы……………….…………………………………………………………..12
Теорема существованияи единственности решения
Уравнение
   или                                                                   (*)
Где  понимать какую-либоодну первообразную. Тогда любое решение уравнения (*) запишите в виде

Гораздо чащеприходится  иметь дело с уравнениямиболее сложного вида.
           
                         и
Заменяя  через  уравнения можно переписатьв дифференциальной форме:
        
Так какпроизводную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнениеможет содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции инезависимой переменной.
Дифференциальныеуравнения первого порядка в общем виде:
    (1)
Простевшиепримеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесчисленноемножество решений. Мы наблюдали это уже на примере уравнения (*). Простойпроверкой легко убедиться также, что уравнение  имеет решениямифункции   — функции   — любое число.
Как мы видим,в решения приведенных дифференциальных уравнений входит произвольная постоянная
Придаваяпроизвольной  постоянной  определенные числовыезначения, мы будем получать частныерешения.
Выше мывидели, что уравнение  имеет обще решение  и  удовлетворяет какдифференциальному уравнению, так и начальному условию.
Вопрос о том,в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциальногоуравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует, а также чтооно будет единственным, выясняется теоремой.
Теорема существования и единственностирешения. Если функция   непрерывна в области,содержащей точку  имеет решение  такое, что
Если, кроме того, непрерывна и частная производная
Интересноотметить, что в условии теоремы не требуется существования производной
 Теорема эта впервые была сформировано идоказана Коши. Поэтому часто задачу отыскания частного решения по начальнымусловиям называют задачей Коши.
Графическоепредставление теорема существования и единственности решения.
 SHAPE * MERGEFORMAT
у
х                
                         (рис. 1)                                                          (рис. 2)
График любогочастного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Так как мы ужепроверили, что уравнение  имеет общее решение  имеет общее решение
Заданиеначального условия  геометрическиозначает, что из семейства интегральных кривых мы выбираем ту, которая проходитчерез точку    и  непрерывны, проходитодна единственная интегральная кривая. Если в данной точке эти условиянарушены, то это означает, что через эту точу либо вообще не проходит ни однаинтегральная кривая, либо проходит несколько. Возьмем, например, уравнение    видно,что через начало координат проходит бесчисленное  множество его интегральных кривых. Этопротиворечит теореме, так как в точке (0,0) условия теоремы существованиянарушены: правая часть уравнения становится неопределенной.
Точки, вкоторых условия теоремы существования и единственности решения нарушаются,называются особыми точками.
Особые точки дифференциальных уравненийпервого порядка.
Прежде всегоусловимся переменные  и  считатьразнонаправленными; это значит, что с равным основанием можно рассматривать  как функцию от  или   часть разрывна при  функцией, а   — независимойпеременной и переписывать уравнение в виде   Интегральной кривойявляется парабола, касающаяся оси ординат в начале координат. Таким образом,через точку (0,0) проходит одна интегральная кривая, и нам нет смысла считатьэту точку особой. То же самое можно сказать. То же самое можно сказать и олюбой другой точке оси абсцисс.
              Поэтомув дальнейшем будем считать особой только такую точку  , в которой разрывныеправые части обоих уравнений  
                                                и                 
Именно такой случай имеет место для уравнений
                и                                  (2)
в начале координат. Функции в правых частях не имеют пределаx и y к нулю.
Приведем несколько примеров использования уравнений типа (2).
                                   
 Примеры.
1)  и   (рис. 2) такая особая точканазывается узлом.
  

2)y=0 и x=0 (рис. 3)  такая особая точка  называется седлом.
Аналогичная картина будет для
               решений и   при 
3)   
                                                    
интегральные кривые – окружности с центром в начале координат (рис. 4). В этомслучае особая точка называется центром; через нее не проходит ни однаинтегральная кривая.
4)   Замена  приводит после
                  
  сразделенными переменными  или
         В системе полярных координат                  уравнение имеет гораздо простойвид 
                                                        
 Это семейство логарифмических спиралей (рис. 5).   Особая точка такого типа называетсяфокусом.  
      Можно доказать, на чем мы неостанавливаемся, что для уравнения (*) начало координат при любых значенияхкоэффициентов(если только
                                                                        
                             
        (рис. 5)
       
 Особые решения дифференциальныхуравнений первого порядка
Задача Коши для уравнения (*) ставитсяследующим образом: задана точка начальным условиям
                                                    
Достаточные условия существования иединственности задачи Коши дает
Теорема существования и единственности решения
Особым решениемуравнения (*) на множестве I назы­вается его решение через точку его графика
Длясуществования особого решения необходимо, чтобы в области Gнарушались условия теоремы существования и единственности задачи Коши, т.е. длянепрерывно диффе­ренцируемой функции  необходимо
                                                               (3)
Множествоточек  называется p-дис­кри­ми­нант­ным множеством уравнения (*).
График особогорешения уравнения (1) лежит в p-дис­криминантноммножестве.
Однако p-дискриминантное множество не всегда задает особое решение:
а) p-дискриминантное множество не обязано быть гладкой кривой,
б) p-дискриминантное множество не обязано определять решениеуравнения (*).
Длянахождения особых решений требуется:
1. найтирешение (*);
2. найти p-дискриминантное множество, исключив пара­метр p из системы
3. отобрать теиз решений уравнения (1), которые лежат в p-дискриминантноммножестве;
4. дляотобранных решений проверить выполнение опре­деления особого решения, т.е.проверить выполнение при  условий касания   — семей­ство решений(*), не совпадающих с
Примеры решения задач.
Пример 1. Решить уравнение,найти особые реше­ния, начертить интегральные кривые
1. Вводим параметр
                                                     (4)
Взяв полный дифференциал от обеихчастей последнего равенства и заменив  через
Возможны два случая:
1)
2)  в (4), определяем y:
2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив па­раметр p из уравнений
                                          
и
                                    
Из второго уравнения системы  следует, что
Так как   — решение, то этокандидат в особые ре­шения.

Рис. 6
3. Докажем, что это решениеособое (проверяем касание):
  следовательно, при  в тождество обращаетсявторое уравнение и первое уравнение:
Через точку  проходит решение  при  в этой точке и несовпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при
Интегральныекривые представлены на рис. 6, где особое решение отмечено жирной линией.
Пример 2. Решить уравнение, найтиособые реше­ния, начертить интегральные кривые             (5)
1. Вводим параметр
                                                               
Взяв полныйдифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив  через
Возможны два случая:
1)
2)  в (5), определяем x:
2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив па­раметр p из уравнений
                                                    
и
                                             Извторого уравнения системы  сле­дует, что
Так как   — решение, то этокандидат в особые реше­ния.

Рис.7
 SHAPE * MERGEFORMAT
  следовательно, при  в тождество обращаетсявторое уравнение и первое уравнение:
Через точку  проходит решение  при  в этой точке и несовпадающее с ним ни в какой окре­стности этой точки при
Интегральныекривые представлены на рис. 7, где особое решение отмечено жирной линией.
Задачи для решения
Решить уравнения, найти особыерешения, начертить инте­гральные кривые:
1.       
2.     
3.     
4.     
5.     
6.     
7.     
8.     
9.     
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Ответы:
1.       — особое решение;
2.       — особое решение;
3.       — особое решение;
4.       — особое решение;
5.       — особое решение;
6.       — особое решение;
7.       — особое решение;
8.       — особое решение;
9.       — особое решение;
10.    — особое решение;
11.    — особое решение;
12.    — особое решение;
13.    — особое решение,
14.    — особое решение,
15.    — особое решение,
16.    — особое решение,
17.    — особые решения,
18.    — особое решение,
19.    — особое решение,
20.    — особые решения,
                      
    
                       
 
Список литературы
Краткий курс математического анализа для ВТУЗОВ  А.Ф.Бермант, И.Г. Араманович